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广东佛山市新质高中联盟2025-2026学年第二学期高一年级期中联考试卷数学学科
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则实数（ ）
A. B. C. 4 D. 9
3.已知复数，复数的虚部为（ ）
A. B. 3i C. 3 D.
4.已知平面向量，，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5.已知为锐角，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6.如图所示，中为重心，过点，，，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 3
7.设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
8.已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量，，则（ ）
A.
B. 与向量平行的一个单位向量为
C. 若与所成角为锐角，则
D. 与的夹角为
10.下列各式中，计算结果为的是（ ）
A. B.
C. D.
11.设函数，若在区间上具有单调性，且，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 图象关于直线对称
C. 图象关于点中心对称
D. 存在，使得成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数，则 ．
13.已知单位向量，满足，则 ．
14.如图,在大三角形中共有10个网格点,相邻网格点间的距离均为1,从中选取三个不同的网格点A,B,C,则的最大值与最小值的和为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数=+2ai(aR),复数在复平面内对应的向量为=(-1,2).
(1)若为纯虚数,求a的值;
(2)若i-在复平面内对应的点在第四象限,求a的取值范围.
16.(本小题15分)
如图，在中，已知，，，E，F分别为，上的点，且，．
(1)求；
(2)用向量方法证明：；
(3)若线段上一动点P满足，试确定点P的位置．
17.(本小题15分)
已知函数，．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，求．
18.(本小题17分)
已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点．
求函数的解析式
当，方程有解，求实数的取值范围
若方程在区间上恰有三个实数根，，，且，求的取值范围．
19.(本小题17分)
在中，角 A，B，C对应边为，，，满足
(1)求的大小；
(2)（i）已知，若在 AC上，且，求 BD的最大值；
（ii）延长BC至点，使得.若求的大小.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】ABD
10.【答案】ABD
11.【答案】AB
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】【详解】（1）因为复数在复平面内对应的向量为，则，
又，则，
由题有，解得，所以的值为.
（2）因为，
由题有，解得，所以的取值范围为.

16.【答案】解：（1）依题意，记，
因为，所以，，
因为，
所以，
则，
故.
（2）因为，所以，
所以，
则，即.
（3）因为，所以是的中点，故，
因为，所以，即，
所以是线段的中点.

17.【答案】解：（1）由题意得
，
所以函数的最小正周期为.
（2）由（1）得，，
则，即，
所以
.

18.【答案】解：(1)设f(x)的最小正周期为T，
由题意得:||=2，
又>0，所以=2，
f(x)过点(0,1)，即=，
故f(x)=2(2x+)；
(2)f(x-)=2(2x-)=-22x，
即f(x-)-m=0-22x=m有解，
因为x[,]，2x[,],
所以 -22x[-1,2]，即m[-1,2]；
(3)x[0,]，设t=2x+[,]，
则x=(t-)，
由“方程f(x)-a=0在区间[0,]上恰有三个实数根,,”,
得“方程t=在区间上恰有三个实数根,,”，
则y=t的图象如下:
即[,),(,],[,)，
由图得,+=，
所以+=+=，[,)，
即++[,)，
综上,(++)(-1,-].
19.【答案】（1）在 中， ，所以 ．
因为 ，所以 ，
即
化简得 ．
因为 ，所以 ， ．
因为 ，所以 ．
（2）
（i）由三角形面积公式可得 ，即 ，
在 中由余弦定理可得 ，即 ，
所以 ，所以 的最大值为
此时 ，当且仅当 时取等号；
（ii）设 ， ，则 ．
由（1）知 ，又 ，所以在 中， ．
在 中，由正弦定理得 ，即 ①．
在 中，由正弦定理得 ，即 ②．
①÷②，得 ，即 ，所以 ．
因为 ， ，所以 或 ，故 或 ．

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