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2025-2026学年第二学期教学质量检测（二)
九年级数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A,B,C,D四个选项，其中只有
一个是符合题目要求的
1.下列选项中，比-2℃低的温度是（▲）
A.-3C
B.-1C
C.0℃
D.1C
2.在中国科研团队的努力下，氮化稼量子光源芯片问世，将芯片输出波长的最大值扩展至原来的4倍，
约为0.0000001024m,则0.0000001024用科学记数法表示为（▲）
A.10.24×10-6
B.1.024×10-8
C.10.24×10-8
D.1.024×10-7
3.榫卯是中国传统建筑的一种结构方式，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”，通过榫和卯的精密配合，
实现了构造的稳固性和可持续性，展现了人与自然的和谐关系.如图是其中一种卯，其俯视图是（▲）
B
/正面
第4题图
4.下列计算正确的是（▲）
A.2-a=2
B.(a2)3=
C.3÷a=3
D.a2.ad=a
5.下列整数中，与10-v15最接近的是（▲）.
A.4
B.5
C.6
D.7
6.如图，均匀地向一个鱼缸内注水直至注满，鱼缸中水面的高度h是注水时间1的函数.下列函数图象中，
能反映h随t变化规律的是（▲）
0
第6题图
第7题图
第8题阁
7.如图，菱形ABCD的对角线AC=24,点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长
线相交于点G,EG=10,则AB=(▲).
A.10
B.12
C.13
D.15
8.如图，AB是⊙O的直径，点C是AB下方AB的中点，连接AC,以点C为圆心，AC的长为半径作圆弧.若
第1页（共6页）
OA=2,则图中阴影部分的面积为（▲）.
Λ.4π
B.4
C.2π+2
D.4π-2
9.已知3个二次函数：y1x2+ar+1,J2=x2+bxr+2,y为=x2+c+4,其中a,b,c是正实数，且满足b2=ac.若
函数h的图象与x轴有且只有1个交点，函数2的图象与x轴无交点，则函数的图象与x轴的交点个
数为（▲）.
A.0
B.1
C.2
D.无法确定
1O.已知，在△ABC中，D是边BC上的点（不与点B,C重合），过点D作DEIAB交AC于点E,过点
D作DFWAC交AB于点F,G是线段BF上的点，BG=2GF,H是线段DE上的点，DH=2HE.若△CGH
的面积为定值，则下列三角形的面积也为定值的是（▲）.
A.△AFE
B.△HCE
C.△BCG
D.△BDF
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.计算：-8+2”=
12.有大小、材质完全相同的四张卡片，正面分别书写化学元素符号O(氧)、N
y
(氮)、Cu(铜)、Z(锌)，暗箱摇匀后不放回随机抽两张，则抽取的两张卡
片恰好都是金属元素的概率是
B
13.如图，直线y=x与双曲线=生(>0)交于点4，将直线y=x向上平移2单位
10
第13题图
长度交y轴于点B,交双曲线于点C.若BC=2W2,则k的值是_
14。对于一列互不相同的整数，我们按以下规则进行操作：从这一列数中任意取走两个数，求出这两个数
的和或者差，把求得的结果连同余下的整数，组成新的一列数.重复这样的操作，直到这一列数只剩下
一个数为止，我们把最后剩下的数叫做这列数的“终止数”.以数列1,2,3为例：初始数列有3个数，
需要操作2次得到终止数；第1次操作：取走1和2，计算和为1+2=3，余下的数为3，组成新数列3，
3:第2次操作：取走两个3，计算差为3-3=0，最终得到终止数0：也可选择其他操作方式：第1次取
走1和3，计算和为1+3=4，余下的数为2，组成新数列2,4：第2次操作取走2和4，计算和为2+4=6，
最终得到终止数6.由此可见，同一列数通过不同的操作，可以得到不同的终止数.完成下面探究：
(1)现有一列整数：1,2,3,4.其最大的负“终止数”是
(2)2,9,5,7,a,b,c,14为互不相同的正整数列，如果这一列数的“终止数”最大为61，则abc
的最大值是
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15.解不等式：x≤x+1.
2
第2页（共6页）2025-2026学年第二学期教学质量检测（二）
九年级数学参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分)
1---5：ADBDC 6---10:DCBAB
10.解：如图所示，连接 GD， ∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠ECD=∠FDB，∠FBD=∠EDC，∠
FB FD
BFD=∠A，∠A=∠DEC．∴△FBD∽△EDC，∠GFD=∠HEC．∴ = ，
ED EC
1 1
∵DH=2HE，BG=2GF，∴GF= BF，HE= DE，
3 3
GF BF FD GF
∴ = ，∴ =H ，E DE EC HE
又∵∠GFD=∠HEC，∴△GFD∽△HEC．
∴∠ECH=∠FDG．
∵∠FDB=∠ECD，∴∠HCD=∠GDB．
∴HC//GD．∴S△HGC=S△HDC．
1 1
∵DH=2HE，∴S△H EC= S2 △HD C
= S△HG C．故选：B．2
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分)
1
11. 1 12. 13.8 14.（1） 2 ；（2）480．
6
14.解析：（1）∵1，2，3，4．无法通过操作得到结果 1，
存在组合： 1 2 3+4= 2，∴最大的负终止数为 2；
（2）∵终止数的最大值为所有数取正号时的总和已知最大终止数为 61，
已知数之和=2+9+5+7+14=37，∴37+a+b+c=61，∴a+b+c=24，
a，b，c 是互不相同的正整数，且与{2，5，7，9，14}互不相同，
∵和为定值时，三个数越接近，乘积越大，∴优先寻找最接近的三个数，
∵最接近的组合 7，8，9 中，7，9 已在已知数中，舍去，
∵次优组合 6，8，10，均不在已知数中，且互不相同，∴乘积最大值=6×8×10=480，
∴ abc 的最大值为 480．
三、(本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分)
15.解： x 1 2(x 1)
x 1 2x 2 ………………4 分
x 2x 1 2
x 3
x 3………………8 分
16.解：设 B 款钥匙扣的单价为 x 元，则 A 5款钥匙扣的单价为 x 元．
4
105 120
根据题意列方程： 3，………………5 分
1.25x x
解得： x 12，
经检验 x 12是原方程的解． ………………7 分
A 5 5款钥匙扣单价： x 12 15（元）．
4 4
答：A 款钥匙扣单价为 15 元，B 款钥匙扣单价为 12 元．………………8 分
四、(本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分)
17.解：（1）如图，△A1B1C1 即为所求；………………3 分
（2）如图，△A2B2C2 即为所求；………………6 分
（3）如图，BH 即为所求．………………8 分
18.解：如图，过 A 作 AG⊥DE，交 ED 的延长线于点 G，
过点 C 作 CH⊥AG，垂足为 H，过点 C 作 CF⊥DE，垂足为 F．
∵AB=130 mm，CB=40 mm，
∴AC=AB CB=130 40=90 mm．
∵CF⊥DE，CD=80 mm，∠CDE=60°，
∴CF=CD sin60°=80× 3 ≈69.2mm．………………3 分
2
∵∠DCB=83°，
∴∠ACD=180° ∠DCB=180° 83°=97°．
∵AG⊥DE，CH⊥AG，∴CH//DE，∴∠HCD=∠CDE=60°，
∴∠ACH=∠ACD ∠HCD=97° 60°=37°．
∵CH⊥AG，AC=90 mm，∠ACH=37°，
∴ AH=AC sin37°≈90×0.6=54 mm．………………6 分
∵AG⊥DE，CF⊥DE，CH⊥AG，∴四边形 CFGH 是矩形，∴HG=CF，
∴AG=AH+HG=AH+CF≈54+69.2=123.2≈123mm．
答：点 A 到直线 DE 的距离约为 123mm．………………8 分
五、(本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分)
19.解：（1）解：a=7.5， ∠α=72°，频数分布直方图中 9 分的频数为 3；………………3 分
（2）乙平台得分的平均数为 7，
1
乙平台得分的方差 S 2 = [(4 7)2+2×(5 7)2乙 +2×(6 7)2+(7-7)2+(8 7)2+(9 7)2+2×(10 7)2]10
= 4.2；…………7 分
（3）乙平台·
理由：乙平台作品创意得分的平均数和中位数均高于甲平台，乙平台在作品创意的整体水
平与中间水平表现更突出．两平台文化传承契合度的平均得分均为 7，基本表现相当；乙
平台方差虽略大，但整体仍能满足文化传承的基本要求．………………10 分
20.解：（1）证明：如图，连接 BC．
∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，即 BC⊥AC．
∵OD⊥AC 于点 E，∴∠OEA=90°．
∴OD//BC，即 DF//BC．
∵DF//BC，BF//CD，∴四边形 BCDF 为平行四边形．
∴BF=CD．………………4 分
（2）设 OF=x．∵EF=1 ，∴OE=OF+EF=x+1．
∵ 1四边形 BCDF 是平行四边形，∴DF=BC．∵OD⊥AC，∴AE=EC= AC．
2
∵AC= 2 10 ，∴AE= 10 ．
在 Rt△ABC 中，O 是 AB 中点，E 是 AC 中点，
∴OE 是△ABC 的中位线．∴BC=2OE=2(x+1)=2x+2 ．∴DF=BC=2x+2 ．
∵OD 是半径，∴OD=OF+DF=x+(2x+2)=3x+2．∴OA=OD=3x+2．
在 Rt△OAE 中，由勾股定理得 OA2=OE2+AE2，即 (3x+2)2=(x+1)2+( 10 )2．
1 7 1
解得 x1= ，x2= (舍去，因为线段长不能为负) ．∴ OF ．………………10 分2 4 2
六、(本题满分 12 分)
21. 19解：①9；②3；③ ；④ mn m n 1 ⑤ 1 I 1 1； 0 k ；⑥ B0 k 1．2 2 2 2
每空 2 分
七、(本题满分 12 分)
22. 1 3解：（1）由题意得二次函数 y=x2+bx+c 的图象对称轴为 x 2 ．
2
∵a=1>0，最小值为 2，∴顶点坐标为(2，2)，
∴ y (x 2)2 2 x2 4x 6 ，∴ b 4， c 6；………………4 分
（2）（i）解法一：∵二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A( x1，0)、B( x2 ，0)，
∴ y (x x1)(x x2 ) x
2 (x1 x2 )x x1x2 ∴ b (x1 x2 ) ， c x1x2 ；
解法二：∵二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A( x1，0)、B( x2 ，0)，
∴ b x1 x 2 ，∴ b (x 2
2 2 1
x2 ) ，∴ y x (x1 x2 )x c，
代入 A( x1，0)得 x
2
1 (x1 x2 )x1 c 0，∴ c x1x2 ，………………8 分
（ii）解法一：由题意得， y x2 bx c (x 1)(x x2 ) ，∴ c x2 .
∵该函数的图象经过点（1，n），∴ n 2(1 x2 ) ，
∴ cn 2(1 x2 )( x2 )
1 1
2(x2 x 22 2 ) 2(x2 ) ，2 2
∵ 0 x 1 1 1 2 12 1，∴当 x2 时，cn 有最小值 ，且 cn 2 (0 ) 0 ，2 2 2 2
1
∴cn 的取值范围是 cn 0 .
2
解法二：∵该函数的图象经过点（ 1，0），
∴ 0 1 b c，∴ c b 1，
∵ 0 x2 1，∴ 1 1 x2 0，
1 x2 b∵ ，即 1 x b ，
2 2 2
∴ 1 b 0，∴ 0 b 1，
∵该函数的图象经过点（1，n），∴ n 1 b c 2b ，
∴ cn c(1 b c) 2b(b 1) 2(b 1 )2 1 ，
2 2
1 1 1 1
∴当b 时，cn 有最小值 ，且 cn 2 (0 )2 0 ，
2 2 2 2
1
∴cn 的取值范围是 cn 0 .………………12 分
2
八、(本题满分 14 分)
23.解：（1）（i）∵ DCE 30 ，CE⊥BD，∴ CD 2DE ，
∵ CD 2BD ，∴ CD BE ，
∵ AC CD ，∴ AC BE ，
∵ ACB DBC ，∴ BF CF ，
∴ BE BF AC CF ，
∴ AF EF ；………………4 分
（ii）解：如图 2，连接 AE．
1
由（i）知：FB=FC，AF=EF，∴∠FBC=∠FCB= (180° ∠BFC)，
2
1
∴∠FAE=∠FEA= (180° ∠AFE)，
2
∵∠BFC=∠AFE，∴∠FBC=∠FEA=∠FAE，
设∠ACB=∠CBD=α°
∵ CDE 90 DCE 60 ， BDC 180 CDE 120 ，
∴∠BCD=∠CDE ∠CBD=60° α°，
∴∠ACD=∠BCA ∠BCD=α° （60° α°）=2α° 60°，
1 1
∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA= (180° ∠ACD)= [180° (2α° 60°)]=120° α°，
2 2
∴∠ADE=∠CDA ∠CDE=120° α° 60°=60° α°，∴∠BCD=∠ADE
AD DE
∴△DAE∽△CDB，∴ = ；∴ AD BC CD DE ………………8 分
CD BC
（2）∵H 是 CD 中点，∴设 CH=DH=a，则 CD=AC=2a，
设∠DBC=∠ACB=α，则∠BCD=90° α，∠CAG=90° α，∴∠HCG=∠CAG，
∵∠CGH=∠AGC=90°，∴△AGC∽△CGH，
GH CG CH 1
∴ = = = ，∴AG=2CG，CG=2GH，
CG AG AC 2
在 Rt△ACG 中，AG2+CG2=AC2，∴4CG2+CG2=4a2，
1
解得 CG=2 5a AG=4 5， a，∴GH= CG= 5a，
5 5 2 5
∴AH=AG GH=3 5a，
5
AH 3 5 a
∴ = 5 =3 5．………………14 分
DH a 5

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