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浙江温州环大罗山联盟期中联考2025-2026学年高一年级第二学期
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，若复数，则复数在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知平面向量，则( )
A. B. C. D.
3.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，，，则
4.已知平面向量，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.如图，小明为了测量一棵榕树的高度，他选取与树根部在同一水平面的、两点，在点测得树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行米到处测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则树的高度是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7.设的内角，，的对边分别为，，，若，，且边上的中线长等于，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在棱长为的正方体中，点在棱上，过，，作截面，过，，作截面，记正方体截面上方部分体积为，记正方体截面下方部分体积为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，为复数，下列说法正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则的最小值为
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则的图象关于点中心对称
B. 若曲线的图象向左移动个单位后关于轴对称，则的最小值为
C. 若在单调递增，则
D. 若在上恰有三个零点，则
11.已知的角，，所对的边分别为，，，面积为，若，则( )
A. 若，则为等腰直角三角形 B. 的取值范围为
C. 若，则 D. 若的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一个圆锥的母线长为，侧面积，则此圆锥的底面半径为 ．
13.若是关于的方程的复数根，则 ．
14.已知平面向量，满足，与的夹角为，且，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数
求函数的最小正周期和单调递减区间
当时，求函数的值域．
16.本小题分
在中，是的中点，设．
试用表示；
若，求．
17.本小题分
如图，在四棱柱中，平面平面，，且．
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值；
18.本小题分
已知的角，，所对的边分别为，，，且
判断的形状；
若为钝角三角形，为线段的延长线上一点，在线段上，且
若，求的长；
求的取值范围．
19.本小题分
如图，已知平面五边形中，是边长为的正三角形，，，将和分别沿，向上翻折至，使得在面的同侧，且二面角的平面角和二面角的平面角的大小都为．
如图，当时，求证：平面；
设该五面体外接球的球心为，半径为．
当时，求到平面的距离；
求的最小值．
参考答案
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10.
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13.
14.
15.解：
，
所以最小正周期为，
由，，
解得，，
所以单调递减区间是
当时，，
则，即时，有最小值为，
，即时，有最大值为，
所以此时的值域为．
16.解：因为，所以．
．
因为是的中点，
所以．
由知，
因为，
所以
因为，
，
所以，．
所以．

17.解：平面平面，平面平面，，
平面，
平面，
．
连接，如下图所示，
，，
，
，
是等边三角形，可得，，
，
，
根据余弦定理可得，解得，
，
，即，
，
平面，
就是直线与平面所成角，
，，
，
．

18.解：法：由题意，得，
即则，
所以或，
因此为等腰三角形或直角三角形；
法：由正弦定理得，
则，
，
，
所以或，
因此为等腰三角形或直角三角形；
法：由正弦定理得，
则，
因此，
所以，
即，
因此在中，或，
所以或，
因此为等腰三角形或直角三角形．
法一：由知，为等腰三角形或直角三角形，
又为钝角三角形，所以为等腰三角形，
则，因此，
因为，
所以，
设，则，
在线段上，
由角平分线定理，得，
则，又，
所以，解得，
因此；
由得，则，
因为为钝角三角形，所以，得，
所以，即，又，
故．
法：由知，为等腰三角形或直角三角形，
又为钝角三角形，所以为等腰三角形，则，
所以，又，所以，
在线段上，，
设，则，
由正弦定理得，
，
所以，
，
，
，
故，
，
由，得，
，
所以，
在中，，
因此；
，
又为钝角三角形，所以为钝角，，
因此，所以，
故，
所以．

19.解：翻折前：过，分别作，的垂线，垂足分别为，，分别延长，交于点，
翻折后：如图所示，则二面角的平面角和二面角的平面角分别为和
因为，则平面平面，
因此，
因为是边长为的正三角形，，
所以都是直角三角形，
由面积相等，得，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面平面，
因此平面；
取的中点，连接为的外心，
过作交于点，
因为为正三角形，
所以，
故二面角的平面角为，
设为该五面体的外接球球心，由对称性知，该五面体的外接球，即三棱锥的外接球则面，
则到平面的距离为，
由题可知，
，
所以，
因此到平面的距离为；
二面角的平面角为，
面，
，
因此，
所以，
则，
故，
所以，
当且仅当，即时取等号，
因此的最小值为．

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