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安徽蚌埠禹王学校等A10联盟2025-2026学年高一下学期4月期中
数学试题（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面向量，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，为的中点，则( )
A. B. C. D.
4.下列说法中，正确的是( )
A. 有一个面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥
B. 用一个平面去截圆锥，圆锥底面与截面之间的部分是圆台
C. 底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱
D. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
5.已知平面向量，，则在上的投影向量的坐标为( )
A. B.
C. D.
6.若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
7.已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知平面向量，且，已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数满足，则下列说法正确的有( )
A.
B.
C. 在复平面内对应的点位于第二象限
D. 复数是关于的方程的一个根
10.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的有( )
A. B.
C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为
11.著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点．在中，角，，的对边分别为，，，且，，点是的“费马点”记，则下列说法正确的有( )
A.
B. 若，则的面积为
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，则 ．
13.已知为的重心，，则 ．
14.如图几何体是圆锥的一部分，其中，，一只蚂蚁点出发沿曲面运动到点，则这只蚂蚁行驶的最短路程是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若外接圆的半径为，，求的面积．
16.本小题分
已知复数，
若复数是纯虚数，求实数的值
若在复平面内，复数表示的点在第二象限，求的取值范围
当时，复数所对应的平面向量为当时，复数所对应的平面向量为，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知是平面内两个不共线的向量，，且三点共线．
求的值；
若向量的夹角为，且，求向量与夹角的余弦值；
已知，点的坐标为，若四边形为平行四边形，求点的坐标．
18.本小题分
如图所示，某区有一块空地，其中，，当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在人工湖的周围安装防护网．
当时，求防护网的总长度；
若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小；
为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？
19.本小题分
记锐角的内角，，的对边分别为，，．
若，求证：；
当，时，求面积的最大值；
若，且，其中符号表示不大于的最大整数，求的值．
参考答案
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15.解：因为，得．
由正弦定理，得，即，
由余弦定理，得．
因为，所以．
由知，所以，
因为，且，所以或，
即或舍去，因为，所以．
由外接圆的半径为，由正弦定理得，
所以的面积．

16.解：因为复数是纯虚数，
所以，
即，解得．
因为复数表示的点在第二象限，
所以，
即，解得，
即的取值范围为．
当时，，则
当时，，则，
所以，．
因为向量与的夹角为钝角，
所以且向量与不反向共线，
即且，
解得且，
即实数的取值范围是
17.解：因为
且，
又因为三点共线，所以，
所以，即，
所以，解得
所以．
由题意得，，
，
所以，
，
所以．
由得，
所以，
，
由四边形为平行四边形得，
设，且点的坐标为，则，
所以，解得
即．

18.解：在中，，，，则，
在中，由余弦定理得：，
即，则，可得，
可知为正三角形，其周长为，即防护网的总长度为．
设，
因为，即，可得，
在中，由得：，
即，可得，
又因为，则，
则，解得，所以．
设，由知：，
在中，由得：，
则，
当且仅当，即时，面积取最小值为．

19.解：由是锐角三角形，得，，，
则，因为在上单调递增，
所以，
又在上单调递减，所以．
由，
得，
则，
又，所以．
由余弦定理得，，
所以，当且仅当时取等号，
所以．
即面积的最大值为．
因为，所以，
又因为，
所以，
所以，，均为整数．
因为，所以，
所以，所以，，所以．

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