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2025-2026学年河南省郑州市郑中国际学校高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.已知按照斜二测画法画出它的直观图如图所示，其中
，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
3.在中，若，则的形状是( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形
4.三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年年月日，在三星堆遗址祭祀坑区号坑发现了玉琮玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为棱长是的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则值为( )
A.
B.
C.
D.
6.在中，内角，，的对边分别为，，若，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知正方体、等边圆柱母线长等于底面圆的直径与球的表面积相等，它们的体积分别为，，，则下面关系中成立的是( )
A. B. C. D.
8.已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，，，，均是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示，是异面直线的图形是( )
A. B. C. D.
10.已知向量，则下列结论正确的是( )
A.
B. 与同向的单位向量为
C. 在上的投影向量为
D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
11.如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是( )
A. 圆锥的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 圆锥外接球体积为
D. 若，为线段上的动点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是 ．
13.设复数满足，则 ．
14.在圆的内接四边形中，若，，，则四边形的最大面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数是实数，是虚数单位．
求复数；
在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，是线段上一点，且．
求角；
若，平分，求．
17.本小题分
如图，长方体中，，，，过作长方体的截面使它成为正方形．
求三棱柱的表面积；
求三棱锥的体积；
求．
18.本小题分
如图，在等腰梯形中，，，，，分别是，的中点．
求；
点在边上，若，求；
若为梯形所在平面内的一点，且，求的最小值．
19.本小题分
在中，设角，，所对的边分别为，，，已知且．
求角；
若，求边上的角平分线的长；
若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.解：已知复数，是虚数单位，
则，
因为是实数，
所以，所以，
所以复数；
由知，，
所以，
又因为复数对应的点在第一象限，
所以，
解得，即实数的取值范围是．
16.解：由边角转换可得，
，则，
则，
整理得：，
又，故，即，
又，则；
，则，
又，则，得，
解得或，
由角平分线性质得，
，则，
所以的长度为或．
17.解：因为长方体中，，，，
过作长方体的截面使它成为正方形，
所以，
在中，，
即，解得，
所以三棱柱的表面积为：
；
由题可得：
因为，
在长方体中平面，
所以三棱锥的高为，
所以
．
18.解：在等腰梯形中，，，，，分别是，的中点，
以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
根据平面向量数量积的坐标公式可得；
设，则，
因为，所以，
即，解得，
所以，，
则；
若为梯形所在平面内的一点，
设，则，
，，，，
因为，所以，即，
则，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为．
19.解：由于，
根据正弦定理得，，
又根据余弦定理得，，因此可得．
如图，
根据余弦定理可知，，代入，
那么可得，解得．
设，因为
所以，即，
解得，因此．
根据余弦定理得，
即．
，两边平方得．
根据正弦定理可知，，故，，
所以
，
又由于三角形是锐角三角形，因此可得，解得，
因此，，
即，则．
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