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2025-2026学年北京交通大学附属中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各图中满足y是x的函数图象的是（　　）
A. B.
C. D.
2.下列是二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
3.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（　　）
A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7
4.一次函数y=2x+1的图象经过点（　　）
A. （0，1） B. （2，4） C. （3，9） D. （-2，-5）
5.下列运算正确的是（　　）
A. B. C. D.
6.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，对角线AC、BD交于点O，点P是AB的中点，连接DP，点E是DP的中点，连接OE，则OE的长是（　　）
A. 1
B.
C. 2
D.
7.如图，长方形纸片ABCD中，AB=4，AD=8，将纸片沿EF折叠使点B与点D重合，折痕EF与BD相交于点O，则DF的长为（　　）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
8.如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，BC⊥AB，垂足为B，且BC=1，以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（　　）
A. 2.2
B.
C.
D.
9.如图，直线y=3x+6与x，y轴分别交于点A，B，以OB为底边在y轴右侧作等腰△OBC，将点C向左平移5个单位，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C的坐标为（　　）
A. （3，3）
B. （4，3）
C. （-1，3）
D. （3，4）
10.如图1，已知点E，F，G，H是矩形ABCD各边的中点，AB=6，BC=8，动点M从点E出发，沿E→F→G→H→E匀速运动，设点M运动的路程x，点M到矩形的某一个顶点的距离为y，如果表示y关于x函数关系的图象如图2所示，那么这个顶点是矩形的（　　）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.函数中，自变量x的取值范围是 ．
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2cm,则它斜边上的中线CD为 cm.
13.在一次函数y=kx+3中，当x=2时，y=-3，则k= .
14.在△ABC中，∠C=90°，c=5，则a2+b2+c2= .
15.象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久.如图所示的是某次对弈的残图，若建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点（-2，-1）的位置，则在同一平面直角坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数的表达式为 .（填序号）
①y=x+1；②y=x-1；③y=-x-3.
16.边长为a的菱形是由边长为a的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h，则称为为这个菱形的“形变度”．
（1）一个“形变度”为2的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为______．
（2）如图，A、B、C为菱形网格（每个小菱形的边长为1，“形变度”为）中的格点，则△ABC的面积为______．
三、解答题：本题共10小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：
（1）；
（2）.
18.(本小题4分)
如图，平行四边形ABCD中，E、F是AB、CD边上的点，AE=CF，求证：DE=BF．
19.(本小题4分)
已知：，，求x2+y2-2xy的值.
20.(本小题5分)
下面是小明“作矩形AECF”的尺规作图过程.
已知：四边形ABCD是平行四边形.
求作：矩形AECF（点E在BC上，点F在AD上）.
作法：①以点A为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点G；
②分别以点B和点G为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点H（点H与点A在BC异侧）；
③连接AH交BC于点E；
④以点A为圆心，CE长为半径作弧，交AD于点F；
⑤连接CF.
则四边形AECF为所求作的矩形.
（1）根据作法补全图形，保留作图痕迹；
（2）根据小明的作法完成下面的证明.
证明：连接HB，HG，AG.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∵AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AG=AB=HB=HG，
∴四边形ABHG为______，
∴______⊥______，
∴∠AEC=90°，
∴四边形AECF为矩形（______）（填写推理依据）.
21.(本小题5分)
已知y与x-2成正比例，且当x=1时，y=-2.
（1）求变量y与x的函数关系式；
（2）请在给出的平面直角坐标系中画出此函数的图象；
（3）已知点A在函数y=ax+b的图象上，请直接写出关于x的不等式ax+b＞2x-4的解集______.
22.(本小题6分)
已知：如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过B，C两点分别作AC，BD的平行线，两直线相交于点F．
（1）补全图形，并证明四边形BFCO是菱形；
（2）若AB=3，BC=4，求四边形BFCO的周长．
23.(本小题5分)
学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将ACB裁剪拼接至 AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．
24.(本小题5分)
科学兴趣小组利用不同材料制作了A，B两种太阳能电池板，记录了在一定条件下，当光照强度为x（单位：klx）时，A电池板的输出电压y1（单位：V）和B电池板的输出电压y2（单位：V），部分数据如下：
x/klx 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
y1/V 0 0.6 1.2 1.8 m 3.0 3.6 4.2 4.8 5.4 6.0
y2/V 0 2.4 3.8 4.6 5.0 5.3 5.5 5.7 5.8 5.6 6.0
通过分析数据发现，可以用函数刻画y1与x,y2与x之间的关系，回答下列问题：
（1）①y1可以看作是关于x的正比例函数，则m的值为______；
②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高.请选出y2中不符合这条规律的数据，在表格中划“×”；
（2）结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中画出y1，y2两个函数的图象；
（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当光照强度为50klx时，B电池板的输出电压与A电池板的输出电压之差约为______V（结果保留小数点后一位）；
②如果想使两块电池板的输出电压之和不低于6.5V，则光照强度应至少达到______klx（结果保留整数）.
25.(本小题7分)
如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC边于点G，连接DF，DG．
（1）依题意补全图形，并证明∠FDG=∠CDG；
（2）过点E作EM⊥DE于点E，交DG的延长线于点M，连接BM．
①直接写出图中和DE相等的线段；
②用等式表示线段AE，BM的数量关系，并证明．
26.(本小题6分)
在△ABC中，CD为AB边上的中线，点E在边AB上（不与点D重合），若∠CED=90°，那么线段CD的中点P称为△ABC关于AB的“斜等点”（如图1所示）．
在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A与原点O重合，点B的坐标为（2t，0）（t＞0），点C在x轴上方．
（1）当t=2时，若存在△ABC关于AB的“斜等点”点P，
①下列各点中，符合题意的点C可能是______（不必写出坐标）．
C1（-3，2），C2（0，2），C3（2，4），C4（4，2）．
②设△ABC关于AB的“斜等点”P的坐标为（m，n），若CD=4，则m的取值范围是______，n的取值范围是______．
（2）若△ABC关于AB的“斜等点”P为定点P（2，2），直接写出t的取值范围．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】x≠1
12.【答案】1
13.【答案】-3
14.【答案】50
15.【答案】①③
16.【答案】（1）1：2；
（2） .
17.【答案】
18.【答案】证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE=BF．
19.【答案】12．
20.【答案】见解析；
菱形，AH，BG，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
21.【答案】x＜3
22.【答案】解：（1）补全图形如图所示：
∵BF∥AC，CF∥BD，
∴四边形BFCO是平行四边形，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OA=AC，OD=OB=BD，AC=BD，
∴OC=OB，
∴四边形BFCO是菱形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴AC===5，
∴OC=AC=，
∵四边形BFCO是菱形，
∴BF=CF=OB=OC=，
∴四边形BFCO的周长=4×=10．
23.【答案】证明：如图，连接BF，
∵AC=b，
∴正方形ACDE的面积为b2，
∵CD=DE=AC=b，BC=a，EF=BC=a，
∴BD=CD-BC=b-a，DF=DE+EF=a+b，
∵∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠BAE=90°，
∵∠BAC=∠EAF，
∴∠EAF+∠BAE=90°，
∴ BAF为等腰直角三角形，
∴四边形ABDF的面积为：c2+（b-a）（a+b）=c2+（b2-a2），
∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，
∴b2=c2+（b2-a2），
∴b2=c2+b2-a2，
∴a2+b2=c2，
∴a2+b2=c2．
24.【答案】2.4 在给出的平面直角坐标系中画出y1，y2两个函数的图象如下：
2.3;31
25.【答案】解：（1）依题意补全图形如图1，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠A=∠C=90°，
∵点A关于直线DE的对称点为F，
∴△ADE≌△FDE，
∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，
∴∠DFG=90°，
在Rt△DFG和Rt△DCG中，
∵，
∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），
∴∠FDG=∠CDG；
（2）①DE=EM．
∵∠ADE=∠FDE，∠FDG=∠CDG，
∴∠EDG=∠ADC=45°，
∵EM⊥DE，
∴∠MED=90°，
∴∠EMD=∠EDM=45°，
∴DE=EM；
②BM=AE．
证明如下：
如图2，过点M作MN⊥AB交AB的延长线于点N，连接BM，
∵∠AED+∠NEM=90°，∠AED+∠ADE=90°，
∴∠NEM=∠ADE，
在△DAE和△ENM中，
∴△DAE≌△ENM（AAS），
∴AE=MN，AD=EN，
∵AD=AB，
∴AB=EN=AE+BE=BE+BN，
∴AE=BN=MN，
∴△BNM是等腰直角三角形，
∴BM=MN=AE．
26.【答案】C2、C4 1≤m≤3且m≠2
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