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山东青岛市西海岸2025-2026学年八年级下学期期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在下列英文大写正体字母中，是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A. B. C. D.
3.如图，三个社区分别坐落在，，所在位置，现要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，该饮水点应建在（　　）
A. 三边的垂直平分线的交点处 B. 的三条高线的交点处
C. 的三条角平分线的交点处 D. 的三条中线的交点处
4.如图，在中，，，点在底边上，如果绕点按顺时针方向旋转一个角度后与重合，则旋转角的度数为（ ）
A. B. C. D.
5.用反证法证明命题“在中，，，所对的边分别为，，，若，则．”时，应假设（　　）
A. B. C. D.
6.下列命题的逆命题是真命题的是（）．
A. 互为邻补角的两个角的和为 B. 若，，则
C. 全等三角形的对应角相等 D. 同位角相等，两直线平行
7.在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的对应点的坐标为，则点的坐标为（　　）
A. B. C. D.
8.如图，在三角形纸片中，，分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（　　）
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，若此时点恰好在的角平分线上，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，在5×5的正方形网格中，点A、B均在格点上．要在格点上确定一点C，连结AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（　　）
A. 5个
B. 6个
C. 7个
D. 8个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形是 边形．
12.如图所示的图案是由6个相同的六边形组成，它可以看成是由其中一个六边形通过连续5次旋转形成的，则每次旋转的度数是 ．
13.三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是 三角形（锐角、直角、钝角）
14.某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了 道题．
15.如图，，是的高，且.若，则的度数是 °．
16.如图，某公园内有一条“型”景观水道，，水道的宽度为米，水道分为东西方向和南北方向两段．两个凉亭分别位于，两点，其中位于南北方向水道的西侧，位于东西方向水道的南侧，已知，两点在东西方向上的水平距离为米，在南北方向上的竖直距离为米．现要建造两座与水道垂直的景观桥和（桥长均为米），使得从处到处的游览路径最短，则最短路径的长为 米．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.解不等式（组）：
(1) 解不等式：；
(2) 解不等式：；
(3) 解不等式组：；
(4) 求不等式组的整数解．
四、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
已知：如图，．
求作：点，使点在的边的高线上，且到，两边的距离相等．
19.(本小题8分)
已知关于的方程的根是非负数，求实数的取值范围．
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，点的坐标为，请按下列要求画图并填空．
(1) 将线段绕点按顺时针方向旋转，画出旋转后的线段；
(2) 平移线段，使点与点重合，则点的对应点的坐标为 ；
(3) 在（2）的平移过程中，平移的距离为 个单位长度；
(4) 已知动点在轴上，当的周长最小时，点的坐标为 ．
21.(本小题8分)
已知：如图，在中，，，垂足为，平分交于点，交于点，平分交于点，交于点．
(1) 求证：；
(2) 求证：．
22.(本小题8分)
某公司计划购买一种文创纪念品（至少购买件），现从甲、乙两家商店了解到该纪念品每件标价均为元．各商店的优惠条件见下表：
商店 优惠条件
甲商店 前件按原价销售，其余每件享受七折优惠
乙商店 每件均享受九折优惠
(1) 该公司选择哪个商店购买纪念品更合算？
(2) 该公司准备购买件纪念品，到乙商店购买更合算吗？
23.(本小题12分)
【概念引入】我们约定：在一个直角三角形中，如果从直角顶点引出一条射线，将直角分成两个锐角，这两个锐角的度数分别等于此直角三角形中除直角外的两个内角的度数，那么我们把这条射线叫做这个直角三角形的和谐分割线．
(1) 【初步理解】在中，是的和谐分割线，且与斜边交于点，则的形状为 ；（只填写序号）①等腰三角形；②直角三角形；③等腰三角形或直角三角形；
(2) 【深入探究】在中，，，的和谐分割线交于点，若，则的长度为 ；
(3) 【类比应用】在钝角中，是唯一最小的内角，且．是边上的动点（不与，重合），已知过顶点的线段将分成两个三角形，一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的的度数．
24.(本小题14分)
【课本再现】如图1，在等边中，是边上一点，过点作的平行线；将绕点逆时针旋转，使点与点重合，点的对应点为．

(1) 请在图1中画出；
(2) 此时旋转角的度数为 ；
(3) 【类比迁移】如图2，在等边中，是边外一点，点与点在两旁，且，连接，延长到，使，连接，求证：；
(4) 【拓展应用】在（3）的条件下，若，，则的长为 ．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】四
12.【答案】60
13.【答案】钝角
14.【答案】18
15.【答案】23
16.【答案】21
17.【答案】【小题1】
解：
移项得：，
合并同类项得，
系数化为1得；
【小题2】
解：
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得；
【小题3】
解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为；
【小题4】
解：解不等式得，
解不等式得，
∴原不等式组的解集为，
∴原不等式组的整数解为，．

18.【答案】解：如图所示，点即为所求．

19.【答案】解：
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得
方程的根是非负数，
解得．

20.【答案】【小题1】
解：如图，线段即为所求；
【小题2】

【小题3】
5
【小题4】


21.【答案】【小题1】
证明：
平分
又
【小题2】
解：由（1）知
为等腰三角形
又平分

22.【答案】【小题1】
解：设该公司购买纪念品的件数是件，选择甲商店时所需的费用为元，选择乙商店时，所需的费用为元，
根据题意得：，，
由得：，
解得：；
由得：，
解得：；
由得：，
解得：；
当时，甲乙两商店一样合算，
当时，选择乙商店更合算，
当时，选择甲商店更合算；
【小题2】
解：当时，
可得：，，
，
到甲商店购买件纪念品更合算，到乙商店购买件纪念品不合算．

23.【答案】【小题1】
③
【小题2】
或
【小题3】
解：∵在钝角中，是唯一最小的内角，且，是边上的动点，
如图所示，若是钝角，则是锐角，是钝角三角形，
∴也是锐角，是钝角，
∴也是钝角三角形，
∴不满足题意，
∴是钝角，
情况一，如图所示，根据题意可得，是等腰三角形，是直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
情况二，如图所示，根据题意可得，是直角三角形，是等腰三角形，，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
情况三，如图所示，根据题意可得，是直角三角形，是等腰三角形，
，
∴，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
综上所述，所有满足条件的的度数为，，．

24.【答案】【小题1】
解：如图所示，即为所求；
【小题2】

【小题3】
证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴；
【小题4】


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