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2025-2026学年福建省福州市福清市高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知，，则=（　　）
A. （7，-5） B. （1，11） C. （-1，-5） D. （12，0）
2.如果，是两个单位向量，则下列结论中正确的是（　　）　　）
A. = B. =1 C. ≠ D. ||=||
3.在△ABC中，已知BC=3，AC=5，AB=7，则C=（　　）
A. B. C. D.
4.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是Rt△O′A′B′，其中A′B′=，则原图形的面积为（　　）
A. 1
B.
C. 2
D.
5.已知复数，则z的虚部为（　　）
A. -2 B. -2i C. 2 D. 2i
6.在△ABC中，已知cosA=，B=，AC=，则BC=（　　）
A. B. C. D.
7.在Rt△ABC中，，AB=2AC，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
8.在气象台A的正西方向400km处有一台风中心，它向东北方向移动，移动速度的大小为40km/h,距台风中心300km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地受到台风的影响的持续时间长度是（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在下列各组向量中，与向量可以构成一组基底的是（　　）
A. （1，3） B. （2，4） C. （3，5） D. （4，8）
10.下列命题正确的有（　　）
A. 三棱台的各侧棱所在直线必交于一点 B. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
C. 一条直线和一个点确定一个平面 D. 四边形可以确定一个平面
11.下列结论正确的是（　　）
A. 若复数z满足|z|=1，则z=±i
B. 若复数3+i,-2+4i在复平面内分别对应向量，则对应的复数为-5+3i
C. 在复平面内，若复数z对应的点为Z（2，-1），则复数对应的点在第一象限
D. 若复数z满足2≤|z|≤3，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形的面积为5π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若一个三棱台的上、下底面面积分别为4，9，高为6，则该棱台的体积为 .
13.已知复数，则|z|= .
14.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知ab=a+b,c=2，C=，则△ABC的面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=m2+2m-3+（m2-1）i（m∈R）.
（1）若z为纯虚数，求m的值.
（2）若复数z对应的点位于直线y=2x上，求复数z.
16.(本小题15分)
已知圆柱OO'的底面半径r和高h均为20cm.
（1）若从圆柱的上底面挖去与该圆柱同底等高的圆锥，求剩下几何体的表面积.
（2）若向圆柱装入15000cm3的水，再放入半径为8cm的木球.如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会溢出？
17.(本小题15分)
如图，在平行四边形ABCD中，，，，设，.
（1）用表示，，；
（2）用向量方法证明EF∥GD.
（3）如果，EF，EG有怎样的位置关系？证明你的结论.
18.(本小题17分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc.
（1）求A；
（2）若a=2，求△ABC的周长.
（3）若△ABC的面积为3，求a的最小值.
19.(本小题17分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,边BC上的中线记为ma.
（1）证明：；
（2）若△ABC的面积为，ma=1，b2+c2=8，求b,c；
（3）是否存在△ABC，使得ma=a？若存在，求出此时cosA的取值范围；若不存在，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】AC
10.【答案】AB
11.【答案】BCD
12.【答案】38
13.【答案】1
14.【答案】
15.【答案】-3 z=12+24i或z=0
16.【答案】 水不会溢出
17.【答案】，，=- ∵=（-）=，
∴EF∥GD EF⊥EG，
证明：∵，
由（1）知，，，
∴，
∴，
∴EF⊥EG
18.【答案】
19.【答案】取BC中点D，连接AD，则ma=AD，，
两边平方得：，
所以，
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得bccosA=b2+c2-a2，代入上式开方得，得证 b=c=2
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