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2025-2026学年天津市西青区高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。
1.化简的结果等于（　　）
A. B. C. D.
2.已知向量与，若∥，则实数x=（　　）
A. -4 B. C. 4 D.
3.设复数（i为虚数单位），则z的共轭复数为（　　）
A. 1-i B. -1+i C. -1-i D. 1+i
4.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a,b,c,A=30°，a=4，，则角C为（　　）
A. 30°或150° B. 60°或120° C. 60° D. 30°
5.已知是单位向量，和夹角为45°，在上的投影向量为，则为（　　）
A. B. 4 C. 6 D.
6.如图，在△ABC中，，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
7.关于平面向量，，，有下列五种说法：
①；
②若，，则；
③若，，则；
④对任意向量，，，有；
⑤若∥，∥，则∥.
其中结论正确的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8.已知2i-3是关于x的方程2x2+px+q=0（p,q∈R）的一个根，则实数p=（　　）
A. -26 B. 26 C. -12 D. 12
9.若△ABC 的三个内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，则△ABC（　　）
A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形
C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
10.2026年3月，全国两会期间天津代表团开放团组会议释放重磅消息：位于西青区沉寂近十年的天津117大厦主塔楼招商工作基本完成.这座集办公、酒店、观光、商业于一体的中国结构第一高楼、城市超高地标建筑.以全新姿态重启建设征程，将为天津高质量发展注入强劲动力.某校开展数学建模综合实践活动，利用无人机测量117大厦最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，活动过程中无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为（　　）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a,b,c,若a=2，b=3，，则角C的大小为 .
12.已知向量，，则与的夹角θ的余弦值= .
13.在复平面内，复数6+5i,-2+4i对应的向量分别是，，其中O是坐标原点.则向量对应的复数为 .
14.已知△ABC中三个内角A，B，C的对边分别是a,b,c,若，则A= .
15.已知O（0，0），向量，，点P是线段AB上一点.若点P是线段AB的中点，则点P坐标为 ；若点P是靠近点A的一个三等分点，则点P坐标为 .
16.“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例，根据记载西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过这一问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB=3，E为线段AD上一点，BE⊥AC.若，则λ+μ的值为 ；若M是线段AC上一动点，求的最小值为 .
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知复数z=（1+i）（a+2i）+3ai,a∈R.
（1）若z是实数，求a的值；
（2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围；
（3）若，求a的值.
18.(本小题11分)
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＞c，sinB=.
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若a=2，b=1，求边长c.
19.(本小题13分)
已知平面向量的夹角θ为60°，且，.
（Ⅰ）求并计算的值；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）若，，，且，求实数k的值.
20.(本小题16分)
在面积为S的△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a,b,c,若，，且∥.
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若，，求△ABC的周长；
（Ⅲ）若△ABC为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求△ABC面积的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】-8-i
14.【答案】
15.【答案】（4，0）
，1）

16.【答案】
-

17.【答案】；
；
-1或．
18.【答案】解：（Ⅰ）因为sinB=，
所以由正弦定理可得sinB=，
因为sinB≠0，
所以sinC=，
因为a＞c，C为锐角，
所以C=．
（Ⅱ）因为C=，a=2，b=1，
所以由余弦定理可得c===．
19.【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）．
20.【答案】 [，2）
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