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浙江平阳中学等校2025-2026学年高二下学期期中数学学科练习
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，复数，复数的模为( )
A. B. C. D.
3.函数的对称中心为( )
A. B.
C. D.
4.已知双曲线的方程为，若过点的直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
5.从含甲、乙的六人中选四人参加学校接力比赛．已知甲被选中且只跑第一棒或第四棒，若选中乙，则乙不跑第四棒．问不同的参赛方案共有种？
A. B. C. D.
6.六个边长为的正六边形构成如图所示的图形，若两两不重合的四点均为正六边形的顶点，且的位置如图所示，则的值在下列哪个范围内( )
A. B. C. D.
7.已知圆与轴交于两点，点是直线上任意一点设，则的可能取值是( )
A. B. C. D.
8.已知正实数满足，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.正方体棱长为，则( )
A. 与是异面直线 B. 点到的距离为
C. 与所成角为 D. 与平面所成角为
10.已知抛物线的焦点为，为坐标原点，过点的直线交抛物线于，两点，分别过，两点作准线的垂线，垂足为，，是的中点，则( )
A. 的最小值为 B.
C. D. 若，则直线的斜率为
11.已知数列的通项，其中记为其前项和．则下列正确的是( )
A. 若，则
B. ，有
C. 记，
D. 若，，恒有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数的图象在点处的切线平行于轴，则 ．
13.记的内角所对的边为，已知，，则 ．
14.小明参加答题比赛，比赛共有道题，答题结果互不影响，且每道题小明的正确率为，设答对题的概率为，小明夺冠的概率，若小明夺冠概率不小于，则的最小值为 参考数据：，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某高中为了解学生课外阅读达标情况，调查了高一，高二年级学生，其中高一年级有人，高二年级有人，现按年级分层抽样抽取名学生展开调查．
从抽取的高一年级学生中随机抽取人，已知其中课外阅读达标的有人，求抽取的人中至少人达标的概率．
在抽取的名学生中，课外阅读达标与不达标的性别分布如下表，据此能否有的把握认为该校学生的课外阅读达标情况与性别有关？
达标 不达标 总计
男生
女生
总计
参考公式：，其中
独立性检验临界表部分
16.本小题分
已知等差数列前项和为．
求数列的通项公式．
若数列的前项和为，且，求的最小值．
17.本小题分
在三棱锥中，平面平面，点在棱上，满足，点为中点．
证明平面．
求平面与平面所成夹角的余弦值．
若三棱锥的外接球球心为，求直线与直线夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆分别为右顶点和上顶点．
若，离心率，求该条件下椭圆的标准方程．
过点作直线交椭圆于两点点在点的右侧连接，记直线的斜率为．
证明为定值用表示
若，直线交轴于，记的面积为的面积为，当时，求直线的斜率．
19.本小题分
已知函数．
若时，求的单调区间．
若，证明有三个零点．
在的条件下，证明．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：按分层抽样的人中，高一年级抽取人．
其中达标人数人，则不达标学生有人，
设“抽取的人中至少人达标”为事件，则为“抽取的人均不达标”．
从名高一学生中抽取人，基本事件数，
包含的基本事件数，
故；
零假设：该校学生的课外阅读达标情况与性别无关，
，
不能拒绝原假设，因此没有的把握认为该校学生的课外阅读达标情况与性别有关．

16.解：设等差数列的首项为，公差为，
则由题意得：，解得，
所以，
所以．
令，
，
，
所以
，
又，
因为
所以的最小值为．

17.解：，平面，平面平面，平面平面，
平面
以为原点，为轴，为轴，如图所示建立空间直角坐标系，
，由于为中点，故，
，
设平面的法向量，即
令，则，故，
设平面的法向量，即
令，则，故，
设平面与平面所成的角为，则。
平面，设外接球心，
可得，
，
解得，，故，
，
因此与夹角余弦值为

18.解：，
所以椭圆方程为
由题意作如图：设直线方程：，联立方程
得：，
即
故
又有
故为定值．
时，椭圆方程为．
直线过点，设其方程为，
令，则，代入椭圆方程，
．
，
设对应的纵坐标为
故，设．
在中
在中，
根据坐标面积公式：
．
，
代入并化简得
展开整理得：．
观察是该方程的一个实根，
，
，．
，直线的斜率为．

19.解：当时，的定义域为，
求导得，则在递减，
所以的单调递减区间是，无单调递增区间；
的定义域为，求导得，
当时，令，解得：，或
在和上递减，上递增，
因且在上递增，则，
又当时，，所以，使得
故存在唯一的，使得，
又
令，则，且．
综上可得，函数有三个零点．
要证，即证，，可得
故需证，因为，则，
即需证，
设，则
在上递增，又，即，证毕．

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