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北京市房山区2025-2026学年高二年级下学期期中数学试题
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知等比数列的通项公式为，则数列的首项为( )
A. B. C. D.
2.已知数列是等差数列，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知数列的前项和，则数列的通项公式为( )
A. B.
C. D.
4.下列求导运算错误的是( )
A. B.
C. D.
5.已知函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示则下列结论中正确的是( )
A. 函数在上单调递减
B. 是函数的极小值点
C. 是函数的极大值点
D. 函数在，上单调递增
6.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人要走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地”则该人第四天走的路程为( )
A. 里 B. 里 C. 里 D. 里
7.已知函数在上有个不同的零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知等差数列的首项为，公差则“成等比数列”是“”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
10.谢尔宾斯基垫片是一种分形图形，其构造过程如下：
从一个边长为的等边三角形开始；
将三角形分成个全等的等边三角形，去掉中间的三角形，完成一次操作；
对剩下的个三角形重复步骤；
设第次操作后，剩下的所有小三角形的周长之和为，面积之和为．
下列结论错误的是( )
A. 经过次操作，可以使得 B. 经过次操作，可以使得
C. 经过次操作，可以使得 D. 经过次操作，可以使得
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.若函数，则 ．
12.已知函数，则 ．
13.已知等差数列的前项和为，首项与公差分别为，，则满足的一组，的取值是 ， ．
14.若函数无极值点，则实数的取值范围是 ．
15.某莲藕种植塘每年的固定成本是万元，每年最大规模的种植量是万千克，每种植千克莲藕，成本增加元种植万千克莲藕的销售额单位：万元是，则要使利润最大，每年需种
植莲藕 万千克．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.对于数列，令，给出下列四个结论：
若，则；
若，则；
存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立；
若对任意的，都有，则有．
其中正确结论的序号是 ．
17.已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
在的条件下，求函数的单调递减区间．
18.已知等差数列满足，．
求数列的通项公式；
从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得数列为等比数列，并求此时数列的前项和．
条件：；
条件：；
条件：，．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分．
19.已知数列满足，，是常数．
当时，求及的值；
当时，求数列的通项公式．
20.已知函数．
若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
求的极值；
当时，曲线与直线没有公共点，求的取值范围．
21.在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“拓展”如数列，，第次“拓展”后得到数列，，，第次“拓展”后得到数列，，，，设数列，，经过第次“拓展”后所得数列的项数记为，所有项的和记为．
求，；
若，求的最小值；
是否存在实数，，，使得数列为等比数列？若存在，求，，满足的关系式；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. 答案不唯一，只需满足即可
14.
15.
16.
17.解：因为，所以，因此函数为．
所以，，，因此切点为，
所以切线方程为，即
由知，，函数的定义域为，，
当时，，
所以函数的单调递减区间为．

18.解：设等差数列的公差为，首项为．
由等差数列性质得：，解得．
又，解得．
因此通项公式为：，即．
选条件：，所以不是常数，不是等比数列，不符合要求．
选条件：，代入得，则，
因此是首项，公比的等比数列．
由等比数列前项和公式：，符合要求．
选条件：，即，则不能判断数列是等比数列，故不符合要求．
综上所述，选条件：；选条件：数列不是等比数列；
选条件：不能判断数列是等比数列．

19.解：，所以，
当时，，即，
当时，，
所以，因为，所以，
经检验符合，所以．

20.解：求导，．
由，，解得：，
的值；
当，恒成立，则在上是增函数，无极值；
当时，令，则，，
，；当，，
在上单调递增，在单调递减，
在处取极大值，且极大值，无极小值；
当时，．
令，
由题意可知：无实数解，
假设，此时，，
由函数的图象连续不断，由函数零点存在定理在上至少有一解，
与方程，在上没有实数解矛盾，故，
由时，，可知方程在上没有实数解，
的取值范围．
21.解：第次“拓展”后得到数列为，，，，，
所以；
第次“拓展”后得到数列为，，，，，，，，，
所以
；
根据题意，每次“拓展”都是在现有数列的相邻两项之间插入一项，
所以，所以，
所以数列为以，公比为的等比数列，
所以，所以，令，即
解得，因为，
所以，，又，
所以，求的最小值为
存在，理由如下，
根据题意，，
若数列为等比数列，设数列的公比为，
则，所以，即，
当，时，显然成立，
当时，，当一定时为定值，
所以，故，
综上所述，当或时，数列为等比数列．

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