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2025-2026学年广东省佛山市南海区大沥镇八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列不等式中，属于一元一次不等式的是（　　）
A. x+1＞0 B. 3＞1 C. 3x-1＜2x2 D. 7x-16
2.一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（　　）
A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形
3.已知a＜b，则下列不等式中不正确的是（　　）
A. 4a＜4b B. a+4＜b+4 C. -4a＜-4b D. a-4＜b-4
4.等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的底角为（　　）
A. 80° B. 50° C. 50°或20° D. 80°或50°
5.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB于点E，DF⊥AC，交AC于点F，若DE=2，AC=4，则△ADC的面积是（　　）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 10
6.如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　）
A. 在AC，BC两边高线的交点处
B. 在AC，BC两边中线的交点处
C. 在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D. 在∠A，∠B两内角平分线的交点处
7.已知关于x的不等式（a-1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（　　）
A. a＜1 B. a＞1 C. a＜0 D. a＞0
8.以下命题的逆命题为真命题的是（　　）
A. 对顶角相等 B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 若a=b，则a2=b2 D. 若a＞0，b＞0，则a2+b2＞0
9.用反证法证明命题：“已知△ABC，AB=AC，求证：∠B＜90°.”第一步应先假设（　　）
A. ∠B＞90° B. ∠B＜90° C. ∠B≥90° D. AB≠AC
10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF，AF．现有如下结论：①AD平分∠CAB；②BF=2；③AD⊥CF；④AF=2；⑤∠CAF=∠CFB．其中正确的结论有（　　）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.关于x的不等式2x+1≤3的解集是 .
12.如图，∠ACD是△ABC的外角，且∠ACD=65°，∠A=35°，则∠B=______度．
13.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A=50°，则∠ACB的度数为 .
14.如图，点P（3，4）在一次函数y=kx+b（k≠0）的图象上，则关于x的不等式kx+b＜4的解集是______．

15.若关于x的不等式的整数解共有4个，则m的取值范围是 ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
解不等式组：.
17.(本小题7分)
如图，AB=AC，D、E分别是AC、AB上的点，M、N分别是CE、BD上的点，若AM⊥CE、AN⊥BD，AM=AN，求证：Rt△ABN≌Rt△ACM.
18.(本小题7分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，BC=2cm.
（1）用尺规作图：在边AC上作出点E，使得AE=BE；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）线段AE的长度为______.
19.(本小题9分)
2026年是红军长征胜利90周年，某校初三年级开展红色研学，筹备甲、乙两种研学包，其中甲包含1张长征路线图和3枚纪念章，乙包含2张长征路线图和2枚纪念章.
（1）若学校有100张长征路线图，200枚纪念章，恰好能搭配甲、乙两种研学包各多少个？
（2）若计划共搭配90个研学包，且乙包数量不低于甲包的一半，至少需要准备多少张长征路线图？
20.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，交CD于点F，交AC于点E.
（1）求证：△CEF是等腰三角形；
（2）若∠CFB=115°，求∠A的度数.
21.(本小题9分)
一次函数y1=kx+b和y2=-4x+a的图象如图所示，且A（0，4），C（-2，0）．
（1）由图可知，不等式kx+b＞0的解集是______；
（2）若不等式kx+b＞-4x+a的解集是x＞1．
①求点B的坐标；
②求a的值．
22.(本小题13分)
综合与探究定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程2x-7=1的解为x=4，不等式组的解集为2＜x＜5.因为2＜4＜5，所以称方程2x-7=1是不等式组的“相伴方程”.
（1）若不等式组为，则方程2（x+1）-3=1是不是该不等式组的相伴方程？请说明理由；
（2）若关于x的方程2x-a=1是不等式组的相伴方程，求a的取值范围；
（3）若方程5x-10=0和都是关于x的不等式组的相伴方程，求k的取值范围.
23.(本小题14分)
【问题背景】（1）如图1，直线l经过点C，∠ACB=90°，AC=BC，过点A，B分别向直线l作垂线，垂足分别为D，E，求证：△ADC≌△CEB.
【问题探究】（2）如图2，在△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，E是AB上一点，且∠BDE=90°，DB=DE，∠A=∠ADE.若AD=10，求BC的长.
【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ACB=90°，AC=BC，∠ADC=45°，CD=10，△BCD的面积为20，求四边形ABCD的面积.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】x≤1
12.【答案】30
13.【答案】100°
14.【答案】x＜3
15.【答案】6＜m7
16.【答案】-2≤x＜4．
17.【答案】∵如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，M、N分别是CE、BD上的点，AM⊥CE、AN⊥BD，
∴∠ANB=∠AMC=90°（垂直的定义），
在Rt△ABN和Rt△ACM中，
，
∴Rt△ABN≌Rt△ACM（HL）．
18.【答案】如图，点E即为所求； 4 cm
19.【答案】恰好能搭配甲种研学包50个，乙种研学包25个 至少需要准备120张长征路线图
20.【答案】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CEF+∠CBE=90°，∠BFD+∠FBD=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBF=∠CBF（角平分线的定义），
∴∠CEF=∠BFD，
∵∠CFE=∠BFD，
∴∠CEF=∠CFE（等量代换），
∴CE=CF（等角对等边），
∴△CEF是等腰三角形 ∠ A=40°
21.【答案】解：（1）x＞-2；
（2）①∵A（0，4），C（-2，0）在一次函数y1=kx+b上，
∴，
解得，
∴一次函数y1=2x+4，
∵不等式kx+b＞-4x+a的解集是x＞1，
∴点B的横坐标是x=1，
当x=1时，y1=2×1+4=6，
∴点B的坐标为（1，6）；
②∵y2=﹣4x+a经过点B（1，6），
∴6=-4×1+a，得a=10，
即a的值是10．
22.【答案】方程2（x+1）-3=1是不等式组的相伴方程 4＜a≤5 k≥10
23.【答案】∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠ACD=90°，
∵过点A，B分别向直线l作垂线，垂足分别为D，E，
∴∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°．
∴∠EBC=∠ACD．
在△CEB和△ADC中，
∴△CEB≌△ADC（AAS） 5 56
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