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2025-2026学年湖南长沙市明达教学共同体高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，4，5}，集合B={1，3，5，7}，则（ UA）∩（ UB）=（　　）
A. {6，8} B. {6} C. {8} D. {1，6，8}
2.已知a＞b＞0，c＞0，d＜0，则下列正确的是（　　）
A. B. C. ac＜bc D. ad＞bd
3.设，为非零向量，则“”是“”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数f（x）=2x+3x,当f（x）=7时，x的范围所在的区间为（　　）
A. B. C. D.
5.某市开通“招手即停”公共汽车，票价按下列规则制定：
（1）5km以内（含5km）票价2元，
（2）5km以上，每增加5km,票价增加1元，（不足5km的按5km计算）
第一期开通的路线为20km,请根据题意，选出票价与里程之间的函数图象（　　）
A. B.
C. D.
6.已知为不共线的非零向量，，，，则（　　）
A. A，B，C三点共线 B. A，B、D三点共线 C. B，C，D三点共线 D. A，C，D三点共线
7.下列命题中正确的数是（　　）
A. 若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
B. 若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
C. 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
D. 若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
8.在△ABC，中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且面积为S，若bcosC+ccosB=asinA，S=（b2+a2-c2），则角B等于（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量，，则下列结论正确的是（　　）
A. 若，则 B. 若∥，则x=±2
C. 若x=1，则 D. 若x=1，则与的夹角为锐角
10.已知复数z=m+1+（m2-1），则下列说法正确的是（　　）
A. 若z为实数，则m=±1 B. 若z为虚数，则m≠±1
C. 若z为纯虚数，则m=-1 D. 复数z的虚部为（m2-1）i
11.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A. f（x）的图像关于点对称
B. f（x）的图像关于直线对称
C. 将函数的图像向左平移个单位长度得到函数f（x）的图像
D. 若方程f（x）=m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，||=2，且与夹角120°，则= .
13.在△ABC中，已知a=5，b=2，C=，则sinB= .
14.如图，在△ABC中，，，，m＞0，n＞0，若D，E，F三点共线，则m+n的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数的最大值为1.
（1）求常数a的值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间.
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a,b,c,已知A=45°，，.
（1）求b；
（2）求△ABC的面积S.
17.(本小题15分)
已知向量，且与的夹角为.
（1）求m及；
（2）若与所成的角是锐角，求实数λ的取值范围.
18.(本小题17分)
如图所示，底面边长为的正四棱锥P-ABCD被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为4的正四棱锥P-A1B1C1D1.
（1）求棱台A1B1C1D1-ABCD的体积；
（2）求棱台A1B1C1D1-ABCD的表面积.
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点：当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且b=acosC.
（1）求A；
（2）若，设点P为△ABC的费马点，求；
（3）设点P在三角形内，到三角形的三个顶点的距离之和的最小值为L，若L=t|PA|，求实数t的最小值.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】AD
10.【答案】AB
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】0 [+2kπ，+2kπ]，k∈Z
16.【答案】b=或 S=或
17.【答案】解：（1）因为，且与的夹角为，
所以=，
解得m=-1，
则，
所以；
（2）因为，
所以
，
由于与所成的角是锐角，
所以，，
解得且λ≠2，
所以实数λ的取值范围为．
18.【答案】解：（1）底面边长为的正四棱锥P-ABCD被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为4的正四棱锥P-A1B1C1D1．
所以原棱锥的高为8，
所以正四棱锥P-ABCD的体积为=，
截去的正四棱锥P-A1B1C1D1的体积为=，
所以棱台的体积为-=．
（2）棱台A1B1C1D1-ABCD的表面积：=112．
19.【答案】解：（1）由b=acosC得sinB=sinAcosC，
结合sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，可得cosAsinC=0，
因为△ABC中sinC＞0，所以cosA=0，即；
（2）由（1）得，所以三角形ABC的三个角都小于120°，
由费马点定义，可知∠APB=∠BPC=∠APC=120°，设，，，
由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC，得 + + =，整理得xy+yz+zx=4，
则=xyyzzx=×4=-2；
（3）点P为△ABC的费马点，则，
设|PB|=m|PA|，|PC|=n|PA|，|PA|=x,m＞0，n＞0，x＞0，
则由|PB|+|PC|+|PA|=t|PA|，得m+n+1=t.
由余弦定理得|AB|2=x2+m2x2-mx2cos=（m2+m+1）x2，
，，
由|AC|2+|AB|2=|BC|2，可得（n2+n+1）x2+（m2+m+1）x2=（m2+n2+mn）x2，
所以n2+n+1+m2+m+1=m2+n2+mn,即m+n+2=mn,
由m＞0，n＞0，可得，当且仅当m=n,即时，等号成立，
结合m+n+1=t,可知t+1≤（t-1）2，整理得t2-6t-3≥0，解得或舍去）．
综上所述，实数t的取值范围是[，+∞），即t的最小值为．
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