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北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年第二学期高二年级期中数学练习
一、选择题：本大题共10小题，共40分。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A. B. C. D.
3.抛物线的焦点为，若点在上且横坐标为，则( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列的前项和为，且，，成公比为的等比数列，则等于( )
A. 或 B. C. D. 或
5.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.函数的部分图象如图所示，是的导函数，给出下列四个结论：
；
；
；
其中正确结论的个数为( )
A. B. C. D.
7.已知数列是公差不为的等差数列，且，，为等比数列的连续三项，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，其中，，那么“对任意的实数都有”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，且，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
10.已知函数，则( )
A. 是周期函数
B. 在上单调递增
C. 存在实数，使得函数的零点恰有个
D. 若为的一条切线，则
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11. 用数字作答
12.人大附中数学组在中心花园举行节活动，摊位如图所示，标记为号摊位．现要从中选出个不同的摊位作为“之幸运点”，要求所选摊位的数字编号之和等于代表月日，则共有 种不同的选法．
13.函数的最小值为 ．
14.已知函数，
函数在上的值域为
过存在 条直线与曲线相切．
15.对于数列：，实施变换得到新数列：，记作；对继续实施变换依次得到新数列，，，，最后得到的数列只有一个数，记作．
对于数列：，则： ；
对于数列：，则 ．
三、解答题：本题共3小题，共35分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知函数．
求曲线在处的切线方程；
求的单调区间和极值．
17.已知的展开式中所有项的系数之和为．
求；
求的展开式中的系数；
若，求的值．
注：第和两问的结果均要求用数字作答．
18.已知椭圆的离心率，点在上，直线与椭圆交于两点．
求椭圆的标准方程；
当为何值时，为定值．
四、选择题：本大题共3小题，共15分。
19.有名同学参加唱歌比赛，若不是第个出场，且出场顺序相邻，则这人不同的出场顺序种数为( )
A. B. C. D.
20.蜜蜂是“天才的数学家兼设计师”，下图是一个蜂巢的部分截面，图中竖直线段表示通道，同一高度的若干通道构成层，斜线与竖线的连接处叫交点．第层有条通道，从左至右依次为第条通道．蜜蜂从入口开始自上向下运动，在每个交点处经由左侧斜线和右侧斜线进入通道的可能性相同．蜜蜂到达第层第通道的不同路径数为例如：，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
21.已知函数，设，若集合，其中，则符合要求的集合的个数不可能是( )
A. B. C. D.
五、填空题：本大题共2小题，共10分。
22.已知函数，则 ．
23.已知数列满足给出下列四个结论：
；
存在；
数列单调递增；
，都有成立．
其中所有正确结论的序号是
六、解答题：本题共2小题，共25分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
24.已知函数．
求在上的零点个数；
若，都有成立，求实数的值；
对于任意，当时，都存在，使得成立，其中，直接写出的值．
25.已知有限数列的项数为，如果满足以下条件：
；
；
，都有．
则称是“阶好数列”．
写出所有的“阶好数列”；
写出一个“阶好数列”，满足条件：都成立；并验证满足；
从所有“阶好数列”中随机抽取一个，求抽到的“阶好数列”是等差数列的概率．
参考答案
1.
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13.
14.
15.
16.解：易知，则，又，
则在处的切线方程为；
的定义域为，令得，，
当变化时，的变化情况如下表：
极小
所以的递增区间为；递减区间为；极小值为，无极大值．

17.解：令，得，得．
中没有项，的展开式中的系数为的展开式中的系数为的展开式中的系数为，
所以的系数为．
对，
两边求导，可得，
由，令得，
即．

18.解：依题意知，
，解得，
所以椭圆的方程为；
联立，可得，
由，设．
则，
在上，
，
，
若为定值，则与无关，
故需使，解得，此时．

19.
20.
21.
22.
23.
24.解：因为，所以．
当时，，，所以，
当时，，，所以．
因此在上单调递增．又，，
且在上连续，所以在上存在一个零点．
由于在上单调递增，所以该零点唯一．
故在上恰有一个零点．
令由题意，，都有．
又，所以是的最小值点．
因为在上可导，所以．
由，得，
解得下面验证时满足题意．
当时，，．
当时，，，所以，于是在上单调递减．
当时，需证明，即证明．
若，则，且
设，则，
所以是增函数，又，所以，
所以，故；
若，则，
设，则，
所以在时，是增函数，
又，所以，故仍有．
所以当时，，于是在上单调递增．
综上，在上单调递减，在上单调递增，所以．
因此，都有，即符合题意，
综上，实数的值为．
先求在上的值域．因为，，
所以，故的值域包含于．
下面证明中的每一个数都可以作为的函数值．
设若，由第问可知，在上单调递增，
且，当充分大时，，
所以存在，使得．
若，则取足够大的正整数，使得．
令，，则，
且，，
构造函数，由已知得，，
由零点定理得，存在，使得，即。
所以在上的值域为．
当时，有，于是．
反过来，对任意，都有，
由的值域可知，存在，使得．
因此记，则．
题设等价于对任意，都有．
当时，的取值范围为．
要使，不能出现内的数，所以必须有．
当时，的取值范围为．
要使，也不能出现内的数，
所以必须有，即，由且，得．
当时，若，则，属于；
若，则，也属于所以满足题意．
综上，．

25.解：；；；．
存在：，即为奇数时，；
为偶数时，；
条件的验证：当为奇数时，，，，，，成立；
当为偶数时，，，，，，
成立；
所以存在数列：，符合题意．
先证明条件等价于恒成立，
若成立，令，则；
若，都有成立，
则时，，
因此条件等价于“，都有成立”．
设项数为的“好数列”的总个数为，所以，下面我们来求．
因为是的一个排列，考虑在数列中的位置，设，
因为，则，则，
同理可求出；
因为，则自然成立，由知，，
因此是一个“阶好数列”，其总个数为；
所以当时，“阶好数列”有个；
当时，“阶好数列”的个数为；
根据上述讨论，，同理，都有，
设前项和为，则，所以，
作差可得当，，即，又，且，
所以是以为首项，为公比的等比数列，则，所以．
“阶好数列”中的等差数列显然只有和这两种，
所以所求概率为．

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