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湖南省长沙市一中2025-2026学年高三下学期第十次月考数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，且，则（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
2. 复数的值为（ ）
A. B. C. -2 D. 2
3. 已知平面向量为单位向量，且，若，则=（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则c为（ ）
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 1或
5. 已知椭圆的左 右焦点分别为，点在上，且满足，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知定义在上的函数 有最小值，但无最大值，则ω的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知在正三棱台中，，此正三棱台存在内切球，则此正三棱台的高为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
8. 现有个相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分.部分选对得部分分，选错或不选得0分）
9. 2025 湖南省足球联赛以全民参与和城市荣誉为理念，多元融合激活文旅消费，助推体育产业创新，创造经济效益超4亿元.下表是常规赛各队的积分：
永州 队 常德 队 长沙 队 株洲 队 娄底 队 衡阳 队 郴州 队 岳阳 队 益阳队 邵阳队 湘潭 队 怀化队 湘西州队 张家界队
22 26 35 27 23 20 19 19 18 13 11 6 5 4
则下列说法正确的是（ ）
A. 积分数据的众数为19
B. 积分数据的第70百分位数为22
C. 积分数据的中位数为19.5
D. 积分最高的4队积分的方差比积分最低的4队积分的方差小
10. 已知抛物线，其焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于两点，过分别作的垂线，垂足分别记为，则（ ）
A. 是定值 B. 以为直径的圆过点
C. 对于上的任一点恒成立 D. 面积的最小值为2
11. 已知数列满足，为的前n项和，则（ ）
A. 当时， B. 当时，
C. ，使得 D. 为等比数列的充要条件是
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，则 __________（用数字作答）
13. 在正方形所在平面内，动点在以点为圆心且与直线相切的圆上，设，则的最大值为________.
14. 已知函数有三个不同的零点，且 ，则的最小值为_________.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，，平面，点M是CD的中点，点N是PB的中点．
（1）求证：．
（2）求二面角的余弦值．
16. 已知数列 的前n项和为，对任意 满足 且 数列 满足， ， 其前3项和为
（1）求数列 的通项公式；
（2）将数列 的项按照“当n为奇数时，放在前面；当n为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列： 求这个新数列的前33 项和
17. 已知直线与双曲线 有唯一的公共点 .
（1）若点在直线上，求满足条件的所有直线 l的方程；
（2）已知直线的斜率为，且 过点且与垂直的直线交x轴于 交轴于点.是否存在定点使得当点在双曲线上运动时，动点 使得为定值 若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由.
18. 已知函数（e为自然对数的底数）.
（1）求证：时，；
（2）设的解为（，2，…），.
①当时，求的取值范围；
②判断是否存在，使得成立，并说明理由.
19. 现有一款益智棋类游戏，棋盘由全等的正三角形组成（如图所示），假设棋盘足够大.一颗质地均匀的正方体骰子，六个面分别以标号.在棋盘上，以为原点建立平面直角坐标系，设点的坐标为.棋子初始位置为坐标原点，投掷骰子次，用表示第次投掷后棋子的位置（为坐标原点），规定：其中向量为前次投掷过程中，掷得偶数的总次数.
（1）求点所有可能的坐标；
（2）求投掷骰子8次后棋子在原点的概率；
（3）投掷骰子80次，记棋子在原点且投掷过程中掷得奇数的次数恰为的概率为，求的表达式，并指出当为何值时，取得最大值.
参考答案
1-8.
【答案】D
【答案】A
【答案】B
【答案】C
【答案】A
【答案】C
【答案】D
【答案】A
9.【答案】AB
10.【答案】ABD
11.【答案】BCD
12.【答案】0
13.【答案】
14.【答案】
15.【小问1】
取PA的中点E，连接EN，DE，
因为点M是CD的中点，点N是PB的中点，
可得，且，而，且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，而平面，所以平面平面，
因为平面，平面平面，，
所以平面，而平面，所以，所以；
【小问2】
以A为坐标原点，以AD，AB，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
，底面是边长为6的正方形，点M是CD的中点，点N是PB的中点，
则，，，，
所以，，
所以，，
易得平面AMB的法向量，
设平面AMN的法向量为，
则，即，令，则，
可得3，，，
所以，
因为二面角的平面角为锐角，所以它的余弦值为．
16.【小问1】
且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，.
当时， .
也适合上式，所以，.
，即，
所以，数列为等差数列，设其公差为，则，
，所以，数列是正项等比数列，设其公比为，则.
由题意可得，解得，
因此，；
【小问2】
数列的前项和为，
数列的前项和为，
①当时，；
②当时，，
特别地，当时，也适合上式；
③当时，.
综上所述，.
所以.
17【小问1】
因为直线与双曲线 有唯一的公共点 ，
所以直线与双曲线渐近线平行或者与双曲线相切；
双曲线渐近线，
情况一： 直线l的斜率不存在。
此时直线l的方程为：，不符合题意；
情况二：直线l的斜率存在.
设直线l的方程为：，即，
将直线方程代入双曲线方程中得到： ，
直线平行于双曲线的渐近线，此时，
直线l的方程为：或者 ；
直线与圆锥曲线相切，
此时，且 ，
设切点，则，过点的切线方程为，
因为点在直线上，所以代入切线方程可得 ，
所以代入双曲线方程得：，
解得，
当 时，，切点为：，
切线方程为，
当时，，切点为：，
切线方程为，
综上，满足条件的直线 l的方程为有以下四条：
【小问2】
直线的斜率为，且 所以直线 为切线，
由(1) 过点的切线方程为，
所以，，，
过点且与垂直的直线（法线）的斜率为：，
法线方程为：，
因为该直线交x轴于，交轴于点，
所以令得：，所以，同理可得，
所以动点的坐标为，因为，
所以设，则，
所以，化简得，
所以动点的轨迹方程为，
根据双曲线的定义，双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为常数，
因为，
所以，
该双曲线的焦点坐标为：，
对于双曲线上的任意点，都有，
所以存在定点使得当点在双曲线上运动时，动点 使得为定值，定点坐标为，定值为.
18.【小问1】
，令，求导得：，
令，，，则在上单调递减，
，在上单调递减，则，，即，
所以时，.
【小问2】
①，当或或时，，
当或时，，
于是得在，，上都递增，在，上都递减，
而，
又时，，，的部分图象大致如图，
观察图象知，当时，又，必有，
令，，因在上递减，则在上递减，
因此，在上递增，则当时，，
所以的取值范围是；
②不存在，
因，则当时，而，必有，即不成立，
当时，不存在或者，有，即不成立，
当时，，令，，
，
而当时，，，则，即在上递增，
，因此，，，于是得，
又，，且函数在上递增，故有，即，不成立，
综上，不存在，使得成立.
19.【小问1】
由题意，点可能的坐标为.
【小问2】
令向量，
则当时，；当时，；
当时，其中，且.
要保证为原点，则在8次投掷过程中，掷得奇数的次数应为.
①若，即8次投掷全部为偶数，共1种情况：偶偶偶偶偶偶偶偶；
②若，即8次投掷过程中有5次偶数，3次奇数，则共8种情况：
奇偶奇偶奇偶偶偶，奇偶奇偶偶偶偶奇，奇偶偶奇偶偶奇偶，奇偶偶偶偶奇偶奇，
偶奇偶奇偶奇偶偶，偶奇偶偶奇偶偶奇，偶偶奇偶奇偶奇偶，偶偶偶奇偶奇偶奇；
③若，即6次奇数，仅有1种情况：奇奇偶奇奇偶奇奇.
故为坐标原点的概率.
【小问3】
当不是3的倍数时，显然有.
以下讨论当是3的倍数的情况.不妨设，则掷得偶数的次数为次.
记进行加向量为操作，加向量为操作，加向量为操作，不做任何操作记为操作.
定义操作小结：，其中可以为0.
在80次投掷产生的操作过程，可分为若干操作小结.注意到1个操作小节中有2次操作，每两个操作小节也由操作连接，所以共有个操作小节，如下图所示：
所以有其中.
由隔板法可知，上述不定方程共有组解，而每一组解对应着一种满足题意的投掷，于是有
.综上，有
因此，当，即时，取得最大值.

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