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北京市育英中学2025-2026学年度第二学期（1-4班）期中考试试题
高一数学
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.在半径为的圆中，的圆心角所对弧长为( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数是( )
A. B. C. D.
4.若四边形是正方形，是边的中点，且，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式为( )
A. ， B.
C. D.
6.下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
7.设，，则“”是“，”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示设为图中个正六边形边长为内部或边界上点，，为两个固定顶点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知函数，其图象如图所示为得到函数的图象，只需先将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再( )
A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位
10.已知函数，若在区间上单调，且，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域为 ．
12.向量和的夹角为，且，，则等于 ．
13.已知角的终边经过点，则的值为 ．
14.中，，则的最小值为 ．
15.数学上的符号函数可以返回一个整型变量，用来指出参数的正负号，一般用来表示，其解析式为已知函数，给出下列结论：
函数的最小正周期为；
函数的单调递增区间为；
函数的对称中心为；
在上函数的零点个数为．
其中正确结论的序号是 写出所有正确结论的序号
三、解答题：本题共4小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知，求的值
17.本小题分
已知向量，且．
求满足条件的所有的值．
求的值．
18.本小题分
已知函数．
若，求的值；
在下列条件、条件、条件这三个条件中，选择可以确定和的值的两个条件作为已知：
条件：的图象过点；
条件：的最大值与最小值之和为；
条件：的图象的两个相邻对称轴的距离等于；
请写出你选择的条件，并求的解析式和单调递增区间；
在的条件下，若时，该函数有最小值无最大值．求实数的取值范围．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19.本小题分
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形圆，筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动圈，规定：盛水筒对应的点从水中浮现即时的位置时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为单位：，且此时点距离水面的高度为单位：在水面下则为负数
求与时间之间的关系．
求点第一次到达最高点需要的时间为多少？在转动的一个周期内，点在水中的时间是多少？
参考答案
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15.
16.解：．
17.解：已知，且，
由向量平行坐标关系得，
即，因式分解得，
解得或．
当时，，，
，
则．
当时，，，
，
则．
综上所述，的值为或．

18.解：，解得；
先分析条件：
条件：过点，则，得，则．
条件：，，
由，得，．
条件：相邻对称轴距离为，故，，由，得．
若选，则两者求出的值不同，不合要求，舍去；
若选，则有，则，
若选，则有，则，
选和选求得函数单调区间一致．
令，，
解得，．
即单调递增区间为，．
若选，则，
，则，
时，该函数有最小值无最大值，
故，解得
若选，则，
，则，
时，该函数有最小值无最大值，故
解得．

19.解：依题意，设与时间之间的关系为，
由筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，
得点距离水面的高度的最值为，解得
而筒车每沿逆时针方向转动圈，则周期，，
由，得，而，解得，
所以与时间之间的关系是．
依题意且，则与轴正方向的夹角为，
结合题图，点第一次到达最高点需要转动，
所以点第一次到达最高点所需时间为；
在转动的一个周期内，点在水中转动，
所以点在水中的时间是．

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