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2025-2026学年山西大学附属中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.=（　　）
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是（　　）
A. 若，则 B. ，则
C. 若，且，则 D. 若，则与不共线
3.在△ABC中，a=2，b=，∠A=，则∠B=（　　）
A. B. C. 或 D. 或
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且，则a=（　　）
A. B. C. 1 D. 3
5.在△ABC中，，AC=2，AB=m,则“△ABC恰有一解”是“0＜m≤2”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知i为虚数单位，如果复数z满足|z+2i|+|z-2i|=4，那么|z-1|的最小值是（　　）
A. 1 B. C. 2 D.
7.记△ABC的面积为S，△ABC的外接圆半径为1，且S=sin2A+sin2B-sin2C，则C=（　　）
A. B. C. D.
8.在△ABC中，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有，则△ABC为（　　）
A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z1=5-8i,z2=9i,则（　　）
A. z2是纯虚数 B. 在复平面内对应的点位于第二象限
C. D. |z2|=81
10.已知向量，，则下列结论正确的是（　　）
A. 若，则
B. 若且α∈（0，π），则
C. 的最大值为2
D. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
11.已知锐角△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a,b,c,且，c=2，则下列结论正确的是（　　）
A. ∠C的取值范围为
B. △ABC外接圆半径的范围为
C. △ABC的面积最小值为
D. △ABC的周长范围为
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
12.已知=（1，2），=（1，λ），若与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是______．
13.如图，在平面四边形ABCD中，AB=1，，BD⊥BC，，若，则四边形ABCD的面积为______；若∠BAD的大小可变化，则AC的最大值为______.
四、解答题：本题共6小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC=______．
15.(本小题13分)
已知向量，.
（1）求；
（2）求；
（3）求.
16.(本小题15分)
如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，，CD=2，AB=4，F为BC的中点，点E满足，λ∈[0，1].
（1）用与表示；
（2）求的取值范围.
17.(本小题15分)
已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC.
（1）求A的值；
（2）点D是BC边上一点，且，若AD=4，求△ABC面积S的最大值.
18.(本小题17分)
在△ABC中，P在线段BC上，满足，O是线段AP的中点.
（1）过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F（如图1），设，.
（ⅰ）求证：2λ+μ为定值；
（ⅱ）设△AEF的面积为S1，△ABC的面积为S2，求的最小值.
（2）延长CO交AB于点Q（如图2），若，求的值.
19.(本小题17分)
定义：设O为坐标原点，若非零向量，函数f（x）的解析式满足f（x）=asinx+bcosx,则称f（x）为的伴随函数，为f（x）的伴随向量.
（1）若向量为函数的伴随向量，求的坐标；
（2）若函数f（x）为向量的伴随函数，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,f（C）恰好为函数f（x）的最大值.
（ⅰ）若，∠ACB的角平分线交AB于点D，c=2，求CD的最大值；
（ⅱ）若，在锐角△ABC中，求的范围.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】（-，2）∪（2，+∞）
13.【答案】 5
14.【答案】-
15.【答案】（-4，13）；
-8；
．
16.【答案】；
[6，12]．
17.【答案】
18.【答案】（i）由于，，则，
，
因为，
所以，
因为O是线段AP的中点，
所以=，
由于E，O，F三点共线，
所以，化简可得2λ+μ=3，
即2λ+μ为一定值，且定值为3．
（ii）
19.【答案】 （ⅰ）；（ⅱ）
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