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湖北省云学联盟2025-2026学年高一下学期4月期中学科素养测评数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.角的终边落在第（ ）象限.
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
2.已知扇形的半径为2，圆心角的大小为，则该扇形的面积为（ ）.
A. B. C. D.
3.已知，，，若A、B、C三点共线，则x的值为（ ）.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）.
A. B. C. D.
5.在中，、是方程的两个实根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7.函数f(x)=2(3x-)-x的零点个数为( ).(参考数据:)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 9
8.已知函数f(x)是定义在(0,+)上的递增函数,且对x(0,+),都有f[f(x)-x]=1,若关于x的方程|f(x)|=m(m>0)的两个根分别为和,且=,则a的值为( )
A. 8 B. 4 C. 2 D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z满足-z+1=0,则下列选项正确的是( )
A. 复数z的实部为 B. z=-1 C. +=-1 D. +1=0
10.在音乐合成中, 两个简单的声波可以叠加形成新的波形。已知某合成波形对应的函数为f(x)=x+(x+),下列关于该函数说法正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为2 B. f(x)的最大值为
C. f(x)的图象关于直线x=对称 D. f(x)在区间[-,]上单调递增
11.在中，已知，D为的中点，记，从0°到180°连续变化，记，，的内切圆半径为r，外接圆半径为R.下列结论正确的是（ ）
A. h随的增大而减小 B. 的最大值为
C. 为定值 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算：的结果为 .
13.已知向量的夹角为，，，则 .
14.已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,点O为ABC的外心,且b=2,B+C+A+(-B)(+C)=1,则OAC和OBC面积之差的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数满足为纯虚数，且.
(1)求复数；
(2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围.
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=A( x+)(其中A>0,>0,0<<),函数图象与y轴的交点为(0,),距离y轴最近的最高点为(,2),且该最高点与其相邻的一个最低点横坐标之差的绝对值为
(1)求f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在区间(0,)上的递增区间.
17.(本小题15分)
在中，，，，设点D为边BC上一点，且满足，点E为线段上一点（不含端点），且，其中.
(1)用表示，并求；
(2)设F为线段的中点，若，求的值.
18.(本小题17分)
在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，.
(1)求角C的大小；
(2)若，求的面积；
(3)记边a、b、c的高分别为、、，求的取值范围.
19.(本小题17分)
定义：函数为向量的和谐函数，向量为和谐函数的和谐向量.
(1)求函数的和谐向量；
(2)已知和谐向量的和谐函数为，的内角的对边分别为，其中，且.
（i）若点为的重心，求的最大值；
（ii）若为锐角三角形，平分且与交于点，求长度的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】AB
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）设，，
因为为纯虚数，所以，即且，
又，即，
联立解得，，
则.
（2）由（1）知，
因为复数在复平面内对应的点在第四象限，
所以，解得，
即实数的取值范围为.

16.【答案】解：(1)由题意，因为距离y轴最近的最高点为，所以.
又因为最高点与其相邻的一个最低点横坐标之差的绝对值为，
而该距离为半个周期，即，所以周期.
可得，此时.
由函数图象与y轴交于点，得，即，
因为，所以或.
又因为距离y轴最近的最高点为，令，解得,
当时，，取时，符合“距离y轴最近”；
当时，，取时，距离y轴更近，与题意矛盾，
故,；
(2)由(1)得，
令，得，
因为，
当时，；
当时，，
故函数在区间上的递增区间为和.
17.【答案】解：（1）根据向量的线性运算法则，可得，
因为，且，
可得，且，
则，
所以.
（2）由向量的线性运算法则，可得，
且，
因为，可得，
即，
所以，
即，解得.

18.【答案】解：（1）由正弦定理可得，
即，
∴,
又∵，∴，
∵，∴.
（2）
，
∵，∴，∴，
又∵，∴，从而，，
由（1）知，∴是等边三角形，面积为.
（3）由题得到，
∵，
∴，
，
在锐角中，∵，∴，，
∴在上单调递减，
从而，
即，
∴.

19.【答案】解：（1）解：由向量为和谐函数的和谐向量，
因为，
所以的和谐向量为.
（2）解：由和谐向量的和谐函数为，
因为，可得，其中，可得
所以，解得.
（ⅰ）在中，因为，由余弦定理得，
又因为，则，即，当且仅当时“=”成立，
因为点为的重心，可得，
所以
，即的最大值为.
（ⅱ）因为平分且与交于点，可得，
即，
即，即，所以，
由正弦定理，可得，
则
，
因为则为锐角三角形，可得，解得，
令，可得，则，
所以
，
由，可得，由于函数在上单调递增，
当时，，当时，，所以长度的取值范围是.

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