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浙江平阳中学等校2025-2026学年高一下学期期中数学学科练习
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，且中只有一个元素，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则的虚部是( )
A. B. C. D.
3.如图，是水平放置的的直观图，，，则在原平面图形中，有( )
A. B. C. D.
4.已知函数相邻两条对称轴距离为，其中一条对称轴为，则( )
A. B. C. D.
5.已知，是空间两直线，是平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，异面，则过空间一点一定可以作平面与、都平行
B. 若上有两点到的距离相等，则
C. 若且，则
D. 若、与平面的角相等，则
6.给出下列命题，其中是真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
7.已知中的是所在平面内的动点，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.若定义在上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于复数，下列说法正确的是( )
A. B. 是方程的一个根
C. 若复数满足，则 D. 若，则
10.在中，角所对的边分别为，如下命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则是等腰三角形
D. 若为锐角三角形，，则的取值范围是
11.在棱长为的正方体中，点为的中点，动点在线段不含端点上，动点在正方形内不含边界，则下列结论正确的有( )
A. 直线与直线一定是异面直线
B. 当是中点时，与平面所成角的正弦值为
C. 三棱锥外接球球心到平面的距离为
D. 若平面，则直线与所成角的余弦值可能是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知球的表面积是，则该球的体积为
13.已知向量，若为锐角，则实数的取值范围是 ．
14.若不等式对恒成立，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在正三棱柱中，为的中点，．
证明：；
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
已知为奇函数，且．
求实数的值；
求的值域；
若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
17.本小题分
在锐角中，内角所对的边分别为，且，
求的值；
若，求面积的最大值；
求的取值范围．
18.本小题分
已知四棱锥，平面，，，，点为中点．
求证：平面；
求二面角的平面角的正切值；
作出过三点的平面截四棱锥得到的截面，并求此截面的周长．
19.本小题分
如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．
在仿射坐标系下，，
若，求的值；
记，若对恒成立，求的最大值．
如图所示，分别在轴轴正半轴上，分别为的中点，取中点，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.且
14.
15.解：在等边中，因为为的中点，可得．
在正三棱柱中，可得平面，
又平面，所以．
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以．
由得平面，因平面，则．
又，则，
，所以，可得，
因平面，故平面．
由得平面，所以为直线与平面所成的角．
又，所以
所以直线与平面所成角的正弦值为

16.解：由题可知的定义域为．
为奇函数，，即，
又，代入，解得，．
，
验证可知
为奇函数．
由可知．
当时，，，
即时，．
又为奇函数，所以当时，
的值域为．
单调递增，单调递增，单调递减，单调递增，
即既是奇函数又是增函数，
，即，
是奇函数，，
即，，
在有解，即在上有解，
即
，当时，，
，则，
，即，
实数的取值范围是．

17.解：由正弦定理，得，所以．
两边平方得，所以．
因为，所以，
，当且仅当，等号成立．
因此面积的最大值为．
．
在锐角中，，则，
所以，所以，
所以．

18.解：
取中点，连接，
在中，且，
因为，且，所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面；
取中点，连交于，连接，
因为，且，则四边形为平行四边形，
所以，为中点，
在中，，因为平面，所以平面，
作交于，连接，
因为平面，所以，
因为且平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
又，，所以，
延长于，连接于，则四边形即为截面
因为平面，平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
中，，，，点为中点，所以，
因为，所以点为的中点，所以中，为其重心，
所以，所以，，
中，，即，
又，故截面的周长为．

19.解：设，则，
由可得
因，则；
，则
，
，
，
由，得，
则得，
即对恒成立，
又因为，则，
解得，因为，所以满足题意，
所以，
又，所以，
所以的最大值为．
依题意，设，且，
依据余弦定理得，所以，
因为为中点，，同理可得，
所以，
由题意知，则，在中，由正弦定理，设，
则，且，所以，
其中
因为，故当时，取最大值，
则．

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