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广东广州市第三中学等三校2025-2026学年第二学期期中素养综合评估检测题高二数学（问卷）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.记为等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A. 11 B. 9 C. 8 D. 5
2.在曲线上的点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
3.3名同学计划去四个景点游玩，每人只去1个景点，则不同的选法种数是（ ）
A. 81 B. 64 C. 24 D. 12
4.从4名志愿者中选派3人在星期六、星期日参加公益活动，要求每人只参加一天，且星期六需要有两人参加，星期日需要有一人参加，则不同的选派方法共有（）
A. 12种 B. 20种 C. 24种 D. 36种
5.的展开式中的常数项是（ ）
A. 352 B. C. 1120 D.
6.已知函数，若函数有4个不同的零点则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（ ）
A. B. C. D.
8.设数列{an}满足a1=1，a2=4，an+an+2=2an+1+2，若[x）表示大于x的最小整数，如[2）=3，[-2.1）=-2，记，则数列{bn}的前2026项和为（　　）
A. 6079 B. 6080 C. 6081 D. 6082
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.记公比大于0的等比数列的前项和为.若，则（ ）
A. B. C. D.
10.已知多项式，则下列说法正确的是（　　）
A. a0=-2 B. a2=-8
C. a1+a2+a3+a4+a5=-16 D. a1+a3+a5=-8
11.对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 在上单调递减，在上单调递增
B.
C. 设有3个不同的零点，则
D. 若方程有6个不等实数根，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校开设4门知识类选修课和3门技能类选修课.学生需从中选修2门，且至少包含一门知识类选修课，则不同的选课方案共有 种.
13.在的展开式中，的系数为 .
14.若存在4条不同的直线既是圆+=4的切线,也是曲线y=ax+(a>0)的切线,则a的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知是公差为的等差数列，其前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，其前项和为，证明：.
16.(本小题15分)
设函数．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值：（其中为自然对数的底数）；
(2)在（1）的条件下求的单调区间和极小值：
(3)若在上单调递减，求的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB // CD，BC＝CD＝2，AB＝4，PC＝PD＝3，平面PCD⊥平面ABCD，PD⊥BC，Q是棱PC的中点．
（1）求证：BC⊥平面PCD；
（2）求平面ABQ与平面PBC夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知双曲线：（，）的离心率为，且过点，为坐标原点．
(1)求的方程．
(2)动直线过的右焦点且与交于，两点，证明：为定值．
(3)C上是否存在互不重合的三点，，，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若在上有两个零点，求实数的取值范围；
(3)若函数有两个极值点，，证明：．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】ABD
10.【答案】ABD
11.【答案】BCD
12.【答案】18
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由题意得
解得
所以.
（2）由，
所以
.

16.【答案】解：（1）由题可得，
因为曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，解得；
（2）由（1）知，令，解得
由，解得，由，解得，
所以的单调减区间为，单调增区间为，当时，取得极小值；
（3）由在上单调递减，
即在上恒成立，
即在上恒成立，所以，
令，易知在上单调递增，在上单调递减，
则，所以，
即的取值范围为.

17.【答案】解：(1)如图,取CD的中点O,
因为PC=PD=3,所以POCD,
因为平面PCD平面ABCD,平面PCD平面ABCD=CD,PO平面PCD,
所以PO平面ABCD,
又BC平面ABCD,所以POBC,
又BCPD,PO平面PCD,PD平面PCD,PDPO=P,
所以BC平面PCD.
(2)因为PC=PD=3,O为CD的中点,CD=2,
所以OC=1,PO==2.
过点O作OEBC交AB于点E,
由BC平面PCD,CD平面PCD,可得BCCD,则OECD.
以O为坐标原点,OE,OC,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2,-3,0),B(2,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2),Q(0,,),
所以=(0,4,0),=(-2,,),
=(-2,-1,2),=(-2,0,0)，
设平面ABQ的法向量为=(x,y,z),
则，
令x=1,得=(1,0,).
设平面PBC的法向量为=(a,b,c),
则，
令c=1,得 =(0,2,1).
设平面ABQ与平面PBC的夹角为,
则===,
故平面ABQ与平面PBC夹角的余弦值为.
18.【答案】解：（1）已知离心率，故，结合得,
所以双曲线方程可写为，代入点得：，
解得，所以，双曲线的方程为.
（2）由（1）得右焦点，分两种情况讨论：
若直线斜率不存在，则，由得，
不妨设，
则：，所以；
若直线斜率存在，设为，则，
由，得，
此时且.
设，由韦达定理：，
则：
.
综上，，即为定值.
（3）假设存在满足条件的三点，因为平行四边形对角线互相平分，则与中点重合，
设中点为，则。
设，则，两式相减得，即，
整理得方程为。
又在双曲线上，代入得，即，故方程为.
若，
联立与双曲线，消去得，
即，判别式：
若，则，，代入双曲线得，无实根.
因此不存在满足条件的三点.

19.【答案】解：（1）的定义域为，，
当时，在上单调递增；
当时，由得，
由得，由得，
则在上单调递减，在上单调递增．
综上，时，在上单调递增，
时，在上单调递减，在上单调递增;
（2）因为在上有两个零点，
所以，
由得，
令，则，
所以时，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
有极大值，也就是最大值为，
又无限趋近时，无限趋近于0，
所以在上有两个零点时，，
所以，即的取值范围是;
（3）证明：因为有两个极值点，
所以，有两个实数根，
所以可得，
设，将代入，得，
所以，
所以要证，只需证，即,
设，则,
令，则，
可知在上为增函数,
又，所以时，在上为增函数,
所以，即成立，
所以成立.

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