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江苏省盐城市鹿鸣路初级中学等校2025-2026学年度第二学期期中考试八数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中是分式的是（）
A. B. C. D.
2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
3.将多项式分解因式，应提取的公因式是（ ）
A. B. C. D.
4.下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（）
A. B. C. D.
5.如果把分式中的x,y都扩大3倍，那么分式的值（　　）
A. 扩大9倍 B. 扩大3倍 C. 缩小3倍 D. 不变
6.已知，，则和的关系是（）
A. B. C. D.
7.高空抛物是一种不文明的危险行为,据研究,从高处坠落的物品,其下落的时间t(s)和高度h(m)近似满足公式t=(不考虑阻力的影响).物体从60m的高空落到地面的时间是( )
A. 2s B. 3s C. 6s D. 12s
8.年“强基计划”报名工作于4月启动，山东大学新增“密码科学与技术”专业．在密码学中，有一种用“因式分解”法产生的密码：对多项式因式分解后，再对其中字母赋值，计算各因式结果，再将各因式的结果按不同顺序排列，即可得到密码．例如：对多项式因式分解，取，时，用上述方法产生的密码不可能是（）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
10.当分式的值为0时，的值为 ．
11.化简： ．
12.分式和的最简公分母是 ．
13.若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是 ．
14.已知关于的分式方程有增根，则的值为 ．
15.高力装饰城某家居装饰店接到一个订单，要求用店内如图所示的，，三种板材装饰一面正方形背景墙．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形背景墙的边长是 ．
16.给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，则下列结论：①；②若，则；③若则；④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个．其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
三、计算题：本大题共3小题，共21分。
17.把下列各式分解因式：
(1) ；
(2) ．
18.计算：
(1) ；
(2) ．
19.解分式方程：．
四、解答题：本题共7小题，共51分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题7分)
先化简，再求值：，其中．
21.(本小题7分)
课堂上，老师提出了课本页的一道练习题：
若，试比较与的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”．
老师：比较与的大小．
小华：∵，
∴，
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
(1) 请用“作差法”完成老师提出的这道练习题；
(2) 比较大小： ．（填“”“”或“”）
22.(本小题7分)
观察下列等式，解答后面的问题．
第1个等式：． 第2个等式：．
第3个等式：． 第4个等式：……
(1) 请直接写出第5个等式 ．
(2) 根据上述规律猜想第n个等式（n为正整数），并给予证明．
23.(本小题6分)
阅读下列素材，完成任务．
问题背景 2026年3月，成立仅两年的张雪机车在葡萄牙站连胜两场夺冠，打破了欧美品牌长达37年的垄断，我校以张雪机车精神为核心，开展“逐梦少年·致敬榜样”主题活动，为让榜样精神可视化，学校计划采购A、B两款张雪专属机车模型，用于校园励志文化建设．
素材一 已知一个B款机车模型比一个款机车模型价格贵10元．
素材二 学校用2500元购进款机车模型的数量是用1500元购进款机车模型数量的2倍．
任务1 甲同学：设①__________的单价为元，由题意得方程：；乙同学：设购买款机车模型辆，由题意得方程：②__________．
任务2 求A、B两款机车模型的单价．
(1) 任务1中横线①处应填 ，横线②处应填 ；
(2) 请选择任务1中的一位同学的方法，求A、B两款机车模型的单价．
24.(本小题8分)
数学课上王老师给出规定：如果两个数的平方差能被4整除，我们称这个算式是“鹿鸣美好式”．
小亮写出如下算式：；
发现：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”．
(1) 验证： “鹿鸣美好式”（填“是”或“不是”）；
(2) 证明：任意两个连续偶数和（为整数）的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”；
(3) 如图，将10个同心圆从小到大套在一起，并由内向外相间画阴影．若最外面的圆的半径为，其余圆的半径由外向内依次为．请结合（2）中的结论，求图中所有阴影部分面积的和．（结果保留）
25.(本小题8分)
在最近的学习中，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．
例如：在正方形网格中构造格点线段（即线段端点都在小正方形的顶点处），．小明同学分析：由勾股定理得从而很快画出线段，如图①．
【模仿应用】
(1) 我们可以运用构图法比较与的大小．
已知图②中，，请你在图②中构造合适的图形，并得出结论：
（填“>”或“<”），依据是 ；
(2) 【探索创新】已知格点三边长分别为，则的面积为 ，此三角形最长边上的高是 ；
(3) 已知格点菱形，其周长为，则菱形的高为 ；
(4) 【拓展迁移】
如图③，已知线段的长度为3，点是线段上的一动点，设，请在图形上合理构图画出取得最小值时点的位置，并求出最小值．
26.(本小题8分)
知识与方法的类比，是数学探索与发展的核心路径，更是发现问题、推导新结论的重要思想工具．在代数运算与恒等变形中，整体思想是破解复杂问题的关键技巧：通过将重复出现的代数式、关联的数量关系看成一个整体，运用整体设元、整体代入等策略，能大幅简化运算，让常规思路难以解决的问题找到简便方法．
材料1：分解因式；
解：将“”看成一个整体，令；
原式
材料2：当时，，．若ab为定值，则，当且仅当时，有最小值．
如：若，则，当且仅当，即时取得最小值2．
请根据阅读材料，利用整体思想解答下列问题：
(1) 已知，则代数式的值为 ；
(2) 因式分解：；
(3) ①若，则的最小值为 ；
②若的最小值为 ；
(4) 已知，且，求的最小值．
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】x1
10.【答案】3
11.【答案】7
12.【答案】 /
13.【答案】6
14.【答案】-3
15.【答案】
16.【答案】①②③④
17.【答案】【小题1】
解：
【小题2】
解：

18.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

19.【答案】解：去分母，两边同乘得，
移项得，
解得，
经检验，当时，，
所以原分式方程的解为：．

20.【答案】解：
；
当时，原式.

21.【答案】【小题1】
解：
，
∵，
∴，，
∴，
∴；
【小题2】

22.【答案】【小题1】

【小题2】
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
，
第n个等式：，
证明：左边
，
右边
，
，
．

23.【答案】【小题1】
款机车模型

【小题2】
解：甲同学：设款机车模型的单价为元，
由题意得方程：
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则B款机车模型的单价为（元）；
乙同学：设购买款机车模型辆，
由题意得方程：
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则B款机车模型的单价为（元），款机车模型的单价为（元）
答：款机车模型的单价为元，B款机车模型的单价为元．

24.【答案】【小题1】
是
【小题2】
证明：设任意两个连续偶数和（为整数），则
∴任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”；
【小题3】
解：由题意得
．

25.【答案】【小题1】
>
三角形中两边之和大于第三边
【小题2】
15

【小题3】
或
【小题4】
解：
构造图形，线段的长度为3，，则，
过点和分别作的垂线，使，，连接，，，
此时，，
∵，
∴的最小值为的长，
则与的交点为，
以和为边构造矩形，
∴，，
∴．

26.【答案】【小题1】
16
【小题2】
解：令，
∴原式
；
【小题3】
7

【小题4】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
当且仅当，即等号成立，此时，
∴的最小值为．

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