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江西萍乡市2025-2026学年第二学期高一期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
2.已知为平面内不共线的三点，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
4.已知是锐角三角形的一个内角，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为( )
A. B. C. D.
6.在中，内角所对的边分别为，若，则( )
A. B. C. D. 或
7.为了得到函数的图象，可以将函数的图象上各点( )
A. 向右平移个单位得到 B. 向右平移个单位得到
C. 向右平移个单位得到 D. 向左平移个单位得到
8.函数在区间恰有三条对称轴与三个对称中心，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，内角所对的边分别为，下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 若，则是等边三角形
D.
10.如图，点是正八边形的中心，，下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 的图象关于点对称
B. 的图象关于直线对称
C. 的单调递增区间为
D. 为偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.已知，则 ．
14.已知在平行四边形中，点是对角线上靠近点的四等分点，点在线段上，若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为．
求的值；
求等式的解集．
16.本小题分
已知平面直角坐标系中不同的三点．
若，求实数的值；
若三点共线，求实数的值．
17.本小题分
已知中，内角所对的边分别为，且．
求；
若，且，求的周长．
18.本小题分
在边长为的等边三角形中，为线段上的动点不含端点，于点，且交于点．
求的值；
求的最小值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”．
设函数，写出的“相伴向量”；
已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数，若且，求的最大值；
已知，将中的函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，试问的图象上是否存在一点，使得若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考公式：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题知，可知，所以，解得；
由题知，则或，，
解得或，，
故的解集为或．

16.解：由题知，
因为，所以，即，解得；
设存在唯一的实数，使得，
即，解得或，
当时，与重合，舍去，故．

17.解：在中，及由正弦定理得，
则，而，所以
由及余弦定理得，即，
又，因此，而，解得，，
所以的周长为．

18.解：取的中点，的中点，连接，则，
所以，
则；
如图，以为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
因为，所以，
已知，，得，
设，则，，
则，
当且仅当时，取得最小值为．

19.解：函数，
所以的“相伴向量”为；
依题意，，由，得，
又，即，则，
又，由正弦定理，得，，
即，
由，得，则的取值范围为
所以有最大值．
由知，
则，
设，由，得，
由，得，则，
即，于是．
由，得，则，
而，因此当且仅当时，和同时等于，
所以在图象上存在点，使得．

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