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2025-2026学年上海市黄浦区大同中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共16分。
1.某校随机抽取50名学生的身高与体重的散点图如图所示，则下列说法错误的是（　　）
A. 身高越高，体重越重 B. 身高与体重有同向变动的倾向
C. 身高与体重之间有明显的相关性 D. 身高与体重成正相关
2.为研究蔬菜植株感染红叶螨能否引起植株形成某种抗体，使用2×2列联表独立性检验.随机抽取一定量植株，获得观察数据，制作2×2列联表.提出原假设H0；感染与形成抗体______；确定显著性水平α=0.05；若计算得χ2≈0.057；依据P（χ2≥3.841）≈0.05，从而______原假设，即得统计决断.（　　）
A. 有关；拒绝 B. 有关；接受 C. 无关；拒绝 D. 无关；接受
3.已知A（0，1），B（2，3），C在曲线Γ：上，则△ABC的面积（　　）
A. 有最大值，但没有最小值 B. 没有最大值，但有最小值
C. 既有最大值，又有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值
4.已知集合P={（x,y）|（x-cosθ）2+（y-sinθ）2=4，0≤θ≤π}.由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如水滴.给出下列结论：
①“水滴”图形与y轴相交，最高点记作A，则A点的坐标为；
②阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记作C和D，则|CD|=4；
③在阴影部分中任取一点M，则OM的最大距离为3；
④“水滴”图形的面积是.
其中正确的有（　　）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.过P（-2，m）、Q（m,4）两点的直线的倾斜角为90°，那么m= .
6.直线ax+2y-1=0与直线（a-1）x+y+2=0平行，则a= .
7.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p= ．
8.已知椭圆+=1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m= ______．
9.已知成对样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2）中x1，x2，…，xn不全相等，且所有样本点（xi，yi）（i=1，2， ，n）都在直线y=-2x+1上，则这组成对样本数据的样本相关系数r= ______.
10.已知x、y取值如表所示，从散点图分析，y与x线性相关，且y=0.83x+，则= .
x 0 1 3 4
y 0.9 1.9 3.2 4.4
11.若双曲线的两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是 .
12.过点P（-2，2）作直线l与圆C：（x+1）2+（y-1）2=2相切，则直线l的一般式方程是______．
13.已知椭圆Γ1：与椭圆Γ2：相交于A、B、C、D四点，且与Γ1和Γ2的四个焦点在同一个圆上，则b2= .
14.学校对社团展演活动满意度进行调研，随机抽取高一高二学生各50名，每位同学给出满意或不满意的评价，得到2×2列联表.
满意 不满意
高一 60-m m-10
高二 m+10 40-m
依据P（χ2≥3.841）≈0.05，若没有95%的把握认为年段会对满意度评价有差异，则m的最小值为 .
附：.
15.A、B、C是我方三个炮兵阵地.A地在B地的正东，相距6km；C地在B地的北偏西30°，相距4km.P为敌方炮兵阵地.某时刻A地发现P地某种信号，12秒后B、C两地才同时发现这种信号（该信号的传播速度为km/秒）.若从A地炮击P地，准确炮击的方位角是 .
16.双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为______.
三、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
绝对零度（-273.15℃）是一个只能逼近而不能达到的最低温度，那么这个数据是如何得到的？小张同学通过查询资料了解到：①气体温度和气体压强存在线性关系；②当气体压强为0kPa时，气体温度达到绝对温度.小张同学在实验时，记录了某种气体温度和气体压强一组相关数据：
数据 1 2 3 4 5 6
温度x/℃ 4.07 16.69 29.42 45.67 57.06 73.05
压强y/kPa 103.095 107.734 112.461 118.469 122.706 128.758
（1）用表格数据建立气体压强y与气体温度x的线性回归方程，若这组实验数据的拟合误差小于0.05，则认为得到的线性回归是理想的.求出回归方程y=x+（精确到0.001），并判断所得回归方程是否理想？附：拟合误差；
（2）估计该次实验下绝对零度的数值.（精确到0.01℃）
18.(本小题8分)
已知圆M经过A（-1，0）、B（1，-2）、C（3，0），圆N：x2+y2-4x+2ay+a2=0.
（1）求圆M的标准方程；
（2）若圆M与圆N相切，求a的值.
19.(本小题10分)
已知P是椭圆上一个动点，F是椭圆的左焦点，若|PF|的最大值和最小值分别为和.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）M（0，m）是y轴正半轴上的一点，求|PM|的最大值.
20.(本小题10分)
已知等轴双曲线C的焦点在x轴上，焦距为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）斜率为k的直线l过点P（1，0），且直线l与双曲线C的两支分别交于A、B两点，
①求k的取值范围；
②若D是B关于x轴的对称点，证明直线AD过定点，并求出该定点坐标.
21.(本小题12分)
已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，设P是第一象限内椭圆Γ上一点，PF1、PF2的延长线分别交椭圆Γ于点Q1、Q2，直线Q1F2与Q2F1交于点R．
（1）求△PQ1F2的周长；
（2）当PF2垂直于x轴时，求直线Q1Q2的方程；
（3）记△F1Q1R与△F2Q2R的面积分别为S1、S2，求S2-S1的最大值．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】-2
6.【答案】2
7.【答案】4
8.【答案】8
9.【答案】-1
10.【答案】0.94
11.【答案】
12.【答案】x-y+4=0
13.【答案】
14.【答案】21
15.【答案】北偏东30°
16.【答案】或
17.【答案】y=0.372x+101.528，回归方程是理想的 -272.93
18.【答案】解：（1）设圆M：x2+y2+Dx+Ey+F=0，
因为圆M经过A（-1，0）、B（1，-2）、C（3，0），
则，所以M：x2+y2-2x-3=0，
即（x-1）2+y2=4
（2）圆N化为标准方程为（x-2）2+（y+a）2=4，
因为圆M与圆N的半径相等，故两圆不会内切，只有外切，
又M（1，0），N（2，-a），
则有．
19.【答案】解：（1）由题意可得，
解得，
所以b2=a2-c2=4，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设P（x,y），
则|PM|2=x2+（y-m）2=x2+y2-2my+m2=9-+y2-2my+m2
=-y2-2my+m2+9=-（y+m）2++9，y∈[-2，2]，
当时，-m∈[-2，0），|PM|max=，
当时，-m∈（-∞，-2），|PM|max==，
所以|PM|max=．
20.【答案】解：（1）因为等轴双曲线C的焦点在x轴上，焦距为，
可设双曲线的方程为：，
所以，所以双曲线的标准方程为；
（2）设直线l：y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），D（x2，-y2），
联立，消去y整理可得（1-k2）x2+2k2x-k2-4=0，
则，
①因为直线l与双曲线C的两支分别交于A、B两点，
所以Δ＞0且x1x2＜0，
即，
所以k的取值范围是（-1，1）；
②设，
令y=0，则
=，
所以直线AD过定点（4，0）．
21.【答案】解：（1）由椭圆的方程可得a2=4，b2=3，可得c2=a2-b2=4-3=1，
可得a=2，c=1，
由椭圆的定义可得：△PQ1F2的周长为4a=8，
所以△PQ1F2的周长为8；
（2）由（1）可得F1（-1，0），F2（1，0），当PF2垂直于x轴时，则Q2的纵坐标为y=-=-，
所以Q2（1，-），P（1，），
∴k=，直线PF1的方程为：y=（x+1），
联立，解得或，则，
∴，
∴直线Q1Q2的方程为，即3x+10y+12=0；
（3）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），设直线PF1的方程为x+1=ty，其中，
联立，消去x并整理可得，（3t2+4）y2-6ty-9=0，
由韦达定理可得，，
又，则，
∴，
同理可得，
∴=，
令，
则=，当且仅当25sin2θ=9cos2θ时等号成立，
∴S2-S1的最大值为．
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