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江西萍乡市2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设等比数列的前项和为，且公比为，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数的导函数为，且，则( )
A. B. C. D.
3.下列求导结果正确的是( )
A. B.
C. D.
4.在数列中，若，则的值为( )
A. B. C. D.
5.某医疗研究机构为检验某种新研发的药物对特定疾病治疗是否有效，随机选取了名患者进行双盲实验．其中人服用新药，人服用旧药，统计结果如下表
治愈 未治愈 合计
服用新药
服用旧药
合计
附：统计量临界值表
其中．
则下列说法正确的是( )
A. 有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗有效
B. 有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗无效
C. 有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗无效
D. 有的把握认为新研发的药物对特定疾病治疗有效
6.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足：，若对于，都有，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的导函数为，则下列说法正确的是( )
A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值
10.在一项关于学生体能测试的研究中，某研究小组随机选取了名学生作为研究对象．他们记录了每位学生的日常锻炼时间记为变量，单位：小时与体能测试得分记为变量，单位：分的数据．通过对这组成对数据进行统计分析，某学生计算出回归直线方程为，则下列说法正确的是( )
A. 体能测试得分与日常锻炼时间正相关
B. 该样本数据的相关系数为
C. 该样本数据中的所有点都可以不在该回归直线方程上
D. 某学生的日常锻炼时间为小时，则他的体能测试得分一定为分
11.已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则下列说法正确的是( )
A. B. 在处取得最小值
C. 时，恒成立 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足，则 ．
13.已知函数，直线与曲线相切于点，则 ．
14.已知数列的前项和为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列为等差数列，前项和为，且．
求的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
设函数．
当时，求的最小值；
求在上的极值．
17.本小题分
年国务院政府工作报告明确指出：支持有条件的地方推广中小学春秋假，落实职工带薪错峰休假制度，这一政策直接带动旅游市场热度．某景点为科学定价、吸引更多游客，根据往年数据拟定价格，有关门票价格和日游客人数的数据如下表所示：
门票价格元人
日游客人数千人
已知与具有线性相关关系，求出关于的线性回归方程；
为了扩大景区知名度与客流吸引力，景区将门票定价为元人，并计划做广告宣传．由前期调查可知，当日均广告费为千元时的日游客人数为千人，其中是当门票为元人时，根据的回归方程所预测的日游客人数．求景区的日均广告费用为多少千元时，日门票净收入最大．日门票净收入票价日游客人数广告费
参考数据：参考公式：线性回归方程．
18.本小题分
设数列的前项和为，且满足．
求的通项公式；
若数列满足，求数列的前项和；
对于中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
证明：函数在上存在唯一零点；
设函数．
讨论的极值点的个数；
设数列满足：，证明：．
参考答案
1.
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11.
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13.
14.
15.解：解：设等差数列的公差为，
因为，且，可得，解得，
所以，即数列的通项公式为．
解：由知：，可得
所以数列的前项和：
．

16.解：当时，函数，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，当时，取得最小值，最小值为．
由函数，可得，
令，即，解得，
若，即时，，在上单调递增，无极值；
若时，即时，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
当时，取得极小值，无极大值．
综上可得，当时，函数无极值；当时，的极小值为，无极大值．

17.解：设关于的线性回归方程为，
由数表得，
而，
所以关于的线性回归方程为．
由知，当时，，则，
日门票净收入，，
当时，令最大，则，即，
整理得，而，，
函数是递增的，因此，，
所以当门票定价为元，日广告费用为千元时门票净收入最大．

18.解：当时，，
当时，，
两式相减，得，又，
所以数列为等比数列，首项为，公比为，
所以数列的通项公式是．
因为，，
所以
所以，
则有，
两式相减得：
，
于是得．
不等式代入得：
两边除以整理得：
，分奇偶讨论：
当为奇数时：，不等式化为，
令，，
因为，所以，
对奇数单调递增，最小值为，故；
当为偶数时：，不等式化为，即，
同理，对偶数单调递减，最大值为，故，
综上，的取值范围为：．

19.解：已知，定义域，
当时，单调递减，所以单调递增，
而也单调递增，故在上单调递增；
，
，
所以在上存在唯一零点；
的定义域为．
当时：则，在是增函数，
则，在是减函数，，则，在是增函数，
所以是的极大值点，是的极小值点，的极值点的个数是个；
当时：，时，是增函数，无极值点，的极值点的个数是个；
当时：若则，在上是增函数，
若则，在上是减函数，
，则，在是增函数，
是的极大值点，是的极小值点，的极值点的个数是个；
综上，当或时，的极值点的个数是个；当时，的极值点的个数是个；
由得当时，在上是增函数，
又因为单调递减，所以，即，
由于，所以对一切有，所以，
即，，所以，，
相加，所以．

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