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北京市北京学校、人大附中通州校区2025-2026学年高二下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.用，，，组成没有重复数字的四位偶数的个数为( )
A. B. C. D.
3.已知随机变量的分布列如下表：
则随机变量的方差为( )
A. B. C. D.
4.“”是“对任意，”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.如图，要给、、、四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方案种数为( )
A. B. C. D.
6.已知为函数的导函数，的图象的大致形状如图所示，则下列关于函数的信息，正确的是( )
A. B.
C. 在处取得最小值 D. 在处取得极小值
7.已知在一次降雨过程中，某地降雨量单位与时间单位的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时雨强某一时刻降雨量的瞬时变化率为( )
A. B. C. D.
8.某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为已知输入的问题表达清晰的概率为则智能客服的回答被采纳的概率为( )
A. B. C. D.
9.函数是定义在上的偶函数．其图象如图所示，设是的导函数，则关于的不等式的解集是( )
A. B. C. D.
10.若曲线在点处的切线与直线平行，且对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.在的展开式中，的系数为 ．
12.已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，请举出一个有“巧值点”的函数 ．
13.在件产品中，有件合格品，件次品．从这件产品中任意抽出件检查，则抽出的件中至少有件是次品的抽法有 种．
14.一个盒子里装有质地、大小和形状都相同的个球，其中红球个，黄球个，白球个．现从中任取两个球，记事件“取出的两球颜色不同”，事件“取出一个红球，一个白球”则 ．
15.设函数，给出下列四个结论：
函数的值域是；
，方程恰有个实数根：
存在，使得：
若实数，且．
则的最大值为．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知二项式的展开式共有项．
求此二项展开所有项的二项式系数和；
求此二项展开式中二项式系数最大的项．
已知求的值．
17.本小题分
已知函数的图象过点，且．
求函数的解析式；
求函数的单调区间：
求函数在上的最大值和最小值．
18.本小题分
中秋晚会计划演出个节目，其中歌曲、舞蹈和小品各个
求分别满足下列条件的节目单排法的种数：
两个歌唱节目分别安排在开头和结尾；
两个歌唱节目不相邻；
两个歌唱节目相邻且两个舞蹈节目不相邻．
晚会定好节目单后，由于情况有变，需要增加魔术和机器人表演两个节目．但是不能改变原来节目的相对顺序，问新的节目演出顺序可能有多少种？
19.本小题分
某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，为了解阅读情况，学校随机选取了几名学生，统计了他们的阅读量并整理得到以下数据单位：本：
男生：，，，，，，，，；
女生：，，，，，，，．
假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立．
根据样本数据，估计此次活动中学生阅读量超过本的概率；
现从该校的男生和女生中分别随机选出人，记为选出的名学生中阅读量超过本的人数，求的分布列和数学期望；
现增加一名女生得到新的女生样本．记原女生样本阅读量的方差为，新女生样本阅读量的方差为若女生的阅读量为本，写出方差与的大小关系．结论不要求证明
20.本小题分
已知函数，．
当时，求函数的单调递增区间；
求函数的极值点；
当时，判断函数的零点个数，并说明理由．
21.本小题分
已知函数．
当时，求在点处的切线方程；
若对，都有恒成立，求的取值范围；
已知，若，且满足，使得，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.
16.解：因为二项式的展开式共有项，
所以，因此二项展开所有项的二项式系数和为；
因为二项展开式中二项式系数最大的项为第和第项，
所以，；
在中，
令，得，
所以．

17.解：，
所以由题意可得；
由上可知：，
令，解得，所以函数的递减区间为，
令，解得，或，
所以函数的递增区间为，；
综上所述：函数的递减区间为，递增区间为，；
由可知：的递减区间为，递增区间为，
所以当时，在上递减，在，上递增，
因为，
所以，
因此函数在上的最大值为、最小值为．

18.解：因为两个歌唱节目分别安排在开头和结尾，
所以节目单排法的种数为；
因为两个歌唱节目不相邻，
所以其它节目排完，两个歌唱节目进行插空，
所以节目单排法的种数为；
因为两个歌唱节目相邻且两个舞蹈节目不相邻，
所以两个歌唱节目先捆绑，然后与个小品排列，最后两个舞蹈节目进行插空，
所以节目单排法的种数为；
个节目形成空，
因为不能改变原来节目的相对顺序，
所以新增加的两个节目可以插入一个空或者两个空，
所以节目单排法的种数为．

19.解：共选出了名学生，其中有人的阅读量超过本，
所以此次活动中学生阅读量超过本的概率为 ．
由题意，从男生中随机选出人其阅读量超过本的概率为 ；
从女生中随机选出人，其阅读量超过本的概率为
由题设， 的可能取值为，，
且 ；
；

所以 的分布列为：
的数学期望 ．
．
理由：设原女生的个阅读量分别为 ，
原女生阅读量的平均数为 ，新增一名女生后，平均数依然为，
则
所以
20.解：当时，，
，
令，得，
的单调递增区间为；
，
当时，，在上单调递增，无极值点；
当时，由，得，
当时，，当时，，
为极小值点，无极大值点；
当时，由得：，
时，上式不成立，
，
，
令，则当时，函数的零点个数，转化为直线与函数交点的个数．
，
当或时，，当时，，
在，上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，；
当时，，当时，；
又，
当时，取得极小值；
当时，函数无零点；
当时，函数有个零点；
当时，函数有个零点．
21.解：当时，，
，，
，
所以在处的切线方程为．
由题意对，，，
当时，，在上单调递减，
所以恒成立，所以，
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当，时，在上单调递增，
，，舍去，
当，时，在上单调递减，
，，所以，
当，时，在上单调递减，上单调递增，
所以，，所以，
综上，的取值范围为
证明：因为，要证，只需证明，
由可知，要证，只需证明，
因为，，且函数在上单调递增，
所以只需证明，
又因为，即证，
令，
即，
注意到，
因为，
则在上单调递减，所以，在恒成立，所以，所以，
所以，即满足．
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