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北京师范大学附属实验中学2025-2026学年第二学期期中试卷
高一年级数学
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.下列各角中，与角终边相同的是( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，周期为的奇函数为( )
A. B. C. D.
3.在中，为钝角，则点( )
A. 在第一象限 B. 在第二象限 C. 在第三象限 D. 在第四象限
4.若，则符合条件的角有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.如果角的终边在直线上，则( )
A. B. C. D.
6.已知向量，，，则( )
A. B. C. D.
7.把函数的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图像向左平移个单位，这时对应于这个图像的解析式是( )
A. B. C. D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
9.在中，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是( )
A. 的一个周期为 B. 的最大值为
C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上有个零点
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.已知圆的半径为，则的圆心角所对的弧长为 ．
12.已知向量，若与垂直，则 ．
13.已知函数的部分图象如图所示则 ， ．
14.将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，记函数，若，则的最小值为 ；若的最大值为，则的一个取值为 ．
15.已知函数给出下列四个结论：
任意，函数的最大值与最小值的差为；
存在，使得对任意，；
当时，对任意非零实数，；
当时，存在，，使得对任意，都有．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，两点的横坐标分别为．
求的值；
求的值．
17.已知函数．
求的最小正周期和单调递减区间；
若函数在上无零点，求的取值范围．
18.如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点与水平面平行开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点为圆上的最低点开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒在时刻，设质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设．
求的解析式；
若，求的值域．
19.已知函数．
求的值；
从条件条件条件中选择两个作为已知条件，使函数存在且唯一确定当时，的值域为，求的取值范围．
条件：在上是单调函数；
条件：图象的一个对称中心为；
条件：对任意的，都有成立．
注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20.在平面直角坐标系中，为坐标原点，三点满足．
若，求；
若，若恒成立，求实数的取值范围．
21.设为正整数，集合对于集合中的元素和，记为元素与的相异系数．
当时，写出与元素的相异系数为的所有元素；
当时，证明：对于集合中任意个元素，必存在两个不同元素的相异系数小于；
当时，集合中是否存在个元素，其中任意两个不同元素的相异系数都不小于？请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. 答案不唯一
15.
16.解：由，故点位于第二象限，即点的纵坐标为正，设为，即，
有，解得负值舍去，故；
由，故点位于第一象限，即点的纵坐标为正，设为，即，
有，解得负值舍去，则，；
由，故，；
则．

17.解：，
则函数的最小正周期，
令，，
得，，
所以函数的单调递减区间是，；
，
当时，因为函数在上无零点，
所以，解得：．

18.解：设，，
由题意可得，，，，即；
由题意可得，，，，即；
则，
由，
当时，，
则当时，取最大值，当时，取最小值，
则，即的值域为．

19.解：因为函数
，
所以．
先逐个分析三个条件：
由条件：在上单调，令，则，
所以区间长度为，得．
当时，区间的左端点，要使函数单调，只能是单调递增，
所以区间的右端点，解得．
当时，区间的左端点，区间的右端点，函数在区间上单调递减，符合要求．
综上所述，或．
由条件：图象的一个对称中心为，所以，且，
解得，即．
由条件：对任意的，都有成立，所以是函数的最大值点，
所以，得，即．
要使函数存在且唯一确定，只需唯一确定，可选或，不能选．
选或，则，选，，不唯一不符合．
所以函数．
因为当时，，要使函数的值域为，
所以，解得．
所以的取值范围为．

20.解：因为，，所以，，，
又，所以，
所以，
由模长公式得，，
故．
因为，，，
所以，，
故，，
从而
，
即，，
令，，令，，
若恒成立，可得恒成立，
当时，恒成立，符合题意，
当时，化简得，令，
由一次函数性质得在上单调递增，
由反比例函数性质得在上单调递增，
得到在上单调递增，且，故．

21.解：当时，与的相异系数为，表示该元素与恰有个位置不同，也就是恰有个位置为，另一个位置仍为所以所有元素为，，，．
任取集合中的个元素，记为若其中有两个元素的相异系数已经小于，结论成立．
下面只需证明不可能出现三者两两相异系数都不小于的情形．
假设与的相异系数不小于，且与的相异系数也不小于．
设与相异的位置集合为，与相异的位置集合为，则，．
因为一共只有个坐标位置，所以与至少有个公共位置．
在这些公共位置上，与不同，也与不同．
由于每个坐标只能取或，所以和在这些公共位置上的取值相同．
因此与可能相异的位置至多只剩下个，即与的相异系数小于．
这与三者两两相异系数都不小于矛盾故对于集合中任意个元素，必存在两个不同元素的相异系数小于．
不存在下面用反证法证明．
假设当时，集合中存在个元素，且任意两个不同元素的相异系数都不小于．
把这个元素记为．
先从元素对的角度统计．
这个元素共有对不同元素，每一对的相异系数都不小于，所以所有元素对的相异系数之和不小于．
再从坐标位置的角度统计．
对于第个坐标位置，设这个元素中该位置取的元素个数为，则该位置取的元素个数为．
在第个坐标位置上取值不同的元素对共有对
由于为整数，且，所以．
共有个坐标位置，所以所有元素对的相异系数之和不超过．
于是同一个相异系数总和既不小于，又不超过，矛盾．
因此当时，集合中不存在个元素，使得其中任意两个不同元素的相异系数都不小于．

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