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北京市清华大学附属中学2025-2026学年高二下学期期中考试
数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知集合，集合，则可以为( )
A. B. C. D.
2.已知，其中最小的数为( )
A. B. C. D.
3.已知复数的实部与虚部相等，则( )
A. B. C. D.
4.双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
5.一个密封的袋子里面装有个黑球，个白球，从中任取个球，恰有两个是黑球的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知为平面上的单位向量，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知抛物线的焦点为，准线为点在上，过点作的垂线，垂足为．为坐标原点，若四边形为等腰梯形，面积为，则的值是( )
A. B. C. D.
8.已知为曲线上的一点，过点分别作与轴，轴平行的直线，且分别与曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则这样的点共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无穷多个
9.古巴比伦泥板上记录了描述月相变化的数列该数列将满月等分为份，记数列为第天月球被太阳照亮部分占满月的份数其中且组成的数列，第天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第天为满月，即若在数列中，前项构成公比为的等比数列，第项到第项构成公差为的等差数列，且，均为正整数，则第天月球被太阳照亮部分占满月的( )
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系中，若在圆上存在点，在圆上存在点，使得，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.函数的定义域为 ．
12.已知，，则 ．
13.在中，角，，的对边分别为若为锐角三角形，则的一个取值为 ．
14.如图，为直四棱柱，底面是等腰梯形，，点在平面内，是等腰三角形．
若，直线与平面所成角的正弦值为 ；
若二面角为，四棱锥的体积为 ．
15.设函数定义域为，若存在，使得对任意的，都有成立，则称具有性质有下列四个结论：
若都具有性质，则具有性质；
若都具有性质，则具有性质；
若具有性质，则存在，使得为增函数；
存在不具有性质的函数，使得对任意的恒成立．
其中，全部正确结论的序号为 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知函数，其中且．
求的值；
从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定解决下面问题：若关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围．
的最大值为；
对任意的；
的图象关于点中心对称．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分如果选择的条件不符合要求，得分
17.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，．
求证：；
若平面平面，线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
18.某科技兴趣小组研发了一种模型，用于图像识别任务为了测试该模型的性能，对其进行了若干次试验，在每次试验中识别图像的数量为，记录该模型正确识别图像的数量，并分为组：，，，，，得到如图所示的样本数据频率分布直方图用频率估计概率．
求的值
在相同的条件下，随机对该模型进行次试验，用表示这次试验中正确识别图像数量不少于个的次数，求的分布列和数学期望
同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，该模型图像识别的正确率用这若干次试验正确率的均值来估计该兴趣小组提升了图像识别技术，使得图像识别正确率提升至原来的倍对于个图像，用原技术正确识别图像的数量为，提升后正确识别图像的数量为，方差的估计值记为，方差的估计值记为，比较与的大小直接写出答案即可
19.已知椭圆过点，其左、右焦点和上顶点构成的三角形为等边三角形．
求椭圆的方程；
设直线与椭圆交于，两点，直线，分别与直线交于点和点，若，求的值．
20.已知函数的定义域为，导函数．
求的单调区间；
已知．
比较与的大小关系，并说明理由；
曲线在处的切线与直线交于点，在处的切线与直线交于点，比较与的大小关系，并说明理由．
21.已知为给定的正整数，，集合，设非空集合，若对任意的，集合均恰有个不同的元素，其中，则称是的阶伴随子集．
设，写出个的阶伴随子集；
设，非空集合不存在阶伴随子集，求中元素个数的最小值；
设和互为阶伴随子集，求中元素个数的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一，在内的任意实数均可
14.
15.
16.解：由于，代入得，
又因为，所以．
由于，
选：的最大值为，不可能为，不符合题意；
选：则为函数的最大值点，故，解得，．
由于，则有，
故，当时，，
如图所示，当时，与的图象只有一个交点，
即在区间上有且只有一个实数解，所以的取值范围为；
选：为对称中心，所以，
由于，则有，后面和一样，的取值范围为．

17.解：因为，所以．
又因为，，平面，平面，
所以平面．
因为平面，所以．
因为平面平面，平面平面，
，平面，所以平面，
于是．
因此，，两两垂直，如图建系．
设．
由题可知，．
因为，所以，于是．
因此．
设平面的一个法向量，
，取则
于是平面的一个法向量．
设直线与平面所成角为，于是．
化简可得，于是解得或舍去．
于是点存在，且．

18.解：（1）20+20+a20+a20+20=1,
化简得40a=, 故a=.
（2）1次试验中,正确识别图像数量不少于60个的概率为=.
由已知随机变量X的可能取值有0,1,2,3,且X~B(3,),
则P(X=0)==，
P(X=1)=()=，
P(X=2)=()=，
P(X=3)==，
X的分布列为：
.E(X)=3=,
（3）=.
计算正确率的均值:1020+3020+5020+7020+9020=40，
所以模型图像识别的正确率为=,
做一百次图像识别,服从伯努利分布,
由伯努利分布的方差计算公式得:=100=24,
若模型图像识别的正确率提升倍,即=,
再计算=100=24,
=.
19.【详解】由题可知，，，
所以椭圆的方程：．
方程的判别式，
设
三点共线，
，
同理，
或
或．

20.解：函数的定义域为，令，解得于是
极小值
于是单减区间为，单增区间为．
设，
于是．
当时，，于是因此．
于是在上递减，．
因此．
曲线在处的切线方程为，
与交点纵坐标为，
因此：，
，
作差得：；
由于包含一次式和，设，其中为待定常数，
对设定的原函数求导利用乘法求导法则：
，
对比系数，得：
即，，则，
代入化简得：
令，，，
求导得：
当时，由不等式，
得：，
因此，在单调递增，，因此，故．

21.解：共有个阶伴随子集，形如是，，，的排列．
一方面，若，则，对．
令，则是的阶伴随子集．
另一方面，若令．
假设是的阶伴随子集．
则互不相同，且恰取遍．
有，不可能．
综上，．
将中的元素自然的看做小方格，，中的方格分别记为“”、“”
，互为阶伴随子集每个标记格恰有个异标记格与之同行或同列．
一方面，如图标记时，．
另一方面，设，互为阶伴随子集．
设有个双标记行，个双标记列．
注意到以下两个事实：
每个双标记行列最多有个“”格，最多有个“”格；
若某行列只有“”“”格，则该行列的每个“”“”格所在的列行必是双标记的．
若，则，
若，与同理．
若，则最多有个单标记行，每行最多个格被双标记，否则由，，矛盾．
若，与同理．
若且，设同行或同列的异标记格对有个，则．
每个双标记行列最多产生个异标记格对，，
综上，．

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