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北京市八一学校教育集团2025-2026学年高二下学期期中练习
数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列，，，则公差等于( )
A. B. C. D.
2.下列导数运算正确的是( )
A. B. C. D.
3.在数列中，已知，则等于( )
A. B. C. D.
4.下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是( )
A. B. C. D.
5.某学生在书店发现本好书，决定至少买其中的本，则购买方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.设，则( )
A. B. C. D.
7.函数的大致图象为( )
A. B. C. D.
8.“为等比数列”是“为等比数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.记为数列的前项和若，则( )
A. 有最大项，有最大项 B. 有最大项，有最小项
C. 有最小项，有最大项 D. 有最小项，有最小项
10.已知函数，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，若有且只有一个零点，且，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.设函数，若关于的方程恰好有个不相等的实数解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.
14.在等比数列中，，则前项之积为 ．
15.曲线在处的切线斜率为 ．
16.从名男生和名女生中选出名志愿者，其中至少有名女生的选法共有 种．用数字作答
17.若函数在定义域内有递减区间，则实数的取值范围是 ．
18.记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．
以下函数与存在“点”的是 填写序号
函数与；
函数与；
函数与．
已知，若函数与存在“点”，则实数的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知等差数列的前项和为，，．
求的通项公式：
若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和．
20.本小题分
已知函数在时取得极值．
求的值；
求函数的单调区间；
求函数在区间上的最小值．
21.本小题分
已知函数．
判断在上的单调性，并证明；
求在上的零点个数．
22.本小题分
已知函数，其中．
当时，求曲线在点处切线的方程；
当时，证明：对任意的，曲线总在直线的下方；
若函数有两个零点，且，求的取值范围．
23.本小题分
对于无穷数列、，，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中、分别表示中的最大项和最小项．已知数列的前项和为，数列是数列的“收缩数列”．
Ⅰ写出数列的“收缩数列”；
Ⅱ证明：数列的“收缩数列”仍是；
Ⅲ若，求所有满足该条件的数列．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.解：方法：设等差数列的公差为，，
因为，所以，
又，所以，解得，
因为，所以的通项公式为；
方法：设等差数列的公差为，
故，，所以；
因为数列是首项为，公比为的等比数列，所以，
因为，所以，
则
，
所以数列的前项和为．

20.【详解】，由题意得，
即，解得，
故，
令得或，令得，
故为极小值点，满足要求；
由可知，，
或时，，时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
由知为极小值点，，
又，，
显然，故在区间上的最小值为

21.解：在上单调递增，证明如下：
因为，
所以，
又因为，从而，
所以，
所以在上单调递增．
由知：，
因为，
令，得．
与在区间上的情况如下：
极小
因为，，
所以由零点存在定理及单调性可知，在上恰有一个零点．

22.已知当时，，对求导得．
计算，将代入得．
计算，将代入得．
根据点斜式方程，所以切线方程为，即．
当时，，其定义域为．
因为曲线总在直线的下方等价于，即．
设函数，对求导得．
令，即，解得．
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减．
所以在处取得极大值，也是最大值，由于，
则，即，所以曲线总在直线的下方．
，
分情况讨论．
当，即时此时的导数．
根据的单调性，在上，单调递增；
在上，单调递减所以．
对于，有，所以恰有一个零点，不符合题意
当，即时因为，根据的单调性，
在上，，单调递增；在上，，单调递减知，
因为有两个零点，且满足，得，．
又因为此时，所以．
由于，即，移项得到．
因为对数函数在上单调递增，所以，即，
又因为，所以
当，即时根据的单调性，
在上，，单调递增；在上，，单调递减，知．
因为有两个零点，且满足，得，．
所以．
由于，即，移项得到．
因为对数函数在上单调递增，所以，即，
又因为，所以
综上，的取值范围为．

23.解：Ⅰ由可得为递增数列，所以，
所以．
Ⅱ因为，
，
所以，
所以．
又因为，所以，
所以的“收缩数列”仍是．
Ⅲ由可得
当时，；
当时，，即，所以；
当时，，即，
若，则，所以由可得，与矛盾；
若，则，所以由可得，
所以与同号，这与矛盾；
若，则，由可得．
猜想：满足的数列是：
．．
经验证，左式，
右式．
下面证明其它数列都不满足题设条件．
由上述时的情况可知，时，是成立的．
假设是首次不符合的项，则，
由题设条件可得，
若，则由式化简可得与矛盾；
若，则，所以由可得
所以与同号，这与矛盾；
所以，则，所以由化简可得．
这与假设矛盾．
所以，所有满足该条件的数列的通项公式为．

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