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2025-2026学年福建省福州一中九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，是无理数的是（　　）
A. 0 B. C. 3.14 D.
2.我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形不是轴对称图形而是中心对称图形的是（　　）
A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图
C. 赵爽弦图 D. 洛书
3.福建省2026年第一季度工业用电量为466.39亿千瓦时，466.39亿用科学记数法表示为（　　）
A. 466.39×108 B. 4.6639×109 C. 4.6639×1010 D. 0.46639×1011
4.如图是一个正三棱柱，则它的主视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
5.下列运算的结果为m6的是（　　）
A. m3+m3 B. m2 m3 C. （m2）3 D. m4÷m2
6.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边AB、AC与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（　　）
A.
B.
C.
D. 1
7.明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手.问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为（　　）
A. B.
C. D.
8.一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点M（1，2），且y随x的增大而增大.若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（　　）
A. （-2，2） B. （2，1） C. （-1，3） D. （3，4）
10.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=4，BC=3，AD=1，点E为边AB上的动点.将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FC，EC，则下列结论错误的是（　　）
A. EC-ED的最大值是2
B. FB的最小值是
C. EC+ED的最小值是4
D. FC的最大值是
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.正十边形的一个外角为______度．
12.无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向.如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障.测得A处到P处的距离为500m,从点A观测点P的仰角为α，cosα=0.98，则A处到B处的距离为 m.
13.不等式组的解集是 .
14.如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B.当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接AC，BD，则阴影部分图形的面积和为 .（结果保留π）
15.若一元二次方程2x2-6x-1=0的两根为α，β，则2α2-3α+3β+2016的值为 .
16.对于正整数n,根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m；若余数为0，则；若余数为1，则m=2n；若余数为2，则m=n+1.这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”.对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推.例如，正整数n=4，根据4除以3的余数为1，由4×2=8知，对4进行一次变换得到的数为8，根据8除以3的余数为2，由8+1=9知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由9÷3=3知，对4进行三次变换得到的数为3.若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之积为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：.
18.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE=CF.求证：AF=CE.
19.(本小题8分)
先化简，再求值：1-÷，其中a、b满足（a-）2+=0．
20.(本小题8分)
某班级拟开展科技主题班会活动，现从“科技安全”，“科技畅想”，“科技生活”，“科技前沿”，“科技故事”中挑选一个主题.全班同学通过投票选出最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如下：请根据以上信息，完成下列问题：
（1）本次投票共______人参与，其中科技安全所占百分比为______，并补全条形统计图.
（2）为确定班会科技主题，从该班选择7名学生代表为“科技畅想”和“科技故事”打分，分数列表如下：
科技畅想 10 9 9 3 6 9 10
科技故事 9 10 7 8 6 8 8
平均数 中位数 众数
科技畅想 a b 9
科技故事 8 8 c
求表中的数据：a= ______，b= ______，c= ______.
（3）结合上述信息，班会课应该选择哪个科技主题，并说明理由.
21.(本小题8分)
如图，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决问题：
（1）利用尺规作△BED，使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若BE交AD于点F，AB=1，BC=2，求AF的长.

22.(本小题10分)
综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合.
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm,起跳点与落地点的距离为160cm.
数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l,仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系.
（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变.
（2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为（0，75），点Q在x轴的正半轴上.求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长；
（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm,才能安全通过.如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC=∠BCD=90°，AB=57cm,BC=40cm,CD=48cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）.
23.(本小题10分)
ABCD是一个平行四边形纸片，BD是一条对角线，BD=BC=5，CD=6.
（1）如图1，将平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点A的对应点落在点P处，PB交CD于点M.试猜想PM与CM的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，点E，F分别在平行四边形纸片ABCD的AB，AD边上，连接EF，且EF∥BD，将平行四边形纸片ABCD沿EF折叠，使点A的对应点G落在CD边上，求DG的长.
24.(本小题12分)
综合与实践
福州一中组织“爱心义卖”活动.九（8）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）.
初始时，矩形义卖区ABCD与遮阳伞投影平行四边形MNPQ的平面图如图2所示，P在AD上，MN=3m,AN=1m,AP=2m,AB=3m,BC=2.5m,由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞.在移动过程中，平行四边形MNPQ也随之移动（MN始终在AB边所在直线l上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状.如图3为平行四边形MNPQ移动到P落在BC上的情形.
【问题提出】
菲菲同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时平行四边形MNPQ的位置.
设遮阳区的面积为Sm2，平行四边形MNPQ从初始时向右移动的距离为x m.
【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，S随x的增大而______（填“增大”、“减小”或“不变”）；
【初步探究】（2）求图3情形的x与S的值；
【深入研究】（3）从图3情形起右移至M与A重合，求该过程中S关于x的解析式，并写出x的取值范围；
【问题解决】（4）请判断遮阳区面积能否达到矩形ABCD面积的？并说明理由.
25.(本小题14分)
如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，BD是⊙O的直径.连接AC，BE，CE，CE与BD交于点G，∠AEC=∠ACF.
（1）求证：直线CF是⊙O的切线；
（2）若AC平分∠BAE，
①求证：GO CE=GC OB；
②探究，发现与证明：是否存在常数a,b,使等式AC2=aBC CE+bAB AE成立？
若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值使等式AC2=aBC CE+bAB AE成立；若不存在，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】36
12.【答案】490
13.【答案】2＜x≤3
14.【答案】
15.【答案】2026
16.【答案】18
17.【答案】5．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵AE=CF，
∴AB-AE=BC-CF，
即BE=BF，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF=CE．
19.【答案】解：
=1-
=1-
=
=
∵a、b满足，
∴a-=0，b+1=0，
∴a=，b=-1，
当a=，b=-1时，
原式==．
20.【答案】50，20%，条形统计见解答；
8，9，8；
应该选择“科技畅想”，理由见解答．
21.【答案】（1）如图，△BED即为所求作的三角形；
（2）如图，在矩形ABCD中，AD=BC=2，AB=CD=1，AD∥BC，∠A=90°，
∴∠ADB=∠CBD，
由轴对称的性质可知，∠EBD=∠CBD，
∴∠FBD=∠FDB，
∴FB=FD，
设AF=x，则DF=2-x，
在Rt△ABF中，AB2+AF2=BF2=DF2 ，
12+x2=（2-x）2，
解得：，
∴．
22.【答案】（80，60），； 起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm； 6cm．
23.【答案】PM=CM，由翻折得AD=DP，∠DAB=∠DPB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠DAB=∠BCD，
∴DP=BC，∠DPB=∠BCD，
又∵∠DMP=∠BMC，
∴△DPM≌△BCM（AAS），
∴PM=CM
24.【答案】增大；
3；
S=-2x2+14x-19（3＜x≤4）；
x=3或x=4
25.【答案】如图1，CM是⊙O的直径，延长CO交⊙O于点M，连接EM，
∴∠CEM=90°，即∠AEC+∠AEM=90°，
∵∠AEC=∠ACF，∠AEM=∠ACM，
∴∠ACF+∠ACM=90°，
∴∠MCF=90°，
∴半径OC⊥CF，
∴直线CF是⊙O的切线 ①如图2，延长CO交⊙O于点M，连接EM，
∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC=∠BAC，
∴，
∴∠BDC=∠CME，
∵BD、CM是⊙O的直径
∴∠BCD=∠CEM=90°，
∴∠BDC+∠CBD=∠ECM+∠CME=90°，
∴∠CBD=∠ECM，
∵，
∴∠CBD=∠CED，
∴∠ECM=∠CED，
∵∠EGD=∠CGO，
∴△EGD∽△CGO，
∴，
∴GO GE=GC DG，
∴GO GE+GO CG=GC DG+GO CG，
∴GO CE=GC DO，
∴GO CE=GC OB；②存在常数a=1，b=1，使等式AC2=aBC CE+bAB AE成立；理由如下：
如图3，AC平分∠BAE，设AC与BE交于点N，
∴∠EAC=∠BAC，
∵∠EAC=∠EBC，∠BEC=∠BAC，
∴∠EAC=∠EBC=∠BAC=∠BEC，
∴CE=CB，
∵∠AEB=∠BCA，
∴△BCN∽△ACB，△AEN∽△ACB，
∴，，
∴BC2=AC×CN①，AE×AB=AC×AN②，
①+②得：BC2+AE×AB=AC×CN+AC×AN=AC（CN+AN）=AC2，
∵CE=CB，
∴AC2=BC CE+AB AE，
∵AC2=aBC CE+bAB AE，
∴a=1，b=1
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