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浙江杭州地区（含周边）重点中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.下列椭圆中，形状最接近于圆的是( )
A. B. C. D.
5.已知，函数是偶函数，则( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B.
C. D.
7.直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为( )
A. B. C. D.
8.设是自然对数的底数，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是( )
A. 平面 B.
C. 平面平面 D. 平面平面
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 是的极值点 B. 时，有个零点
C. 时， D. 时，过原点可作两条不同直线与图象相切
11.若数列满足，则称数列为项数列，所有项数列构成的集合记作，对任意数列，注：，可以相同，记随机变量，则下列说法正确的是( )
A. 中有个元素
B. 若，则的所有可能取值的个数为
C. 当时，
D. 若的期望，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知某圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的体积为 ．
13.若多项式，则 ．
14.设抛物线的焦点为，过作一条直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，的外接圆与轴的另一个交点为，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列满足，数列的前项和为满足．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
在中，角所对的边分别是，已知，．
求；
若上一点满足，且，求的面积．
17.本小题分
如图，为正三角形，四边形为等腰梯形，，，，现将沿翻折到，使，如图所示．
证明：平面平面
设为侧棱上一个动点，若二面角的余弦值为，求的长．
18.本小题分
设双曲线的右焦点为，已知到一条渐近线的距离为，过且垂直于轴的直线被所截得的弦长为．
求双曲线的标准方程；
设是双曲线上一点，已知双曲线在处的切线的方程为．
已知分别交两条渐近线于两点，求证：为坐标原点面积是定值；
若在第一象限，设与直线交于点，证明：平分．
19.本小题分
已知函数，，，是自然对数的底数．
若，判断在区间上的单调性，并说明理由；
若，，证明：在区间上有唯一极小值点，且；
若，，已知在区间上恰有两个零点，，设，记在上的最小值为，证明：．
参考数据：，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：在等差数列中，，解得，而，
则数列的公差，所以，
数列中，，当时，，两式相减得，
则，由，得，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以．
由得，则，
于是，
两式相减得
所以．

16.解：由，得到，
即，，于是，
由，根据正弦定理得到，，
，于是，即，
因为，所以，故．
由题意得，
又在中，由，，则，
由正弦定理得，
于是，
故的面积为．

17.解：证明：如图，分别取，中点，，连接，，，
则梯形中，，
又，则，
，，平面，
则平面，
因，所以平面，
平面，所以，
从而是等腰三角形，，
则，
平面几何知识易得等腰梯形高，
等边三角形中，，
则，则，即，
又，，，平面，故平面，
又平面，所以平面平面
由可知，，，三条直线两两互相垂直，
则可以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立图示的空间直角坐标系，
则
设，
则，
，
设平面的法向量为，
则，取，
易得平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，据图可知是锐角，
从而，
化简得，解得舍去，
即为中点，从而，
所以．
18.解：由题意得，解得，双曲线的方程为．
如图，联立，解得，
联立，解得，
由于，所以，
所以的面积；
法：
要证明平分，即证，
只需证，
只需证，即证，
易知，当时，解得，故，
，
又，故原命题得证．
法：易知，当时，解得，故，
，
由于，
设，
则，
要证明平分只需证与共线，
即证，
即证，显然成立，
平分

19.在区间上递增 证明：当时，，，
当时，令，
所以，因为在，
已知，所以，即在上递增，且，，
因此由零点存在定理知必存在使得，
当时，可得，
所以当，，当，，
所以在递减，递增，故是唯一极小值点，且有，
则，
因为，因此 证明：当时，，
当时，因为，，所以，即不存在零点，故不合题意；当时，设，，
计算，，，
为使恰有两个零点，需且，即，
结合条件，可得，因此，
由于，，，
，因此，，
由条件得，，则，
当时，时，恒成立；当时，，
因此在递减，
当时，，
因为，
因此，
因此，综上所述，
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