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23.4 实际问题与一次函数（第2课时）
第二十三章 一次函数
人教版八年级下册
实际问题
建立数学模型
一次函数
y=kx+b(k≠0)
解析式
图象
性质
一次函数
问题的解
计算求解
实际问题
的答案
探究1 下表给出了某游泳馆A，B，C三种年卡套餐的收费标准.
选取哪种年卡套餐能节省游泳费用
套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元
A 600 20 40
B 1 200 50 40
C 1 800 不限次
分析：设年游泳x次，则套餐A，B，C的游泳费用y1，y2，y3都是x的函数，在套餐C中，无论年游泳次数是多少，游泳费用都是1 800元，因此，y3= .
若能得到y1，y2关于x的函数解析式，则利用函数解析式，通过方程、不等式或函数图象就能比较y1，y2，y3的大小，从而对年卡套餐作出选择.
1 800（x≥0）
在套餐A中，考虑游泳费用y1时，要把年游泳次数x分为不超过20次和超过20次两种情况，得到刻画套餐A的游泳费用的函数解析式
y1=
化简，得
y1=
这个函数的图象如图所示.
y1
类似地，可以得到刻画套餐B的游泳费用y2关于年游泳次数x的函数解析式y2= .
在图中画出y2，y3的图象.
y1
y3
y2
50
结合函数图象与解析式，可知：
当年游泳次数 时，
选择套餐A能节省游泳费用；
当年游泳次数 .
时，选择套餐B
能节省游泳费用；
当年游泳次数 时，
选择套餐C能节省游泳费用.
y1
y3
不超过35次
y2
50
35
65
不少于35次，
不超过65次
不少于65次
例 某公司要印制产品宣传材料.甲印刷厂的收费方案是：收1 500元制版费，每份材料再收1元印制费；乙印刷厂的收费方案是：不收制版费，每份材料收2.5元印制费.
(1)分别写出两家印刷厂的收费y(单位：元)关于印制宣传材料数量x(单位：份)的函数解析式；
(2)选择哪家印刷厂比较合算
例 某公司要印制产品宣传材料.甲印刷厂的收费方案是：收1 500元制版费，每份材料再收1元印制费；乙印刷厂的收费方案是：不收制版费，每份材料收2.5元印制费.
(1)分别写出两家印刷厂的收费y(单位：元)关于印制宣传材料数量x(单位：份)的函数解析式；
解：(1)由题意得，甲印刷厂的收费为：y甲=x+1500，
乙印刷厂的收费为：y乙=2.5x．
(2)方法1：①当y甲解得：x>1000.
②当y甲=y乙时，x+1500=2.5x，
解得：x=1000.
③当y甲>y乙时，x+1500>2.5x，
解得：x<1000.
综上所述，当0当x=1000时，甲、乙印刷厂一样合算；
当x>1000时，甲印刷厂比较合算.
(2)方法2：在同一平面直角坐标系中画出y甲、y乙的图象：
两个函数的图象交于点(1000，2500)，结合函数图象可得：
当0y乙，
乙印刷厂比较合算；
当x=1000时，y甲=y乙，
甲、乙印刷厂一样合算；
当x>1000时，y甲甲印刷厂比较合算.
y甲
y乙
练习 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)甲队在开挖后6小时内，
每小时挖________m；
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练习 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题：
(2)当2≤x≤6时，求y乙与x之
间的函数关系式；
解： （2）设乙队在2≤x≤6的时段内y乙与x之间的函数关系
式为y乙=kx+b（k≠0），
由题图可知，函数图象过点(2，30)，(6，50)，
∴
解得
∴当2≤x≤6时，y乙与x之间的函数关系式为y乙=5x+20．
练习 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题：
(3)请直接写出开挖后几小时，
甲、乙两队挖的河渠的长度
相差5m．
解： （3）当0≤x≤2时，
设y乙与x的函数关系式为y乙=mx（m≠0），
可得2m=30，解得m=15，即y乙=15x．
设甲队在0≤x≤6的时段内y甲与x之间的函数关系式为y甲=k1x（k1≠0），
由题图可知，函数图象过点(6，60)，
∴6k1=60，解得k1=10，
∴y甲=10x．
当0≤x≤2时，15x 10x=5，解得x=1；
当2∴开挖1h或3h或5h后，甲、乙两队挖的河渠的长度相差5m．
实际问题
建立数学模型
一次函数
y=kx+b(k≠0)
解析式
图象
性质
一次函数
问题的解
计算求解
实际问题
的答案
1.（2024年山东济南）某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，l1，l2分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y(kW·h)与汽车行驶路程x(km)的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300
km时，A款新能源电动汽车电池的
剩余电量比B款新能源电动汽车电
池的剩余电量多______kW·h．
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2.（2023年湖北鄂州）1号探测气球从海拔10 m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20 m处出发，以a m/min的速度竖直上升．两个气球都上升了1h.1号、2号气球所在位置的海拔y1，y2（单位：m）与上升时间x（单位：min）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
(1)a=_____，b=_____；
(2)请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
30
解：（2）由（1）可得y1与y2函数图象的交点坐标为(20，30)，
设y1=k1x+10，y2=k2x+20，
将(20，30)分别代入可得：30=20k1+10，30=20k2+20，
解得：k1=1，k2=，
∴y1=x+10，y2=x+20；
2.（2023年湖北鄂州）1号探测气球从海拔10 m处出发，以1m/min的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20 m处出发，以a m/min的速度竖直上升．两个气球都上升了1h.1号、2号气球所在位置的海拔y1，y2（单位：m）与上升时间x（单位：min）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
(1)a=_____，b=_____；
(2)请分别求出y1，y2与x的函数关系式；
(3)当上升多长时间时，两个气球的海拔
竖直高度差为5 m？
30
解：（3）由题意可得y1 y2=5或y2 y1=5，
当y1 y2=5时，x+10 (x+20)=5，解得x=30，
当y2 y1=5时，x+20 (x+10)=5，解得x=10，
∴当上升10min或30min时，两个气球的海拔竖直高度差为5m.
3.（2023年内蒙古）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同．
(1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价；
解：（1）设每盒豆沙粽的进价为a元，则每盒肉粽的进价为
(a+10)元，由题意得：
解得a=40，
经检验：a=40是原分式方程的解，且符合题意，
∴a+10=50.
答：每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元．
(2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，B两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案：
A厂家：一律打8折出售．
B厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部
分打7折．该商家计划购买豆沙粽礼盒x盒，设去A厂
家购买应付y1元，去B厂家购买应付y2元，其函数图
象如图所示：
①分别求出y1，y2与x之间的函数关系；
②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？
解：（2）①y1=40×80%x=32x（x≥0且x为整数）
当0≤x≤25且x为整数时，y2=40x，
当x>25且x为整数时，y2=1000+(40x 1000)×70%=28x+300.
∴y2=
②当x>25且x为整数，y1=y2时，32x=28x+300，解得x=75，
由图象可知：购买粽子礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买粽子礼盒等于75盒，去A厂家或B厂家购买一样划算；购买粽子礼盒多于75盒，去B厂家购买划算．
正比例函数y=kx
一次函数y=kx+b
特殊
描点法
函数的图象
函数的性质
研究
选取两点
待定系数法
关系
方程(组)、不等式
实际问题
应用
分段函数问题
方案选择问题
？
作业
必做题：习题23.4 第6题.
1
探究性作业：习题23.4 第7题.
2
人教版八年级下册
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