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秘密★启用前
高三数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.已知集合A=(x|2x>4),B={x|4x+3≤15}，则A∩B=
A.(x|2B.{x|2≤x<3}
C.{x|1D.(x|1≤x<5}》
1-3i
2复数x=1+的虚部为
A.-2
B.-1
C.1
D.2
3.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,且a,b的夹角为120°，则|2a-b|=
A.1
B.万
C.√13
D.√19
4曲线y=厄xsin2+)在点(0,0)处的切线方程为
A.y=一2x
B.y=一x
C.y=x
D.y=2x
5.已知函数f(x)=cos(2x十p)(0B.(o,)
c.[)
D(贷
6,记椭圆E:g十=1的上顶点为A,右焦点为F,则以A为圆心，AP1为半径的圆与
E的交点个数为
A.0
B.2
C.3
D.4
7.已知函数f(x)=exhr+(xlnx-x)2,若f(x)≥ax2恒成立，则实数a的最大值为
A.
B
e
e
D.1
数学试题第1页（共4页）
8.已知球O的半径为2，其表面上有A,B,C三点，满足AB=AC=2√3，BC=2√2，则四
面体A-OBC的体积为
A号
B号
c22
3
n号
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.在△ABC中，sin2B十sin2C=4 sin Bsin Cco6A,AB=3AC=2,则
A.cos A=13
Γ24
BBc-号
c.c>
D.B>号
10.已知三棱台ABC-A,B,C:的上、下底面相似比为1￥2.在△ABC中，AB=AC=
√14，BC=2√6，侧棱BB1=CC1=√3，且AA,与下底面ABC所成的角为60°.则
A.直线AA,与直线BC相互垂直
B.直线BB,与直线AC相互垂直
C.侧面BCC,B,与底面ABC相互垂直
D.侧面ABB,A,与侧面ACC1A1相互垂直
1.已知随机变量X~B(np)(0k)x*,记g(x)=f'(x),则
A.对任意n,p,g(1)=E(X)恒成立
B.对任意n,p,g'(1)=D(X)恒成立
C.存在n,p,使得方程f(x)一x=0在区间(0,1)内有解
D.存在n,p,使得函数y=f(x)一x在区间(0,1)内单调
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线y2=2px(p>0),O为坐标原点，直线x=t与抛物线交于A,B两点，且
1AB1=12,∠AOB=2,则p=—
13.若sin(a+p)=3,tana+tanB=2,则cos acos B-
14.将标有1,2,3,4,5的五张数字牌摆放成一排，则前三张牌上的数字按顺序构成等差数
列的排法总数为
·(用数字回答)
数学试题第2页（共4页）(0,π),且 x ≠z , 则
由 △ABC 是 等 腰 三 角 形 且 AB 为 底 边 ，可 知
|ACI = |BCl ,
. 由(1)可知g(u)<0,即g(u)在 上单调(sin x -1) (6分 ) 递减，
设 ,则有 h(x )=
(13 分 )
h(x ) ,

对于任意M ,取
当 )时 0且 anx<1 , x> 当0o.故 n (x)<0,即 h(x)在 )上单酬建减。 1-cos u>0,故m(u)= k'(u)单调递增 ，k'(u)>
k , k u
同理可证A(x)在 ) (0) 0 ( )上单调递增， 7分 ' = 故 单调递增 ，故k(u)>k(0)( ) =0,
因 此
u +(cos u-1) , 综上，φ(u)的值域
所以 ,即函数图象关于直 由于 △ ABC 存 在 ，所 以必 有 由于
对称 ，综 上所 述 ，若 h(x )=h(x )且 φ(u)单调递减，且值域覆盖该范围，方程 p(u)=
x ≠x ,则 x 与 x 必 然关 对称. 内有 唯一解 u,则 S, 是 关于 t 的
因此 ，点 A,B关于定直线 对称. 9 分 函数 S(t). (1) 5( 分 )
, 再证明该 函数 S(t)单调递减( l )由 ( 1 )可知，可设点A 的横坐标 为 点 cosu)=u(1-cosu).令F(u)=u(1-cosu),则
B 的横坐标 ·其中 F'(a)=1-os u+as n u,其中 ·
此时 A,B 的纵坐标均为 cos u. |AB|=2u, 易知 F'(u)>0,即 F(u)单调递增.
点C 到 AB 的距 离 ，也 即 三 角形的高，为1- 则当 1增 大时 增大 增大.
cos u,则 由几何关系可得
由于 ,且 φ(u)是关于u 的单调递减
令 ,则 0<θ<90°, (11 分) 函数 ，所 以 t 增 大时 ，u 减小 .
先证明S, 是 关于 t 的 函数 ，设 又 S,=F(u)是关于 u 的单 调递增 函数 ，当 u 减
小时，S, 随之减小. 综 上，S, 是 关于 t 的单 调递
其 中 , 减函数. (17分 )
· 数 学答案 (第 5 页，共 5 页) ·
可得E的标准方程 (4分 ) (y+2√5) =54. (16分 )
2 1 证 ： (17明 分 )( ) ( ) 设 l x=my-4,M x ,y 此时 4+20≠54,故点 A不在该圆上.: ( j ),
N 19.证明：(1)由f(x)=sinx得f'(x)=cosx,即证(x ,y ),
xsin x+cos x>1.
联立 消 去 x 可得 (m - 1)y - 设g(a)=zxsin x+cas x-1,其中 ;
8my+12=0,m ≠1,A=64m -48(m -1)>0 , (1分)
故 (6分 ) g’(x)=xcos x.
时，g′(x)>0,故x斜率之 单调递增， (2分 )
又因为 g(0)=0,所以当 )时 ；g(x>
g(0)=0 , (3分)
即xsinx+cosx-1>0,从而xsinx+cos x>1.
即xf(x)+f'(z)>1成立. (4分 )
(2)( 1 )由点 C在曲线 y=sinx上 ，且纵坐标为
为定值. (10分 ) 1,结合 x∈(0,n)可知 (5分 )
( ll)设直线AB斜率为k,此时 设A(x ,sinz )且 B(x ,sinx ),其中x ,x ∈
(0,π),且 x ≠x ,
V5, 故 (11分 ) 由△ABC 是等腰三角形且 AB 为底边 ，可 知
|AC| =|BCI,
可得
(sin x -1) . (6 )
分
(12分 ) 设 ,则有 h(x )=
h(x ) ,

不妨设y >0,可得y =√5,yz=-3√5,
于是 当 时 且 sin x<1,cos z>
于是M (-3, )√5),N(-7,-3√5) , (13分 )
故设外接圆方程为(x-p) +(y-q) =r ,其中 0,故h( x)<0,即h(x)在 )上单调建减。
r>0 . 同理可证h(x)在 )上单调进增， (7分 )
显然有 分) 又 ,2
u +(cos u-1) ,
,即函数图象关于直
解得 ,故外接圆的标准方程为 x +
线 对称，综上所述，若 h(x )=h(x )且
· 数学评分细则 (第 2 页，共 3页) ·

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