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珠海市第九中学2025-2026学年度第二学期八年级期中数学试卷
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.的值是( )
A.4 B.±4 C.2 D.8
2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
3．下列条件中，使△ABC不是直角三角形的是( )
A. a=5，b=12，c=13 B. a∶b∶c=1∶2 C. D. ∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
4. 菱形和矩形都具有的性质是( )
A.对角线互相平分 B.有一组邻边相等 C.对角线相等 D.对角线互相垂直
5. 一个正方形的面积为，则它的对角线长为( )
A.2cm B. C. 4cm D. 3cm
6．如图，在△ABC中，AB=BC，，过B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD=1，则CD长为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7．如图，一圆柱体底面周长为40cm，高AB为30cm，BC是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求出爬行的最短路程等于( )
A. 40cm B. 50cm C. D.
8．如图，点B，D在数轴上，OB=3，OD=BC=1， ，以点D为圆心，DC长为半径作弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的是( )
A. B. C. D.
9．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，，则EPF的度数是( )
A. 100° B.120° C.130° D.150°
10．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF 的中点，则AM的最小值为( )
A. 2.4 B.2 C. 1.6 D. 1.2
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．当 时，二次根有意义.
12．正方形的周长C与边长a之间的关系为C=4a，则常量为 ；
13．在平行四边形ABCD中，如果，则∠B= ；
14．在Rt△ABC中，已知其中两边分别为6和8，则第三边为 ；
15．如图，在Rt△ABC中， ，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，S2，S3，若，则阴影部分的面积为 ；
三．解答题（共3小题，每小题7分，共21分）
16．计算：
17．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F；求证：四边形AECF是平行四边形.
18．某段公路限速是27m／s．“流动测速小组”的小王在距离此公路400m的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从C处行驶10s后到达B处，测得AB=500m，若AC⊥BC，求出速度并判断可疑汽车是否超速？
四．解答题（共3小题，每小题9分，共27分）
19．已知，求下列代数式的值；
(1)； (2) ；
20．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求作图.
（1）在图①中，画一条线段AB，使线段；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数：
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
21．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1．占希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》书中，给出了求其面积的海伦公式
（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）.
材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：
，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S.
（1）利用材料1解决下面的问题：
当a=3，b=5,，c=6时，求这个三角形的面积；
（2）利用材料2解决下面的问题：
已知△ABC二条边的长度分别是，，，记△ABC的周长为
①当x=2时，请直接写出△ABC中最长边的长度 ；
②若x是满足0五．解答题（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．我们知道直角三角形的三边长满足，那么在锐角三角形和钝角三角形中，三边长又满足什么关系呢？勤思小组做了进一步探究，以下是部分探究过程：
如图①，在锐角三角形ABC中，过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ACD中，
在Rt△ABD中，
由上面两个等式，等量代换得： ；
所以，化简为 ；
（1）请你补充完成上面横线上所缺的过程；
（2）善学小组在探究中发现，如图②，当△ABC为钝角三角形（∠C为钝角）时，也有类似的结论．请类比勤思小组的方法写出该结论，并说明理由；
（3）如图③，在四边形ABCD中， ，AB=8，BC=6，CD=9，AD=11，求该四边形的面积；敏学小组的思路是连接AC，过点D作DF⊥AC于点F，请利用敏学小组的思路直接写出四边形ABCD的面积.
23．综合与实践
问题情境：数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使，将点E绕点C逆时针旋转90°得到点E'，射线DE，E′B交于点F．
特例研究：启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线AC中点O处时，点F与点B重合，此时四边形EFE′C的形状为正方形.
探究发现：
（1）博学小组发现，如图2，只要，四边形EFE′C的形状都是正方形，请证明；
（2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，取BC中点G，连接E'G，FO，AF，又发现：在点E运动过程中，FO与E′G始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由；
拓展应用：
（3）在（2）的条件下，已知AF=1，BC=5，直接写出BF的长度；

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