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山东聊城市2026年高考模拟试题数学（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.设复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线，，且，则与的距离为( )
A. B. C. D.
4.已知正数满足，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
5.已知直线过抛物线：的焦点，与交于，两点，线段的中点为，的垂直平分线交轴于，则的值为
A. B. C. 或 D. 或
6.已知，且满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知，函数在区间内恰有三条对称轴和两个极大值点，则( )
A. B. C. D.
8.数列共有项，其中，，且，则满足这种条件的不同数列的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某医学研究团队为探究新型降压药的疗效与患者年龄的关联，将名高血压患者按年龄分为“中青年组岁”和“老年组岁”，记录用药后的疗效“有效”“无效”，得到如下列联表：
患者 疗效 总计
有效 无效
中青年组
老年组
总计
附：，其中．
则下列说法中正确的有( )
A. 若在“老年组”中按疗效分层抽样抽取人，再从这人中随机抽取人，则至少抽到名“无效”患者的概率为
B. 从所有患者中随机抽取人，设事件“该人在中青年组”，事件“该药对此人有效”，则事件与相互独立
C. 根据小概率值的独立性检验，认为“降压药疗效与患者年龄有关”，且该推断犯错误的概率不超过
D. 若将列联表中“中青年组有效”的人数改为，“中青年组无效”的人数改为，则所得值比原值大
10.设函数，则( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 当时，方程在区间上所有实根的和为
11.已知棱长为的正四面体，为的中心，为平面内的动点，为棱上一动点，则下列说法正确的是
A. 若平面，且，则的最小值为
B. 若，且，则的最小值为
C. 若，则的最小值为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调递减区间为 ．
13.如图，线段，和为其三等分点，为半圆上一动点，为等边三角形，则和面积之和的最大值为 ．
14.已知，，动点满足：以为直径的圆与圆相切，若的外接圆的面积是其内切圆面积的倍，则的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某夏令营在区域内活动，三个内角满足．
求的最小值；
夏令营活动组织者要求在点集合，设小明从点出发准时到达点的概率为，小红从点出发准时到达点的概率为，两人是否准时到达点互不影响，已知两人中有且仅有一人准时到达点的概率为，至少有一人准时到达点的概率为，求的值．
16.本小题分
已知双曲线：的渐近线方程为，过点且与轴不重合的动直线交于，两点，当与轴垂直时，．
求双曲线的方程；
在轴上是否存在一定点，使为定值，若存在，求出的坐标及的值；若不存在，说明理由．
17.本小题分
在梯形中，，，、分别是、的中点，，，如图所示．沿将梯形折起，得到一个多面体，如图所示．
求证：平面；
若二面角的大小为，
求多面体的体积；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
记数列的前项和为，若满足，，且．
求证：是等差数列，并求的通项公式；
设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
设函数，
若有极值点、无零点，求的取值范围；
若的图象在区间内存在两条互相垂直的切线，求的取值范围；
设，若方程有两个实数根、，且，求证：，且．
参考答案
1.
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10.
11.
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14.
15.解：设的内角的对边分别为
由，根据正弦定理，得，即，
由余弦定理，得，
因为，所以，
当，即时，上式等号成立，
此时，，于是，，
因此，的最小值为．
设事件“小明准时到达点”，事件“小红准时到达点”，则，．
由题意，即，
化简，得，
，即，
化简，得，由，得，
所以故的值为．

16.解：由的渐近线方程为，得，
由，根据双曲线的对称性，不妨设，，
则，
由，得，，
所以双曲线的方程为
设直线的方程为，
将的方程代入双曲线方程，得，
所以，且，
设，
由韦达定理，得，，
假设存在满足题意，
则
，
要使为定值，则上式需与无关，
则，解得，
此时，
所以存在点使得为定值，定值为．
17.解：翻折前，在梯形中，，且、分别是、的中点，
所以为梯形的中位线，所以，
因为，所以，．
翻折后，则，所以，，
因为，、平面，所以平面．
连接、，取中点，连接，
取线段的中点，连接、，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，为的中点，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
故二面角的平面角为，
因为平面，、平面，所以，，
因为，所以，
又因为，所以，故，
所以为等边三角形，
因为为的中点，所以，
因为，、平面，所以平面．
因为，平面，平面，所以平面，
故点到平面的距离等于，
所以，
，
因此多面体的体积
因为平面，以为坐标原点，所在直线为轴，
所在直线为轴，过与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
所以，，．
设平面的一个法向量为，则
取，可得，
，
所以与平面所成角的正弦值为．

18.解：由，得，
得，则，
得，即，
所以是等差数列，设其公差为，
由，得，所以．
因为，所以公差，
所以．
，
所以．
由对恒成立，得，即．
设，由对恒成立，
得，解得或，故的范围为．

19.解：因为，则，
当时，，此时函数在上单调递增，函数无极值点，不符合题意；
当时，由可得，由可得，
此时函数在上单调递减，在上单调递增，
则函数有极小值点，故的极小值为，
因为函数无零点，所以，即，即，解得，
综上，的取值范围为．
由的图象在区间内存在两条互相垂直的切线，
可知存在、使得．
当，则，不符合题意．
当时，在上单调递增．
所以在内的值域为．
所以，由题意可得，
整理可得，解得，
因此，的取值范围为．
设，则，
因为，所以．
当时，，在上单调递增，不符合题意，所以．
由，得．
设，则，所以在上单调递增．
又因，所以，
所以，所以，
所以，所以，
设，则，
因为当时，，所以在上单调递减，
又因为，所以当时，，即．
因为，所以，即，
又因，所以，所以，
又因为，，所以．

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