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浙江温州新力量联盟2025-2026学年高一年级第二学期期中联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部是( )
A. B. C. D.
2.已知是平行四边形边上的一点，则下列正确的是．
A. B.
C. D.
3.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知是关于的方程的一个根，则实数、的和( )
A. B. C. D.
5.下列命题正确的是．
A. 平行六面体的侧面是全等的平行四边形
B. 正棱锥的侧面是等边三角形
C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
6.在中，，则( )
A. B. C. D.
7.已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.如图，是底部不可到达的一座建筑物，为建筑物的最高点，某人在与点同一直线上两点，，用测角仪测得的仰角分别为，，，测角仪器高为，那么的高为．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的结论中，正确的有．
A. 三角形的直观图是三角形 B. 正方形的直观图是长方形
C. 平行四边形的直观图是平行四边形 D. 菱形的直观图是平行四边形
10.对于任意两个向量和，下列命题中正确的是 ．
A. 若，则 B.
C. D.
11.已知，则下列正确的是( )
A. 若满足条件，则为的重心
B. 若满足条件，则动点经过的内心
C. 若满足条件，则动点经过的外心
D. 若满足条件，则动点经过的垂心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ．
13.已知、为两个不共线的向量，，，若，则实数 ．
14.已知，，分别是的三个内角，，的对边，且，则的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，，若．
求实数的值；
求与夹角的余弦值．
16.本小题分
已知是的共轭复数．
求证：
若复数满足，求的取值范围．
17.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若，求周长的取值范围．
18.本小题分
如图，在中，是与的交点．
若，求的值；
求；
若，求的最小值．
19.本小题分
三角形历来都是古今中外数学家研究的一个平面图形，阅读下面内容并解决相关问题注：，，分别为三个内角，，的对边，为的面积．
我国南宋数学家秦九韶在数书九章给出三角形面积的求法“三斜求积”：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，斜四约之，为实一为从隅，开平方得积．”写成公式，就是，请证明该公式．
布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利布洛卡于世纪提出，其定义如下：设是内一点，若，则称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角，如图，已知．
求的值；
判断的形状．
参考答案
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14.
15.解：因为，，，且，所以，解得．
，则，
由得，可知，
则．

16.解：设，则，
所以，
而，所以．
由知，
若，则，且，
由，解得或，
故或，
若为虚数，而，则，
整理得，
所以，此时，即，
此时，，矛盾，
故或．

17.解：，
由正弦定理，得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
，
，，，
即周长的取值范围为．

18.解：方法一：由得，，
而，
因为三点共线，故，
所以．
方法二：由在中，，
易求，
在中，由得，
以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系，
则．
由得，所以，，
所以．
方法一：易求，所以，
又，所以，
，
所以；
方法二：由知，
所以，．
方法一：设的中点为，则，
而，
所以，，即的最小值为，当且仅当时等号成立．
方法二：由，得，
所以，，
当时取等号．

19.解：，
根据余弦定理可得，
代入可得．
因为，所以代入可得，
即，
因为，所以，
由余弦定理可得，
在中，，
在中，，
在中，，
三式相加可得
，
化简可得，
，
，
代入可得，
两边平方可得，
化简可得：，
即，
所以，即，
因此为等边三角形．

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