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北京市房山区2025-2026学年第二学期学业水平调研（三）
高一数学试题
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知角终边过点，则( )
A. B. C. D.
2.若，且，则角是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
3.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
4.要得到函数的图象，只需将函数的图象
A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位
5.若向量满足，则( )
A. B. 中，至少有一个为零向量
C. 共线且同向 D. 共线且反向
6.“”是“函数为奇函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，给出下列两个结论：
的最小正周期为；
在上单调递增．
则下列判断正确的是：( )
A. 都错误 B. 都正确 C. 正确，错误 D. 错误，正确
9.已知中，，点为所在平面内一点，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
10.如图，设是单位圆上的一个定点，动点从出发在圆上按逆时针方向旋转，点所转过的弧的长为，弦的长为，则的图象大致为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，共30分。
11.若向量满足，且与的夹角为，则 ．
12. ．
13.已知点，，若三点共线，则 ；若，则 ．
14.已知命题：若为第一象限角，且，则能说明命题为假命题的一组的值可以是 ， ．
15.已知是定义在上的奇函数，若恒成立，且当时，，则 ； ．
16.已知函数的图象如图所示，点在的图象上．给出下面四个结论：
；
的最小正周期是；
若在上是单调函数，则的最大值为；
将图象上每个点的横坐标变为原来的倍得到函数的图象，
若在上恰有一个最大值，一个最小值，则．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.已知，且．
求，的值；
求的值．
18.已知向量．
求；
求；
若，求实数的值．
19.已知函数．
求的值；
求函数的最小正周期；
求函数在区间上的最大值及相应的的值．
20.图是古书天工开物中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图中，一个半径为米的筒车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动、每秒转圈、筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒看作点到水面的距离为单位：米若盛水筒在水面以下则为负数若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间单位：秒之间的关系为．
求的值；
求在筒车运行一周的过程中，盛水筒在水中的时间；
若筒车上均匀分布了个盛水筒，在筒车运行一周的过程中，求相邻两个盛水筒到水面的距离差的最大值．
21.已知函数，给定定义的“关联函数”为．
求的最大值；
已知当时，恒成立．若对于任意都有，求的取值范围；
设若，证明：轴是函数图象的对称轴．
参考答案
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16.
17.解：；
由，则，
则；
由，，则，
故．

18.解：；
，
故；
，，
由，则，
整理得，解得．

19.解：因为，
所以；
由得，
故函数的最小正周期为；
因为，所以，所以，，
所以函数在区间上的最大值为，
此时，又，所以，解得，
故函数在区间上的最大值为，此时．

20.解：如图，设筒车与水面的交点为，，连接，
过点作于点，过点分别作于点，于点，

则，，
因为筒车转一圈需要秒，所以，故，
在中，，
所以，即；
由知，
令，即，
则，
解得，
由，故筒车运行一周的过程中，盛水筒在水中的时间有秒；
设在筒车运行一周的过程中，相邻两个盛水筒距离水面的高度差为，
两个相邻的盛水筒的位置分别用和表示，则，
所以
，
当，即，时，
高度差的最大值为．

21.解：，
由，故，
即的最大值为；
由题意可得，
即，
即有对于任意恒成立，
由时，恒成立，即恒成立，
故需满足，即有，
即的取值范围为；
由，则，则或；
若，则，
则，
故，此时轴是函数图象的对称轴；
若，则，
则，
故，
则，
又定义域为，故轴是函数图象的对称轴；
综上所述：轴是函数图象的对称轴．

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