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2026新浙教版八年级数学下学期期中综合评估检测试卷
时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章~第3章
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．若，，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程进行了讨论：甲说：这一定是关于x的一元二次方程；乙说：这有可能是关于x的一元一次方程；丙说：只有当且时，该方程有实数根；丁说：当时，该方程有实数根（ ）
A．甲和丙说的对 B．甲和丁说的对
C．乙和丁说的对 D．乙和丙说的对
3．等腰三角形的两条边长是方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．10 B．14 C．10或14 D．不能确定
4．估算的值在（ ）
A．和之间 B．和之间
C．和0之间 D．0和1之间
5．已知、两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分分），则下列说法错误的是（ ）．
A．这次考试、两个班都没有人考满分
B．班的最低分比班的最低分低
C．班成绩的上四分位数与班成绩的中位数相同
D．班的成绩比班的成绩更集中
6．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表：
20.5 20.6 20.7 20.8 20.9
输出 3.44 9.21
分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章．现需将一幅长为米，宽为米的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，若整幅挂画的面积是平方米，则锦缎边饰的宽度为（ ）
A． B． C． D．
8．在一次体育模拟测试中，某班41名学生参加测试（满分为30分），成绩统计如下表（部分数据丢失）．下列统计量中，与丢失的数据无关的是（ ）
成绩（分） 22 24 26 27 28 29 30
人数（人） 2 6 19 7
A．中位数、方差 B．中位数、众数 C．平均数、众数 D．平均数、方差
9．按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（　　）
A． B． C．2 D．
10．如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第（ ）个图形共有45个小球．
A．9 B．10 C．11 D．12
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．已知，，则_____．
12．已知关于x的一元二次方程有实数根，当m取最大整数值时，代数式的值为______．
13．在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成为了一个面积为的正方形，则原长方形纸片的对角线为_______．
14．某市近几天气温（单位：）如下：5，3，2，3，1，，则这组数据的下四分位数是______．
15．数学活动小组在班上做节水意识调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：．分析时发现，去掉其中一个数后，这组数据的中位数和众数都保持不变，则去掉的这个数可能是______．
16．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____________
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）根据已知条件，求代数式的值
(1)已知x、y为实数，且，求的值；
(2)已知，求代数式的值．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
19．（8分）阅读材料：若，则我们称与是关于的调匀数．例如，3与是关于的调匀数．
(1)5与______是关于1的调匀数；与_____是关于的调匀数；
(2)若，且与是关于的调匀数，求的值；
(3)若与是关于的调匀数，同时，与是关于的调匀数，求的值．
20．（8分）定义：已知，是关于x的一元二次方程 的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断：一元二次方程____________ “差1方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值．
21．（10分）如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶．
(1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？
(2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？
22．（10分）为了宣传“绿色生活，环保先行”，学校组织了知识普及活动，并从八、九年级学生中各随机抽取名学生的测评成绩（成绩用表示，且为的整数）进行整理、描述和分析（成绩分为四组，A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息：
八年级名学生的测评成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
九年级名学生测评成绩在B组的是：，，，，，．
八、九年级抽取的学生测评成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数 方差
八
九
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的______，______，______；
(2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识测评成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)若成绩不低于分为优秀，且该校八年级有名、九年级有名学生参加了此次知识普及活动，请估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数．
23．（12分）善于思考的小汇发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．于是小汇进行了以下探索：
设（其中均为整数），
则有
由均为整数，可得．故．
这样小汇就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．同样热爱数学的小文仿照小汇的方法继续探索了下列问题：
(1)当均为正整数时，若，请你用含的式子分别表示：__________，__________；
(2)利用小汇和小文探索的方法，求满足的正整数的值；
(3)若，且均为正整数，求的值．
24．（12分）综合实践：
探究主题 一元二次方程根的判别式拓展探究
探究情境 在学习一元二次方程根的判别式时，小明同学通过几道习题的解答，他说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法并提出了一个猜想：“若一元二次方程的二次项系数a和常数项c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．”请你结合所学知识，对小明的猜想进行探究．
实例验证 （1）解满足以下条件的一元二次方程，验证小明的猜想： ①当，时，例如，此方程的解是________； ②当，时，例如，此方程的解是________； 这两个实例可以验证小明的猜想________（填“正确”或“错误”）．
严谨证明 （2）小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例．
拓展延伸 （3）已知关于x的一元二次方程，其中m为整数，满足二次项系数和常数项异号，求m的值及方程的解．
答案解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．若，，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，逐项化简判断，即可解题．
【详解】解：∵ ，，
A. ，故A项错误，不符合题意；
B. ，故B项错误，不符合题意；
C. ，计算正确，符合题意；
D. ，故D项错误，不符合题意；
故选：C．
2．已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程进行了讨论：甲说：这一定是关于x的一元二次方程；乙说：这有可能是关于x的一元一次方程；丙说：只有当且时，该方程有实数根；丁说：当时，该方程有实数根（ ）
A．甲和丙说的对 B．甲和丁说的对
C．乙和丁说的对 D．乙和丙说的对
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的概念，可以判断甲、乙；分类讨论，即当时，此时方程一定有实数根，当时，根据根的判别式，可以得到的取值范围，将取值范围合并即可得到方程有实数根时，的取值范围．
【详解】解：当时，为一元一次方程，故甲的说法错误，乙的说法正确；
①当时，方程为，此时方程的根为，即k可以取0；
②当时，方程为一元二次方程，当时，方程有实数根，即，
解得，
且，
综上所述：当时，方程有实数根，故丁的说法正确，丙的说法错误，
综上，乙和丁说的对．
3．等腰三角形的两条边长是方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．10 B．14 C．10或14 D．不能确定
【答案】B
【分析】先解方程得到两个根，再分情况讨论腰长，结合三角形的三边长关系排除不符合的情况，计算得到周长.
【详解】解：∵ 方程因式分解得
∴ ，，即方程的两个根为2和6.
分两种情况讨论：
① 若等腰三角形的腰长为2，底边长为6
∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去.
② 若等腰三角形的腰长为6，底边长为2
∵ ，，满足三角形三边关系，可以构成三角形
∴ 等腰三角形的周长为.
综上，这个等腰三角形的周长为14
4．估算的值在（ ）
A．和之间 B．和之间
C．和0之间 D．0和1之间
【答案】C
【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估算无理数的范围，推导得出原式的取值区间．
【详解】解：
，
∵，
∴，即，
∴，即，
∴估计的值在和0之间．
5．已知、两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分分），则下列说法错误的是（ ）．
A．这次考试、两个班都没有人考满分
B．班的最低分比班的最低分低
C．班成绩的上四分位数与班成绩的中位数相同
D．班的成绩比班的成绩更集中
【答案】D
【分析】根据箱线图的核心作用是展示数据的“五数概括”：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，对选项进行判断即可．
【详解】解：根据箱线图的核心作用：上四分位数：箱子的上边界对应的值；中位数：箱子内部的横线对应的值；最大值、最小值：上、下侧须线的端点对应的值，分析各选项：
A、由图可知、两个班的最高分都未达到分，所以两班均没有满分，说法正确，不符合题意；
B、班的最低分比班的最低分低，说法正确，不符合题意；
C、班成绩的上四分位数与班成绩的中位数相同，说法正确，不符合题意；
D、班的成绩比班的成绩更集中，说法错误，根据箱线图所示应是班的成绩比班的成绩更集中，D选项符合题意；
故选：．
6．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表：
20.5 20.6 20.7 20.8 20.9
输出 3.44 9.21
分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：由表格可知，
当时，，即，
当时，，即，
∴时，．
7．广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章．现需将一幅长为米，宽为米的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，若整幅挂画的面积是平方米，则锦缎边饰的宽度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，将几何问题转化为代数方程是解题关键．
设边饰宽度为米，则挂画总长米，总宽米，根据面积公式建立方程并求解即可．
【详解】解：设边饰宽度为米，则挂画总长为米，总宽为米，
根据题意可得，
化简得，
解得或（舍去），
故边饰宽度为米．
故选：．
8．在一次体育模拟测试中，某班41名学生参加测试（满分为30分），成绩统计如下表（部分数据丢失）．下列统计量中，与丢失的数据无关的是（ ）
成绩（分） 22 24 26 27 28 29 30
人数（人） 2 6 19 7
A．中位数、方差 B．中位数、众数 C．平均数、众数 D．平均数、方差
【答案】B
【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的定义与计算公式，以及图表中数据进行判断即可．
【详解】解：未被遮盖的数据共有个，被遮盖的数据有个，
∵，即成绩为38分的人数最多，
∴众数为38，与被遮盖的数据无关；
从大到小依次排序，中位数为第21个数据，
由题意知，成绩为29分的人数在0 7之间，
∵，，
∴中位数为28，与被遮盖的数据无关，
∴众数与中位数均与被遮盖的数据无关．
∵成绩为22分，24分，29分的人数不确定，
∴平均数与方差无法计算，即平均数与方差与被遮盖的数据有关．
故选：B．
【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数、方差．解题的关键在于熟练掌握中位数、众数、平均数、方差的定义与计算方法．
9．按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】先判断，然后利用平方差公式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴输出的值为2．
10．如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第（ ）个图形共有45个小球．
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【分析】根据图形变化规律可知，第n个图形有个小球，据此规律列出一元二次方程，据此求解即可．
【详解】解：第1个图中有1个小球，
第2个图中有3个小球，，
第3个图中有6个小球，，
第4个图中有10个小球，，
．．．．．．
照此规律，第个图中有个小球，
由题意得，
解得或，
∴第9个图形共有45个小球．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．已知，，则_____．
【答案】10
【分析】根据二次根式的运算，先求的值，再由进行计算即可．
【详解】解：∵，，
，
，
．
12．已知关于x的一元二次方程有实数根，当m取最大整数值时，代数式的值为______．
【答案】6
【分析】根据题意可知，一元二次方程根的判别式大于或等于0，且，进而求得的值，得到，代入代数式即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，则，
∴，且，
解得，且，
m取最大整数为0，此时原方程为，
即，
∴代数式．
13．在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成为了一个面积为的正方形，则原长方形纸片的对角线为_______．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，勾股定理，根据正方形面积计算公式可求出正方形的边长，进而求出长方形的长和宽，再根据长方形纸片的对角线的平方等于长方形的长的平方加上宽的平方列式求解即可．
【详解】解：∵正方形的面积为，
∴正方形的边长为，
∴长方形的长为，长方形的宽为，
∴原长方形纸片的对角线为，
故答案为：．
14．某市近几天气温（单位：）如下：5，3，2，3，1，，则这组数据的下四分位数是______．
【答案】1
【分析】本题考查下四分位数的计算，需要将数据由小到大排列，然后根据下四分位数的定义求解即可．
【详解】解：将数据按从小到大的顺序排列：，1，2，3，3，5，共6个数据，这组数据的下半部分为，1，2，其中位数为1，故该组数据的下四分位数为1。
故答案为：1．
15．数学活动小组在班上做节水意识调查，收集了班上7位同学家里上个月的用水量（单位：吨）如下：．分析时发现，去掉其中一个数后，这组数据的中位数和众数都保持不变，则去掉的这个数可能是______．
【答案】7
【分析】本题考查的是中位数与众数的含义，先求出原始数据的中位数和众数，然后逐一检验去掉每个数后中位数和众数是否保持不变．
【详解】解：原始数据排序后为5，5，6，7，8，9，10，中位数为7，众数为5．
去掉一个数后，数据个数为6，中位数为第3和第4个数的平均值．
若去掉5（任一），众数改变；
去掉6、8、9、10时，中位数均不为7；
只有去掉7时，剩余数据排序后为5，5，6，8，9，10，众数为5，中位数为，保持不变．故去掉的数可能是7．
故答案为：
16．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____________
【答案】3
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系得到，，然后代入化简后的结果，即可．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，即，
故答案为：3
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）根据已知条件，求代数式的值
(1)已知x、y为实数，且，求的值；
(2)已知，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式被开方数的非负性质可求得x的值，进而求得y的值，再代入即可求得值；
（2）先利用二次根式的性质把代数式化简，再整体代入求值即可．
【详解】（1）解：已知x、y为实数，且，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴x，y都是正数，
∴
．
18．（6分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在实数，
【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式大于0，据此建立关于的不等式，求解即可得到的取值范围；
（2）根据根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，将所求倒数和变形后代入，得到关于的方程，求解后结合第一问的的范围，即可判断是否存在符合条件的．
【详解】（1）解：已知一元二次方程为，方程有两个不相等的实数根，
∴
解得；
（2）解：存在，
设方程的两个实数根为，，
根据根与系数的关系得， ，
由题意得 ，
∴ ，
∴，
整理得，
解得，
，不符合的条件，舍去；
，符合条件，
存在满足条件的实数，．
19．（8分）阅读材料：若，则我们称与是关于的调匀数．例如，3与是关于的调匀数．
(1)5与______是关于1的调匀数；与_____是关于的调匀数；
(2)若，且与是关于的调匀数，求的值；
(3)若与是关于的调匀数，同时，与是关于的调匀数，求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据“调匀数”的定义解答即可．
（2）根据“调匀数”的定义得出，即，代值求解即可．
（3）根据“调匀数”的定义列出方程组解答即可．
【详解】（1）解：，，
∴5与是关于1的调匀数；与是关于的调匀数；
（2）解：∵与是关于的调匀数，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：根据题意，可得，
解得，
∴．
20．（8分）定义：已知，是关于x的一元二次方程 的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值．
【答案】(1)不是
(2)-6或-8
【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系．
（1）解该一元二次方程，得出，，再根据“差1方程”的定义判断即可；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，根据 “差1方程”的定义可得，即可求出或，再结合“差1方程”的定义检验即可.
【详解】（1）解：此方程不是“差1方程”，理由如下：
，
解得：，，
∵，
∴方程不是“差1方程”；
（2）解：∵设方程两根为，，
由根与系数的关系，得，，
∵方程 是“差1方程”，
∴，
∴
∴
∵，
∴,
∴或；
当时，方程，解得：，，此时，
当时，方程，解得：，，此时，
综上所述：当或时，关于x的一元二次方程是“差1方程”.
21．（10分）如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶．
(1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？
(2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？
【答案】(1)或小时；
(2)上午时．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意得可，然后解方程即可；
（）设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里，根据勾股定理得得，则有，然后解方程并检验即可．
【详解】（1）解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，
根据题意得可，
解得：，，
答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里；
（2）解：设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里，
在中，由勾股定理，得，
即，
整理，得，
解得，（不符合题意．舍去）．
∴，
答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令．
22．（10分）为了宣传“绿色生活，环保先行”，学校组织了知识普及活动，并从八、九年级学生中各随机抽取名学生的测评成绩（成绩用表示，且为的整数）进行整理、描述和分析（成绩分为四组，A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息：
八年级名学生的测评成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
九年级名学生测评成绩在B组的是：，，，，，．
八、九年级抽取的学生测评成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数 方差
八
九
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的______，______，______；
(2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识测评成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)若成绩不低于分为优秀，且该校八年级有名、九年级有名学生参加了此次知识普及活动，请估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数．
【答案】(1)，，
(2)八年级学生的测评成绩更好，理由见解析
(3)该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数分别为人、人
【分析】（1）根据众数的定义求出的值，利用扇形统计图求出A、C、D组的人数，根据中位数的定义求出的值，求出A组所占百分比，即可求出的值；
（2）根据中位数的意义求解即可；
（3）用总人数乘以样本中优秀人数所占百分比即可得答案．
【详解】（1）解：∵八年级名学生的测评成绩中，出现次，出现的次数最多，
∴八年级名学生的测评成绩的众数是，即，
∵九年级名学生的测评成绩C组的人数为，D组的人数为，B组的人数为人，成绩为：，，，，，，
∴九年级名学生的测评成绩的中位数为，即，
∵九年级A组的人数为（人），
∴，
∴．
（2）解：∵平均值相同，八年级的中位数大于九年级的中位数，
∴八年级学生的测评成绩更好．
（3）解：∵八年级名学生的测评成绩中，A组的人数为人，
∴，
∴（人），
∵，
∴（人），
∴（人），
答：估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数为人．
23．（12分）善于思考的小汇发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．于是小汇进行了以下探索：
设（其中均为整数），
则有
由均为整数，可得．故．
这样小汇就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．同样热爱数学的小文仿照小汇的方法继续探索了下列问题：
(1)当均为正整数时，若，请你用含的式子分别表示：__________，__________；
(2)利用小汇和小文探索的方法，求满足的正整数的值；
(3)若，且均为正整数，求的值．
【答案】(1)，
(2)，
(3)或
【分析】（）根据小汇的方法解答即可；
（）根据小汇和小文探索的方法解答即可；
（）根据小汇和小文探索的方法解答即可；
本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的恒等变形，看懂题意是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，，
∴，；
（3）解：∵，
∴，，
∵均为正整数，
∴，或，，
当，时，；
当，时，；
∴的值为或．
24．（12分）综合实践：
探究主题 一元二次方程根的判别式拓展探究
探究情境 在学习一元二次方程根的判别式时，小明同学通过几道习题的解答，他说自己发现了判断一类方程有无实数根的一种简易方法并提出了一个猜想：“若一元二次方程的二次项系数a和常数项c异号（即两数为一正一负），那么这个方程一定有两个不相等的实数根．”请你结合所学知识，对小明的猜想进行探究．
实例验证 （1）解满足以下条件的一元二次方程，验证小明的猜想： ①当，时，例如，此方程的解是________； ②当，时，例如，此方程的解是________； 这两个实例可以验证小明的猜想________（填“正确”或“错误”）．
严谨证明 （2）小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例．
拓展延伸 （3）已知关于x的一元二次方程，其中m为整数，满足二次项系数和常数项异号，求m的值及方程的解．
【答案】（1）①；②；正确；（2）见解析；（3）时，；时，
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，根的判别式等知识；
（1）根据因式分解法解方程，即可求解；
（2）根据题意计算，即可得证；
（3）根据一元二次方程的定义，以及m为整数，满足二次项系数和常数项异号，得出的值，进而解方程，即可求解．
【详解】解：（1）①当，时，例如，
∴，
∴或，
∴此方程的解是；
②当，时，
例如，
∴
∴
∴或，
∴此方程的解是；
这两个实例可以验证小明的猜想正确；
故答案为：；；正确．
（2）解：小明的猜想正确，
证明：一元二次方程的二次项系数a和常数项c异号（即两数为一正一负），
∴，
又∵
∴。故这个方程一定有两个不相等的实数根.
（3）依题意，且
解得，，
又∵m为整数，
∴或
当时，方程为，即
∵，
∴
解得：
当时，方程为
即
解得：

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