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北京市第一六一中学2025-2026学年高一（下）期中考试数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边上有一点，则( )
A. B. C. D.
3.函数的一个单调递减区间是( )
A. B. C. D.
4.为平面非零向量，则下列说法中正确的是( )
A. 若，则 B. 若且，则
C. ，则 D. 若，则
5.函数的最大值为( )
A. B. C. D.
6.如图，这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形作为扇骨留白，形成扇环形状的扇面已知扇子扇形的圆心角为，则此扇面的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，给出下列四个结论：
函数的最小正周期为
函数为偶函数
方程有无穷多个实根
将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与图象重合其中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则“”是“的值域为”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知正方形的边长为，为正方形所在平面上的动点，且，则的最大值是( )
A. B. C. D.
10.已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域为 ．
12.已知平面向量，则 ．
13.若，且，则 ．
14.位于我国山东潍坊滨海技术开发区的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，下图为该摩天轮的示意图，摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距离地面米时需要分钟．当某游客坐上摩天轮的座舱开始计时，这位游客坐上摩天轮后 分钟，距离地面的高度第一次恰好达到米．
15.已知函数为常数，的部分图象如图所示，则 ；若将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，且点仍在函数的图象上，则的最小值为 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知是第三象限角，且．
求的值；
求的值．
17.本小题分
已知非零向量，满足，且．
求在的夹角；
若，求．
18.本小题分
已知函数
求的值；
求的单调区间；
若对，关于的方程都有解，求实数的取值范围．
19.本小题分
设函数，，，已知当时，的最大值为；若，为相邻的两个零点，且．
求的解析式；
若，求最大值和最小值；
将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位，得到的新函数为偶函数，求的最小值．
20.本小题分
如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点记，．
若，求；
分别过，作轴的垂线，垂足依次为，记和的面积分别为，若，求的值．
21.本小题分
若实数，，满足，则称比远离．
若比远离，求的取值范围；
已知函数的定义域为，任取，为与中远离的值．
求出的解析式；
写出的周期，对称轴方程，并指出最大值点．只需写出结论，不要求证明
参考答案
1.
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14.
15.
16.解：因为，可得，
又因为是第三象限角，可得，所以，
所以．
由得
而．

17.解： ， ，
，
，
， ，
，
， 与 的夹角为
， ，
即，
，又由知 ，
，

18.解：由题意可知：，
所以．
令，，解得，，
所以函数的单调递增区间为，；
令，，解得，，
所以函数的单调递减区间为，．
若，即，
因为，则，可得，
则，可得，
所以实数的取值范围为．

19.解：设函数的最小正周期为，
由题意可知，，即，
且，则，解得，即，
又因为，即，
且，则，可得，即，
所以．
因为，则，
当，即，取到最小值为；
当，即，取到最大值为．
将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得，
再向左平移个单位，得到，
若函数为偶函数，且，则，
则，解得，
所以当时，取到最小值．

20.解：因为，则，可知，，，，
由题意可知：，，，，，
若，即，则，
所以．
因为，
，
若，则，即，
则，可得，
又因为，则，可得，所以．

21.解：由新定义可得， ，即 ，
解得 ，即 ，
由正弦函数的性质可得 或 ， ．
若 ，当 时， ，上式 成立，
此时， ，当 时， 可化为 ，即 或
，解得 ，
综上， 时， ；
若 ，由可知， ．
．
函数图象如图，
函数的周期为 ，对称轴方程为 或 ，
当 或 时， 有最大值，即最大值点为 或 ．

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