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山东省济南第七中学等校2025-2026学年高一下学期4月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.与向量同向的单位向量是( )
A. B. C. D.
2.在中，角的对边分别是，则( )
A. B. C. 或 D. 或
3.如图，在平行四边形中，分别是线段的中点，则( )
A. B. C. D.
4.在中，角的对边分别是，则的形状是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定的
5.一物体在力的作用下，由点移动到点已知，则对该物体所做的功为( )
A. B. C. D.
6.已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.如图，，两点都在河的对岸不可到达某测量队在，处测得米，，，则( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.已知的外心为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 平行向量也叫作共线向量 B. 单位向量都相等
C. 长度相等且方向相同的向量叫相等向量 D. 两个单位向量之和仍可能是单位向量
10.在边长为的等边三角形中，为边上的动点，于点，交于点，则下列选项正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
11.在中，角所对的边分别为，，，角的平分线与交于点，则( )
A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则 ．
13.在中，角所对的边分别为已知的面积为，，，则 ．
14.已知非零向量，满足，且，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角的对边分别是，且．
求；
若是边的中点，求的长．
16.本小题分
已知向量与的夹角为，且，．
求的值；
求向量与的夹角．
17.本小题分
记的内角，，的对边分别是，，，已知．
求角；
若，，求的面积．
18.本小题分
在四边形中，，为的中点，为线段上一点，的延长线交于点．
若，求的值．
若，证明：，，三点共线．
若，且，，求周长的最小值．
19.本小题分
托勒密定理是指圆的内接四边形的两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是四边形的两条对角线．
若是四边形的外接圆的直径，且，求的长度；
若，求面积的最大值；
已知，且，求的最大值．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由余弦定理可得，所以．
因为是边的中点，所以，
所以，
则．

16.解：因．
则，
故．
因，
，
由
因，则．
故与的夹角为．

17.
18.解：由题意及向量共线的推论知
，且，
又，则，故；
令，，则，
由共线，则与共线，
所以，则，
由，
，
所以，且为两个向量的公共点，故，，三点共线．
由，则，
所以，可得，
所以，则以为原点，分别为轴，建平面直角坐标系，
由，，则，
由，即，故，
若与关于轴对称，则，且，而，
由周长为，
要使三角形周长最小，只需最小，即共线时取得，
所以周长的最小值．

19.解：因为是四边形的外接圆的直径，所以．
因为，所以．
同理可得．
由托勒密定理可得，即
解得．
设．
由托勒密定理可得，
即，即．
在中，由余弦定理可得，
故．
因为四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，所以，
则的面积，
即当且仅当时，的面积取得最大值．
设四边形的顶点都在圆上，，且．
因为四边形的顶点都在圆上，所以，则．
由余弦定理可得，
即．
由托勒密定理可得．
四边形的面积，
则．
因为，
所以，
当且仅当时，等号成立，即的最大值为．

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