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江苏淮安市开明中学等校2025-2026学年下学期九年级八校联考期中数学试卷（2026.4.28）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
3.在我国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（）
A. B. C. D.
4.一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“祝你考试顺利”，把它折成正方体后，与“祝”相对的字是（）
A. 考 B. 试 C. 顺 D. 利
5.如图，在中，，直线a经过点A和边的中点D，直线b经过点C，且，若，则的度数为（ ）
A. 57° B. 67° C. D. 46°
6.一个圆锥的母线为，底面圆的半径为，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
7.电影《满江红》一经上映便受到广大观众的喜爱，已知第一天票房为3亿元，前三天票房累计约15亿元．若每天票房的增长率都为，依题意可列方程为（）
A. B.
C. D.
8.在中，，，垂足为，，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10.分解因式： ．
11.若二次函数的图象经过点，则 ．
12.超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如下表：
测试项目 创新能力 综合知识 语言表达
测试成绩/分 70 80 90
将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 分．
13.若关于的一元二次方程有一个根为，则的值是 ．
14.如图，已知四边形是正方形，是对角线的中点，以为边作一个正五边形，则的度数是 度．
15.如图，的半径为6，点在上，点在内，且，过点作的垂线交于点、．设，，则与的函数表达式为 ．
16.如图，等边的边长为2，点在边上，过点作交的延长线于点，若，则的长为
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算与解不等式组
(1) ；
(2)
四、解答题：本题共10小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
先化简，再求值：，其中．
19.(本小题6分)
如图，中，点，分别在，上，，连接，．
(1) 求证：四边形是平行四边形；
(2) 若四边形为菱形，，，则的面积为
20.(本小题6分)
临近中考，心理专家建议考生可通过以下三种方式进行考前减压：A．享受美食，B．交流谈心，C．体育锻炼．
(1) 随机采访一名九年级考生，选择其中某一种方式，他选择“体育锻炼”的概率是 ；
(2) 随机采访两名九年级考生，请用画树状图或列表的方法求他们选择同种减压方式的概率．
21.(本小题9分)
为统计跳绳情况，某校随机抽取了名女生和名男生的跳绳成绩，并对数据进行整理得如下统计表：
表1：
分值（分）
男生（人）
女生（人）
表2：
数据 平均数 中位数 众数 方差
男生成绩（分）
女生成绩（分）
(1) 上述表格中， ， ；
(2) 请计算女生成绩的方差 ；
(3) 结合表和表中的统计量，你认为男生、女生谁的成绩较好？请简述理由．
22.(本小题6分)
小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，）
23.(本小题4分)
如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点．
(1) 求证：是的切线；
(2) 若，求的半径．
24.(本小题4分)
某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下：
x（元/个） … 52 53 54 55 …
y（个） … 760 740 720 700 …
(1) 求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2) 当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？
25.(本小题7分)
已知关于的二次函数（m为常数）．
(1) 此二次函数的对称轴是直线
(2) 说明该函数图象与轴必有两个不同的交点；
(3) 若，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，在点从点运动到点的过程中，的长总是先增大后减小，直接写出的取值范围．
26.(本小题10分)
在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻满足；如图②，在并联电路中，总电阻满足
(1) 如图②，已知，总电阻为，求的值；
(2) 我们也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下：如图③，在直线上任取两点、，分别过点、作直线的垂线，并在这两条垂线上分别截取，，且点位于直线的同侧，连接、，交于点，过点作直线，则线段的长度就是并联后的电阻值．
证明：∵，，∴
又∵，∴ _____①_____，
∴（依据________②______）
同理可得：，∴，
∴，即
依据上述证明过程，补全①②的内容：
① ②
(3) 如图④，三个电阻、、并联在同一电路中，已知，，，且，请在图中用无刻度直尺和圆规作出电路图中表示总电阻的线段．
(4) 如图②，电阻，并联在电路中，且，请用所学过的数学知识讨论一下，分别为多少时，该电路的总电阻最大，最大电阻是多少？
(5) 我们通过作差法可以得到：对于任意非负实数、，都有（当且仅当时取等号）．现有两个电阻、，，，记串联后总电阻为，并联后总电阻为，令，直接写出实数的取值范围．
27.(本小题8分)
定义：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角的倍，该三角形称为“倍角三角形”．如图1，在中，，则是“二倍角三角形”；如图2，，则是“三倍角三角形”；

【提出问题】三角形中的角与边之间存在一定的关系，如我们学过的：“等角对等边”、“直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方”．那么在“二倍角三角形”中，三边之间是否也存在特殊的关系？
结论：在“二倍角三角形”中，若，则
【推理证明】“转化”是我们研究数学问题的重要思想方法，研究小组思考将“二倍角”问题转化为等角进行研究，得到如下两种证明思路：
思路一：如图3，延长至，使，连接．
思路二：如图4，将沿直线翻折，使点与点重合，与分别交于点、E，连接．
(1) 请从以上两种思路中，选择其中一种继续完成证明．
(2) 【拓展应用】
①如图5，已知中，，点是斜边的中点，将沿折叠，点恰好落在边上点处，若，则
②如图6，在“四倍角三角形”中，，则的长为 ．
(3) 【深度应用】
对于“三倍角三角形”，如图7，可以将它分割成两个等腰三角形”知识一个物图8，也可以将它分割成一个二倍角三角形和一个一般三角形．
如图9，在“三倍角三角形”中，，平分，，则的值为
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】2027
12.【答案】78
13.【答案】或
14.【答案】117
15.【答案】
16.【答案】 /
17.【答案】【小题1】
解：原式
；
【小题2】
解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为．

18.【答案】解：原式=
=，
当x=时，
原式=.
19.【答案】【小题1】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
【小题2】


20.【答案】【小题1】

【小题2】
解：画树状图如图
共有9种等可能的结果数，其中他们选择同种减压方式的结果数为3，
∴他们选择同种减压方式的概率为．

21.【答案】【小题1】
9.5
10
【小题2】
1.6
【小题3】
解：女生的成绩较好，理由如下：
男、女生成绩的众数相同，但女生成绩的平均数、中位数都高于男生，且女生成绩的方差低于男生，所以女生的跳绳成绩总体比男生好且更稳定．

22.【答案】解:延长DC交AN于点H，则DHAN.
在RtBCH中,BCH==78.5°,
BCH=，BCH=,
CH=CB78.5° 10=2( m)，
BH=CB78.5° 10=(m)，
DH=CD+CH=(m)，
DEAN,
DAN=EDA==8.5°，
在RtDAH中,DAN=,
AH=≈=24(m)，
AB=AH-BH=24-=(m),
答:河宽AB约为m.
23.【答案】【小题1】
证明：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵于点，交的延长线于点，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线．
【小题2】
解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴的半径长为3．

24.【答案】【小题1】
解：由题意可知，y是x的一次函数．
设y与x的函数表达式为，
把，分别代入，得
，解得
∴y与x的函数表达式为．
【小题2】
解：根据题意，得，
∴．
整理，得．
解得，．
∵，
∴．
答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元．

25.【答案】【小题1】
x=m
【小题2】
解：二次函数，
判别式，
所以该函数图象与轴必有两个不同的交点．
【小题3】
解：由题意，点横坐标满足 ，
在抛物线上，
在直线上，
则，
∵，，
要使在上先增大后减小，需对称轴落在区间内，即：，
解得．

26.【答案】【小题1】
解：把，代入并联电阻公式，得
，
解得，
经检验是原方程的解；
【小题2】
相似三角形的对应边成比例
【小题3】
解：如图，连接、，两直线交于点，过点作，交直线于点；连接、，两直线交于点，过点作，交直线于点，即为表示总电阻的线段；
【小题4】
解：∵并联电阻公式，
∴，
已知，设，则，代入得
，
∵，抛物线开口向下，
∴当时，取得最大值，此时；
即当时，该电路的总电阻最大，最大电阻是；
【小题5】
解：串联总电阻：，
并联总电阻：，
则，
由基本不等式，当且仅当 即时取等号，此时，
当时，；
当时，；
∵，
∴，
综上，实数的取值范围为．

27.【答案】【小题1】
解：思路一：
，
，
，
，
，
，，
，
即，
；
思路二：由翻折，得，，
，
，
，
，
，
，
，，即，
，
，
即．
【小题2】
18°

【小题3】

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