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北京市十一学校2025-2026学年高一下学期教与学诊断（期中考试）
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
3.下列等式一定正确的是( )
A. B.
C. D.
4.函数图象的对称中心可以是( )
A. B. C. D.
5.已知函数的最小正周期是则在上的最小值为( )
A. B. C. D.
6.函数在上的图像大致为
A. B.
C. D.
7.将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象．则在 上单调递增．
A. B.
C. D.
8.在中，若，则是( )
A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形
二、填空题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
9.的定义域为 ．
10.已知为坐标原点，点的初始位置坐标为线段绕点逆时针旋转后，点所在位置的坐标为 ．
11.已知锐角满足则 ．
12.函数，的值域为 ．
13.关于的方程的解集为 ．
14.若，，，则，，的大小关系为 用“”连接
15.若，并且均为锐角，且，则 ．
16.已知函数的图象上相邻的最高点和最低点之间的距离，且在上单调递减，则实数的最大值为 ．
17.已知，则 ．
18.已知函数，下列说法正确的是 ．
，有成立；
，使得；
，有恒成立；
的所有对称轴组成的集合为．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
化简下列各式．
；
．
20.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式；
求的对称轴方程；
若方程在有且仅有一个实根，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期和单调递增区间；
求在区间上的最大值和最小值；
若，，求的值．
22.本小题分
某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：
填写表中的空格，并直接写出的解析式；
将图象上每点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象．若存在，使得对任意，都有成立，求实数的取值范围．
23.本小题分
对任意正整数，记集合均为非负整数，且，集合均为非负整数，且设，，若对任意都有，则称．
写出集合和；
取，，写出两个中的元素、，使得；
证明：对任意，存在，使得．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.
16.
17.
18.
19.解：原式．
原式．

20.解：由图可知，函数的最小正周期为，又，
所以，所以，
因为，可得，
所以，则，
因为，故，因此．
由可得，
故函数的对称轴方程为．
由可得，即，
由可得，
令，则，如下图所示：
因为方程在有且仅有一个实根，则，
解得，即实数的取值范围是．

21.解：
，
所以的最小正周期，
由，得，
所以的单调递增区间为．
由得，
由，得，
当，即时，，
当，即时，，
所以在区间上的最大值为，最小值为．
由，得，
因为，所以，
所以，
所以
．

22.解：由题意得，则，
而，解得，，则解析式为，
当时，解得，此时，
当时，解得，此时，
当时，此时，则补全后的表格如下，
若存在，使得对任意，
都有成立，
则，
由已知得，因为，
所以，则，
得到，可得，
将图象上每点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，
再将所得图象上各点向右平移个单位长度，可得，
则，且令，
则，
令，由二次函数性质得对称轴为，
由题意得，则，即，
当时，解得，此时在上单调递增，
且，得到，解得，矛盾，故排除；
当时，解得，
此时，
可得，解得，符合题意；
当时，解得，此时在上单调递减，
而，可得，解得，矛盾，故排除，
综上可得，实数的取值范围为．

23.解：由题意得，．
设，由以及可得
故满足题设条件的两个元素可以为，．
对任意，设，
则、、、均为非负整数，且．
令，则，
所以，且．

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