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2025-2026学年北京二十中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A. B. C. D.
2.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（　　）
A. 5，12，13 B. 5，6，7 C. ， D. 2，3，4
3.下列计算正确的是（　　）
A. += B. 3-=3 C. ×= D. ÷=2
4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A. AB∥CD，AD∥BC
B. OA=OC，OB=OD
C. AD=BC，AB∥CD
D. AB=CD，AD=BC
5.如图所示的图象分别给出了x与y的对应关系，其中能表示y是x的函数的是（　　）
A. B.
C. D.
6.如图，已知DE是△ABC的中位线，F为DE上一点，连接CF，若AB=8，DF=，则EF的长为（　　）
A.
B.
C. 3
D. 4
7.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD的交点为O，点E为BC边的中点，∠OCB=30°，如果OE=2，那么对角线BD的长为（　　）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
8.在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是边AB上的一个动点（不与A、B重合），连接EO并延长，交CD于点F，连接AF，CE，有下列四个结论：
①对于动点E，四边形AECF始终是平行四边形；
②若∠ABC＞90°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是矩形；
③若AB＞AD，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是菱形；
④若∠BAC=45°，则至少存在一个点E，使得四边形AECF是正方形.
以上所有正确说法的序号是（　　）
A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10.一个多边形的每一个内角都等于108°，这个多边形是正 边形.
11.已知 ABCD中，∠A+∠C=240°，则∠B的度数是______．
12.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，O为AC的中点，若BC=10，则点O与点B的距离是 .
13.如图，学校的旗杆AB垂直立于地面，当阳光与地面夹角为60°时，旗杆的影子BC长5米，则学校旗杆AB的高度为 米.
14.已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积为 cm2．
15.《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广.书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形ABCDE，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理.已知c=4，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么BC的长是 .
三、解答题：本题共10小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题3分)
如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形OABC由9块边长为1的小正方形拼成，图中阴影矩形记为区域M（包含边界）.对于正方形OABC边上的一点P，若点Q在正方形OABC内部且线段PQ与区域M有公共点，则称点Q是点P的“盲点”.点P的所有“盲点”组成的区域称为点P的“盲区”，其面积记为S（P）.
（1）点E（3，1）的“盲区”的面积S（E）是______；
（2）若点F（x,3）在线段AB上，且2≤x≤3，则点F的“盲区”的面积S（F）= ______（用含x的代数式表示）.
17.(本小题7分)
计算：
（1）；
（2）.
18.(本小题5分)
如图，在 ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF．
求证：BE=DF．
19.(本小题5分)
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，请在图中画出一个三角形，使其周长为，所画图形各顶点必须与网格中的小正方形顶点重合.
20.(本小题5分)
汽车油箱中有汽油60L，如果不再加油，那么油箱中剩余的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少.已知该汽车平均每千米耗油0.1L.
（1）直接写出表示y与x的函数关系的式子；
（2）自变量x的取值范围是______；
（3）汽车行驶400km时，油箱中还有多少汽油？（直接写出结果）
21.(本小题5分)
已知：如图1，△ABC.
求作： ABCD.
作法：①作∠ABC的平分线BM；
②以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线BM于点N，作射线AN；
③以点A为圆心，BC长为半径画弧，交射线AN于点D，连接CD；
∴四边形ABCD为所求.
（1）使用直尺和圆规.依作法在图2中补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明.
∵AB=AN，
∴∠ABN= ______
∴BN是∠ABC的平分线，
∴∠ABN=∠CBN.
∴∠CBN= ______.
∴AD∥BC.
∴AD=BC，
∴.四边形ABCD为平行四边形（______）（填推理的依据）.
22.(本小题6分)
如图， ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE=DF，∠AEC=90°．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）连接BF，若AB=4，∠ABC=60°，BF平分∠ABC，求AD的长．
23.(本小题6分)
阅读材料，回答问题：
我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式.如=a,=1.两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么我们称这两个代数式互为有理化因式.在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号.
例如：.
（1）化简：=______；
（2）=______；
（3）设有理数a、b满足-1，则a+b=______.
24.(本小题7分)
正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PE⊥BD于E，连接EO，AE．
（1）若∠PBC=α，求∠POE的大小（用含α的式子表示）；
（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明．
25.(本小题6分)
对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形W，定义如下：若图形W上存在A，B两点，使得△ABC为等腰直角三角形，且∠CBA=90°，则称点C为图形W的“等腰定锤点”.
（1）如图1，已知点M（0，3），N（4.3），在点C1（0，-1），C2（2，3），C3（3，1），C4（5，2）中，线段MN的“等腰定锤点”是______；
（2）已知，点P（0，4），Q（4，0），连接PQ，若点A（t,1）为线段PQ的“等腰定锤点”，请写出t的取值范围______；
（3）如图2，正方形ABCD的边长为3，顶点坐标分别为A（-2，2），B（2，2），C（2，-1），D（-2，-2），且每条边都与坐标轴平行.点H（0，m）和点G（m,0）分别为y轴和x轴上的动点，连接HG.若线段HG上的每一个点都是正方形ABCD的“等腰定锤点”，请直接写出m的取值范围______.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】x≥4
10.【答案】五
11.【答案】60°
12.【答案】10
13.【答案】
14.【答案】24
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】2 17
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴DE=BF，DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE=DF．
19.【答案】如图，△ABC即为所求．

20.【答案】y=60-0.1x 0≤x≤600 汽车行驶400km时，油箱中还有20L汽油
21.【答案】∠ANB ∠ ANB 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
22.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，
又∵BE=DF，
∴BC-BE=AD-DF，即EC=AF，
又EC∥AF，
∴四边形AECF为平行四边形，
又∵∠AEC=90°，
∴四边形AECF是矩形；
（2）解：在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠ABE=60°，AB=4，
∴BE=2，AE=，
∵四边形AECF是矩形，
∴FC⊥BC，FC=AE=．
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC=∠ABC=30°，
在Rt△BCF中，∠FCB=90°，∠FBC=30°，FC=，
∴BC=6，
∴AD=BC=6．
23.【答案】 2025 3
24.【答案】解：（1）在正方形ABCD中，BC=DC，∠C=90°，
∴∠DBC=∠CDB=45°，
∵∠PBC=α，
∴∠DBP=45°-α，
∵PE⊥BD，且O为BP的中点，
∴EO=BO，
∴∠EBO=∠BEO，
∴∠EOP=∠EBO+∠BEO=90°-2α；
（2）BP= ,
连接OC，EC，
在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABD=∠CBD，BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=CE，
在Rt△BPC中，O为BP的中点，
∴CO=BO=，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠COP=2α，
由（1）知∠EOP=90°-2α，
∴∠EOC=∠COP+∠EOP=90°，
又由（1）知BO=EO，
∴EO=CO．
∴△EOC是等腰直角三角形，
∴EO2+OC2=EC2，
∴EC=OC=，
即BP=，
∴BP=．
25.【答案】C1和C3 -3≤t≤5，且t≠3 0＜m≤6
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