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四川遂宁市高中2026届高三二诊考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则( )
A. B. C. D.
2.设，且，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.下列说法正确的是( )
A. 残差散点图所在的带状区域越宽，则两个变量的相关性越强
B. 若随机变量服从正态分布，且，则
C. 数据的分位数是
D. 在线性回归分析中，线性相关系数的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强
4.已知定义域为的函数满足，当时，，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知方程表示双曲线，则的取值范围为( )
A. B.
C. D. 或
6.在边长为的等边中，为中点，为中点，若与交于，则( )
A. B. C. D.
7.在直三棱柱中，，点为的中点，点为侧面内含边界的动点，且平面，设直线与平面所成的角为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.若函数在上单调递增，且方程在上有解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的前项和为，公差为，则( )
A. B.
C. 若，则 D. 当且仅当时取最小值
10.如图所示，矩形中，，将沿翻折至，使得，则( )
A. 不存在的值使
B. 存在的值使平面平面
C. 三棱锥体积的最大值为
D. 当点在平面上的射影落在上时，直线与平面所成角为
11.已知函数，下列选项正确的是( )
A. 函数在区间单调递增
B. 函数在上有两个零点
C. 若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为
D. 关于的不等式在上恰有两个整数解，则实数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数，则 ．
13.已知椭圆的左右焦点分别是，点满足，线段与椭圆交于点，作于，其中为坐标原点，则椭圆的离心率为 ．
14.已知集合，集合，从集合中随机选取个不同的元素构成一个三位数，其中小于的有 个，现有甲，乙两名同学玩一种游戏，甲乙两人分别从集合中随机抽取个不同的元素各构成最大的三位数和，若，则甲获得胜利甲获得胜利的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某科技公司开展智能算法应用能力认证考核，员工在一个考核周期内需参加轮考核，前一轮考核通过才能进行下一轮考核，否则认证失败，轮考核都通过即可获得认证员工小张报名参与本次认证考核，各轮考核通过的概率依次为，且他每轮考核是否通过相互独立．
若小张在一个考核周期内获得认证的概率不超过，求的取值范围；
若，设小张在一个考核周期内考核通过的轮次为随机变量，求的分布列与数学期望．
16.本小题分
在中，角的对边分别为，已知
求和的值；
若点在直线上，满足，求的值．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若有两个极值点，求证
18.本小题分
在直三棱柱中，底面为正三角形，，点为线段的中点，动点满足．
当时，证明：；
当时，四点在同一球面上，该球的球心为点，表面积为，求球表面积；
动点在所在平面内，和均为锐角，且，设平面和平面的夹角为，求的最大值．
19.本小题分
已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，抛物线上存在点满足，且．
求的方程；
记，过的直线交于，在抛物线上按如下方式构造点列：连接分别交于另一点．
设直线与轴交点的横坐标为，求数列的通项公式；
为坐标原点，若的外接圆与抛物线交于第四点，试证明：的重心在轴上，且在的右侧．
参考答案
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15.解：设事件表示第轮考核通过，
则小张在一个考核周期内获得认证的概率为，
所以，又因为，所以．
由已知可知的所有可能取值为．
则，，
，，
则的分布列为：
所以．

16.解：在中，由余弦定理得，
代入，，得，
整理得：，即，解得或舍，
而，
由正弦定理，得，则
由为直角三角形，即，
由，因为，则，即为锐角，
所以，
在中，由，则，即，
则，
因此．

17.解：由题意知，，
函数的定义域为，设，
，令，则或，
当，即时，对恒成立，
即，在单调递增，
当，即或时，方程，
有两不等实根，
当时，由韦达定理，，
此时两根一正一负，当，
，所以在上单调递减，
当，，所以在上单调递增，
当时，由韦达定理，，
此时两根为正，且当，
，所以在和上单调递增，
当，，所以在上单调递减，
综上所述：当在单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减，
由知有两个极值点，时，
，，，
，
，
，
令，则，
设，，其中，
所以，即单调递减，又因为，
所以，即在单调递减，所以
即，证毕．

18.解：当时，取的中点为，连接，
由已知可知，，
又因为平面，
所以平面，
因为平面，
所以；
设的中心分别为，连接，
由已知可知球心在线段上，
设，则，
所以，
所以，又因为时，，即，
故，
所以球的表面积；
如图，取的中点，连接，则．
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
设，由，得
化简得，
由和均为锐角，得．
设平面的法向量为，
由
得取，得，
故平面的一个法向量为．
设平面的法向量为．
得，取，得，
故平面的一个法向量为．
则
，
令，则，
所以．
由函数单调递增，
所以当时，取最大值，最大值为．

19.解：由题知，所以，
不妨设点在第一象限，
由抛物线定义知到准线的距离为，所以，
由，解得，
所以的方程为．
设经过轴上点的直线为，
与抛物线的两交点记为，
联立得，则，
因为直线经过点，所以，
因为直线经过点，所以，
因为直线和经过点，
所以，
所以，
因为，所以，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
综上．
设直线与的交点为，因为四点共圆，
所以，
设直线为，联立得
，所以，
，
设直线为，
同理可得，
又且，所以，
所以，
则的重心纵坐标为，即的重心在轴上，
，
同理所以，
联立直线与得，
所以，
所以的重心在的右侧．

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