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重难点09 等差等比数列与函数性质
内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难考向保分攻略 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：等比数列性质与函数性质的考查紧密围绕 “基础巩固、综合交汇、能力导向” 这三方面展开。从高考试卷分值来看，该部分内容单独考查或与其他知识结合考查时，占比约 6%-8%，题型覆盖选择题、填空题与解答题，且在解答题中常作为中档题出现，部分年份（如 2024 年新高考Ⅰ卷）还出现数列与函数结合的创新压轴题型。 从命题趋势看，呈现 “稳中有变” 的特点：“稳” 体现在等差、等比数列的基本性质（如通项公式、前 n 项和公式、等差 / 等比中项）、函数的单调性与最值等核心考点持续高频出现；“变” 体现在背景情境化、知识交汇深化，如在数列与函数、不等式、导数的结合更紧密），知识交汇处试题难度容易两极化 。 预测2026年：2026 年高考对 等差、等比数列与函数性质的考查将延续基础与能力题型为主，重点考查等差、等比数列的核心公式与性质，，同时在情境设计、跨模块融合、设问创新上呈现新特征。 对于数列的考察，还体现出 “中低档解答题” 升级为 “思维能力考查题”， 考查综合应用，考察数列与函数、不等式、导数等深度融合。。
考向01 等差数列性质1：判定等差
等差数列的判定与证明的方法. 1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． 2.判定方法 定义法：为同一常数 是等差数列 等差中项法：成立 是等差数列 通项公式法：为常数）对任意的正整数都成立 是等差数列 前n项和法：验证为常数）对任意的正整数都成立 是等差数列
1．（25-26高三全国专题练习）记为数列的前项积，若，则（ ）
A．是公差为负数的等差数列
B．是公差为正数的等差数列
C．是公差为负数的等差数列
D．是公差为正数的等差数列
2．（25-26高三上·江苏扬州·期末）在无穷正项等差数列中，记为数列的前项和，则“”是“数列是等差数列”的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（25-26高三上·四川成都·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，若都为偶函数，则（ ）
A．516 B．520 C．0 D．1
4．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数满足，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．的定义域为
C．若在上单调递增
D．若，则
考向02 等差数列性质2：等差中项应用
等差中项的概念 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．
5．（25-26高二上·甘肃·期末）已知圆的方程为，过点的条弦长组成一个等差数列，且过点的最短弦长和最长弦长分别为，则（ ）
A．5 B．6 C．9 D．
6．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）一个锐角三角形的三边长成等差数列，则该三角形的最小内角余弦值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·福建福州·期中）已知函数，若存在使得，，依次成等差数列，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·高三全国专题练习）已知，在这两个实数之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为
A． B． C． D．
考向03 等差数列性质3：双等差比值转换型
双等差比值型 若与为等差数列，且前项和分别为与，则.
9．（24-25高三上·安徽·月考）已知两个等差数列的前项和分别是，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24高二上·陕西榆林·月考）已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别为 与 , 且, 则（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24高二上·安徽蚌埠·月考）两个等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ）
A． B． C． D．
考向04 等差第19题题型
13．（25-26高三上·北京·月考）已知含有n个元素的正整数集（）具有性质P：对任意不大于（其中）的正整数k，存在数集A的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k．
(1)写出，的值；
(2)证明：“，，…，成等差数列”的充要条件是“”；
(3)若，求当n取最小值时的最大值．
14．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)若为等差数列，且，，求数列的通项公式；
(2)若对任意，都有．
①求证：是等差数列；
②设，，，求的公差的值．
考向05 等比数列性质1：等比判定
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示（显然）. 注意： （1）等比数列中不能有0项 （2）常数列都是等差数列,但却不一定是等比数列.如常数列是各项都为0的数列,它就不是等比数列;当常数列各项不为0时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论. 证明方法： (1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证＝q(q≠0的常数) 数列{an}是等比数列； (2)等比中项法：即证a＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*) 数列{an}是等比数列．
1．（25-26高二上·天津北辰·月考）若数列满足，则称数列为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
2．（24-25高二下·湖南·期中）已知各项均不为零的数列，其前项和为，且.下列结论中错误的是（ ）
A．
B．不存在实数，使为递减数列
C．存在实数，使得为等比数列
D．，使得当时，总有
3．（2024·云南昆明·模拟预测）作边长为6的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆，如此下去，则前n个内切圆的面积之和为（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二上·广东东莞·期末）在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得新数列按照同样的方法进行构造，可以不断形成新的数列．现对数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…依次构造，记第n（）次得到的数列的所有项之和为，则（ ）
A．1095 B．3282 C．6294 D．9843
考向06 等比数列性质2：等比中项应用
如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项,此时,.
5．（24-25高二上·天津南开·期末）已知数列满足，是，的等比中项，则数列的通项公式 .
6．（2025高三全国专题练习）在中，，角与角的平分线长分别为，，若，的等比中项是，则 .
7．（2020·四川遂宁·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且是4和的等比中项，数列，其前n项的和为，则 ， .
8．（23-24高三全国专题练习）一个正实数，它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列，则这个正实数是
考向07 等比数列性质3：等差等比“纠缠”型
等差等比“纠缠数列”：等差数列某些项成等比，或者等比数列某些项成等差。 1.一般情况下，等差中“纠缠等比”，设等差首项和公差列方程。 2.一般情况下，等比中“纠缠等比”，设等比首项和公比列方程。
9．（23-24高三全国专题练习）已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足，，成等比数列，，数列满足，前项和为，则 .
10．（22-23高三下·上海·月考）已知等差数列共有项，各项与公差均不为零，若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数列组成的集合为 .
11．（22-23高二下·江苏扬州·开学考试）已知等差数列中，，公差，其前四项中去掉某一项后(按原来的顺序)恰好是等比数列的前三项，则 ；若对任意的正整数n，恒成立，则实数λ的取值范围为 ．
单调递增 极大值 单调递减
12．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知成公比为2的等比数列，且．若成等比数列，则所有满足条件的的和为 ．
考向08 等比第19题题型
13．（广东省清远市2025-2026学年高二第一学期普通高中学科监测数学试题）已知数列为无穷整数数列，若满足：对于任意的，，都存在，使得，其中，，，，则称数列是“因分数列”.
(1)若数列的前项和为，且，.
（i）求数列的通项公式；
（ii）证明：数列是“因分数列”；
(2)已知数列是各项均为正整数的无穷等比数列，且数列是“因分数列”，若，，三个数中恰有两个出现在数列中，求满足题意的的公比.
14．（2026·广东·模拟预测）若数列满足，则称数列为下凸数列
(1)证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；
(2)设，其中为公比不相等的正项等比数列，求证：是下凸数列且不是等比数列；
(3)已知为正项下凸数列前项和，，证明：．
考向09 前n项和性质1：an与sn的转化
an与sn：求通项公式 （1）已知等比数列的首项为,公比为,则数列的通项公式为. （2）第项与第项的关系为,变形得. （3）由可知,当且时,等比数列的第项是指数函数
1．（23-24高三全国专题练习）已知递增数列的前项和满足，，设，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．2023 B．2024 C．4045 D．8089
2．（2021·云南昆明·三模）已知数列的前n项和为，，，则（ ）
A．414 B．406 C．403 D．393
3．（23-24高三全国专题练习）若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高三全国专题练习）各项均为正数的等差数列中，前项和为，当时，有，则
A． B． C． D．
考向10 前n项和性质2：等差奇偶和性质
设数列是等差数列，且公差为， 若项数为偶数，设共有项，则①； ② ； 若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②.
5．（23-24高三全国专题练习）等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则 ．
6．（25-26高二上·全国·单元测试）已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为 ．
7．（2024高二上·全国·专题练习）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ．
8．（11-12高一下·浙江宁波·期中）一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差d为 .
考向11 前n项和性质3：等比奇偶和性质
等比数列奇偶和型 （1）若等比数列的项数为 则 （2）若等比数列的项数为。 则
9．（2024高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 .
10．（23-24高三上·四川成都·期中）数列满足：，数列的前项和记为，则 ．
11．（2020高三·全国·专题练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为
12．（23-24高三全国专题练习）已知数列中，，，则的前200项和 .
【点睛】本题考查数列求和，考查等比数列前项和公式的应用，注意分奇偶项进行讨论，属于中档题.
考向12 函数型性质1：等差sn二次函数
在处理等差数列的前项和的最值时，往往转化为判定的符号变化： ①若，当时，则当且仅当最大； ②若，当时，则当且仅当最小； ③若最大，则.
1．（24-25高三全国专题练习）已知等差数列的前项和为且，则使的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
2．（24-25高二下·河南驻马店·月考）已知等差数列的前项和为，若，，则使的最小的的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·山东烟台·月考）已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时，（ ）．
A．9 B．10 C．9或10 D．10或11
4．（23-24高二上·福建宁德·期末）已知等差数列的前项和为．若，，则当取最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
考向13 函数型性质2：单调性与最值
等比数列与函数的关系 (1) 数列{an}是等比数列，an＝a1qn-1， 通项an为指数函数：即an＝a1qx-1； (2)数列{an}是等比数列，Sn＝，Sn为型线性指数函数。 （3）借助函数性质（或者不等式均值等性质）求等比数列最值时，要注意自变量n是离散型
5．（湖北省武汉市六所重点中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题）已知数列是各项均为正数的无穷等比数列，其中，记，求当取到最大值时，的值为（ ）
A．4 B．4或5 C．5 D．5或6
6．（25-26高三上·贵州·月考）已知公比不为1的等比数列的前项和为，为的前项积，若数列是首项为2的等差数列，则的最大值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
7．（24-25高二下·安徽·月考）已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯·月考）已知，，成等比数列，且，，等差数列满足，，则当数列的前项和取最小值时，的值为（ ）
A．5 B．7 C．6或7 D．5或7
考向14 函数型性质3：等差正负不等式
在等差数列中 （1）若，则满足的项数使得取得最大值； （2）若，则满足的项数使得取得最小值． 即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．
9．（24-25高三全国专题练习）设等差数列的前n项和为，且（），若，则（ ）
A．的最大项是 B．的最小项是
C．的最大项是 D．的最小项是
10．（24-25高二上·浙江绍兴·月考）在等差数列中，为其前项和.若，，则下列判断错误的是（ ）
A．数列为递增数列 B．
C．数列的前项和最小 D．
11．（23-24高三上·湖南邵阳·月考）已知等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．
C．当取得最大值时， D．
12．（2023·吉林白山·模拟预测）若等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
考向15 函数型性质4：等比“平衡点”不等式
等比数列“平衡点”型不等式 等比数列“平衡点”型不等式，主要从以下几个性质思考： 1.若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2 2.如果等比数列是正项递增数列，则若p＋q>m＋n，则ap·aq>am·an.
13．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知等比数列的前项积为，公比，且，则（ ）
A．
B．
C．存在，使得
D．当时，最小
14．（25-26高三上·河南郑州·期中）已知等比数列的前项积为，若，若使成立的最大自然数为，则（ ）
A．2025 B．2026 C．4050 D．4051
15．（24-25高二下·吉林松原·期中）设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．数列无最大值
C．是数列中的最大值 D．
16．（24-25高三全国专题练习）设数列是公比为q的等比数列，其前n项的积为，并且满足条件，，，下列结论中：①②③④使得成立的最小自然数n等于4018，其中正确结论序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①③④
考向16 函数型性质5：恒成立求参型
数列恒成立求参： 数列恒成立题型，第一思维是“参变分离”，分离参数，转化为求最值。 研究数列型母函数单调性，借助函数单调性来求最大值最小值求参。 特别注意点： 数列是“离散型”函数，所以最值点，要比较确认对应的正整数值。如果牵扯到奇偶“正负”变号型数列，要注意，奇数，对应n=1,3,5,6.。。，偶数时，对应n=2,4,6,。。。，
17．（2024·浙江绍兴·三模）设，已知，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
18．（23-24高三上·四川·月考）已知数列满足，且，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
19．（20-21高三上·河南南阳·月考）已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则整数的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
20．（24-25高三全国专题练习）已知数列满足，，，（）．对于任意的正整数，不等式恒成立，则正整数的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
冲刺练
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（25-26高三上·内蒙古锡林郭勒·期末）记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·湖北·模拟预测）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高二上·河北邯郸·月考）记数列的前项和满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．（河北雄安新区2025-2026学年第一学期高二期末考试数学试题）已知等差数列的前项和为，若，，，则使成立的最小的的值是（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
5．（25-26高二上·北京·期末）已知数列各项均为正整数，对任意的，和中有且仅有一个成立，且，.记.下列四个结论正确的是（ ）
A．可能为等差数列 B．中最大的项为
C．存在最大值 D．的最小值为36
6．（25-26高三上·北京东城·月考）设数列的各项均为非零的整数，其前n项和为．若为正偶数，均有，且，则的最小值为（ ）
A．32 B．26 C．24 D．22
7．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，，则下列选项正确的（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26高二上·浙江宁波·期中）若无穷数列满足：，当时，，则称是“数列”．则下列正确的是（ ）
A．若是“数列”，则
B．若是“数列”且是等差数列，则单调递增
C．若是“数列”且单调递减，则是等比数列
D．若是“数列”且是周期数列，则集合的元素个数最多是
二、多选题
9．（江苏扬州市2025-2026学年度第一学期高二期末调研数学试题）已知数列的前项和为，则下列命题中正确的是（ ）．
A．若，则是等差数列
B．若，则是等比数列
C．若是等差数列，则
D．若是等比数列，且，则
10．（湖南沅澧共同体2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B．
C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为14
11．（江苏省徐州市2025-2026学年高二第一学期期末抽测数学试题）在各项均为正数的等比数列中，为前项积，若，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．（2026·河北邯郸·模拟预测）数列的前项和为，数列满足，若，则数列的最小项为 ．
13．（24-25高三全国专题练习）已知函数，且，则实数的值为 ；若，且，则的取值范围为
结束
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)重难点09 等差等比数列与函数性质
内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难考向保分攻略 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：等比数列性质与函数性质的考查紧密围绕 “基础巩固、综合交汇、能力导向” 这三方面展开。从高考试卷分值来看，该部分内容单独考查或与其他知识结合考查时，占比约 6%-8%，题型覆盖选择题、填空题与解答题，且在解答题中常作为中档题出现，部分年份（如 2024 年新高考Ⅰ卷）还出现数列与函数结合的创新压轴题型。 从命题趋势看，呈现 “稳中有变” 的特点：“稳” 体现在等差、等比数列的基本性质（如通项公式、前 n 项和公式、等差 / 等比中项）、函数的单调性与最值等核心考点持续高频出现；“变” 体现在背景情境化、知识交汇深化，如在数列与函数、不等式、导数的结合更紧密），知识交汇处试题难度容易两极化 。 预测2026年：2026 年高考对 等差、等比数列与函数性质的考查将延续基础与能力题型为主，重点考查等差、等比数列的核心公式与性质，，同时在情境设计、跨模块融合、设问创新上呈现新特征。 对于数列的考察，还体现出 “中低档解答题” 升级为 “思维能力考查题”， 考查综合应用，考察数列与函数、不等式、导数等深度融合。。
考向01 等差数列性质1：判定等差
等差数列的判定与证明的方法. 1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． 2.判定方法 定义法：为同一常数 是等差数列 等差中项法：成立 是等差数列 通项公式法：为常数）对任意的正整数都成立 是等差数列 前n项和法：验证为常数）对任意的正整数都成立 是等差数列
1．（25-26高三全国专题练习）记为数列的前项积，若，则（ ）
A．是公差为负数的等差数列
B．是公差为正数的等差数列
C．是公差为负数的等差数列
D．是公差为正数的等差数列
【答案】C
【分析】本题可先根据已知条件得出与的关系，再通过变形得到与的关系，最后根据等差数列的定义判断数列的类型.
【详解】由题意，，当时，，
代入可得：，即，则，
当时，，又，所以，
将代入可得，等式两边同时除以，
（若，代入得，又不成立，所以），
得，移项可得，且，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，公差为负数.
故选：C
2．（25-26高三上·江苏扬州·期末）在无穷正项等差数列中，记为数列的前项和，则“”是“数列是等差数列”的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据等差数列的定义和前项和公式，结合充分性、必要性的定义判断即可.
【详解】设正项等差数列的公差为，若，则，解得，
所以，所以，
所以数列是公差为的等差数列，故“”是“数列是等差数列”的充分条件；
若数列是等差数列，设，（为常数），
则，又因为等差数列中，所以，解得，所以，“”是“数列是等差数列”的必要条件；综上“”是“数列是等差数列”的充要条件，故选：C
3．（25-26高三上·四川成都·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，若都为偶函数，则（ ）
A．516 B．520 C．0 D．1
【答案】B
【分析】利用复合函数的导数，结合偶函数性质得导函数关于点，对称，且，，再根据点的对称性得，最后根据等差数列的性质求解即可.
【详解】因为都为偶函数，
所以，，
对上述等式两边求导得：，，
即，，
所以导函数关于点，对称，且，，
所以，即，
将代入得：
，即，
所以的奇数项构成以为首项，为公差的等差数列，
偶数项构成以为首项，为公差的等差数列；
所以，
故选：B
4．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数满足，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．的定义域为
C．若在上单调递增
D．若，则
【答案】B
【分析】应用赋值法计算求解得出判断A，B，应用已知关系式得出函数再结合导函数得出单调性判断C，应用赋值法结合等差数列通项公式计算判断D.
【详解】令，可得，所以，A选项正确；
令，可得，所以不成立，所以的定义域不是，B选项不正确；
因为，所以，，
因为，所以，，，
当时，，在上单调递增，C选项正确；
若，令，可得，
所以，所以为等差数列，所以，则，D选项正确；故选：B.
考向02 等差数列性质2：等差中项应用
等差中项的概念 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．
5．（25-26高二上·甘肃·期末）已知圆的方程为，过点的条弦长组成一个等差数列，且过点的最短弦长和最长弦长分别为，则（ ）
A．5 B．6 C．9 D．
【答案】C
【分析】先根据圆心到点的距离与圆半径的关系确定点与圆的位置关系，再分别确定过点的最短弦长和最长弦长，最后由等差中项的性质计算即可．
【详解】
的标准方程为，圆心为，半径，
又点到圆心的距离，点在圆内，
过点的最短弦长是与过点的直径垂直的弦长，则，
过点的最长弦长为直径，， 又过点的条弦长组成一个等差数列，，解得，故C正确．故选：C．
6．（25-26高三上·湖北荆州·开学考试）一个锐角三角形的三边长成等差数列，则该三角形的最小内角余弦值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】可设三角形的三边长为，不妨设，由此结合三角形为锐角三角形可求出之间的关系，即可得，结合换元法求解，即可求得答案.
【详解】由题意可设三角形的三边长为，不妨设，由于三边长成等差数列，故，
由于三角形中，需满足，（恒成立），结合，则，得；又三角形为锐角三角形，需满足，即，即，即，结合，可得；又
令，则，故，
由于在时单调递增，故在上单调递增，
故当时，取最小值，当时，，
故该三角形的最小内角余弦值的取值范围是.故选：D
7．（24-25高三上·福建福州·期中）已知函数，若存在使得，，依次成等差数列，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等差中项公式，结合对数函数的性质得到在定义域内有解，
再利用参变分离，结合换元法与二次函数的性质即可得解.
【详解】因为存在使得，，依次成等差数列，
所以在定义域内有解，
又，所以，
即，则在定义域内有解，
由对数函数的定义域可知，，又，所以，所以，
令，则，因为的图象开口向上，对称轴为，
所以在上单调递增，所以，
所以，又，所以.故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，将问题转化为在定义域内有解，从而得解.
8．（2025·高三全国专题练习）已知，在这两个实数之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，用表示这个等差数列后三项和为，进而设，利用三角函数的性质能求最大值．
【详解】设中间三项为，则，所以， ，
所以后三项的和为，又因为，所以可令，
所以故选
【点睛】本题主要考查等差数列的性质和三角函数的性质．
考向03 等差数列性质3：双等差比值转换型
双等差比值型 若与为等差数列，且前项和分别为与，则.
9．（24-25高三上·安徽·月考）已知两个等差数列的前项和分别是，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出两个等差数列的前项和公式，利用等差数列的性质即可得出结论.
【详解】由题意，
在两个等差数列中，前项和分别是，，
对于一般等差数列前项和为二次型函数：（为常数），
∴设，，为常数
∴，故选：B.
10．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等差数列前项和的性质及和与项的关系即可求解.
【详解】由，可得，因为数列，都是等差数列，
所以不妨令，所以，
，所以.故选：C
11．（23-24高二上·陕西榆林·月考）已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别为 与 , 且, 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由等差数列性质可得，由等差数列前项和公式可得、，即可令，代入计算即可得.
【详解】因为数列、都是等差数列, 所以,
又，，故，，即有,
在中，令，得，故.故选：D.
12．（23-24高二上·安徽蚌埠·月考）两个等差数列，的前项和分别为，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合等差中项公式和等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】由两个等差数列，的前项和分别为，且，
根据等差数列的求和公式，可得.故选：C.
考向04 等差第19题题型
13．（25-26高三上·北京·月考）已知含有n个元素的正整数集（）具有性质P：对任意不大于（其中）的正整数k，存在数集A的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k．
(1)写出，的值；
(2)证明：“，，…，成等差数列”的充要条件是“”；
(3)若，求当n取最小值时的最大值．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由性质，根据与时分析即可；
（2）先证必要性：由，，…，成等差数列，故，由等差数列的求和公式得:；再证充分性：由，故（），故，，…，为等差数列；
（3）先证明（）,因此，即，所以，由集合的性质，分类，即可求得当取最小值11时，的最大值为．
【详解】（1）由，且均为正整数，故，故，
故当不大于的正整数时，由题意必有，当时，可得；
（2）先证必要性：因为，，，，…，成等差数列，
故其首项为，公差为，可得；
再证充分性：因为，，，…，为正整数数列，
故有，，，，…，，
所以，等号成立时，
又，故，故，，…，为等差数列．
综上可知，“，，…，成等差数列”的充要条件是“”；
（3）先证明（），
假设存在，且为最小的正整数，
依题意，则 ，
又因为，
故当时，不能等于集合的任何一个子集所有元素的和．
故假设不成立，即（）成立；
因此，
即，所以；
因为，则，
若，即时，
则当时，集合中不可能存在若干不同元素的和为，
故，即时，
此时可构造集合，
因为当时，可以等于集合中若干个元素的和；
故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；
……
故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；
故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；
故当时，可以等于集合中若干不同元素的和，
所以集合满足题设，
所以当取最小值11时，的最大值为．
14．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)若为等差数列，且，，求数列的通项公式；
(2)若对任意，都有．
①求证：是等差数列；
②设，，，求的公差的值．
【答案】(1)或
(2)① 证明见解析；②
【分析】（1）设等差数列公差为，取特殊值，建立方程，即可求得数列通项公式.
（2）①令，由整理得到，用替换后作差得，同理再用替换后作差，整理得到，再验证，即可得证为等差数列．
②由得的值.由可知，然后化简，由题意得到的值，即可求出的公差的值．
【详解】（1）因为是等差数列，设公差为，因为，
则令得，即，因为，所以．令得，则，即，化简得，则或0．当时，满足；
当时，．所以，或．
（2）①令时，，即，
∴，．化简得：，
即，∴．
化简得：，即．
又，∴.∴为等差数列．②因为，所以．
，所以．，
．
因为，所以，又，所以．
考向05 等比数列性质1：等比判定
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示（显然）. 注意： （1）等比数列中不能有0项 （2）常数列都是等差数列,但却不一定是等比数列.如常数列是各项都为0的数列,它就不是等比数列;当常数列各项不为0时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论. 证明方法： (1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证＝q(q≠0的常数) 数列{an}是等比数列； (2)等比中项法：即证a＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*) 数列{an}是等比数列．
1．（25-26高二上·天津北辰·月考）若数列满足，则称数列为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【分析】由题知，则称数列为“梦想数列”，根据“梦想数列”的定义可得数列为公比为2的等比数列，再利用等比数列的性质求解即可.
【详解】，可得，因为正项数列为“梦想数列”，
所以，即，则数列是以2为公比的等比数列，
因为，所以.故选：C.
2．（24-25高二下·湖南·期中）已知各项均不为零的数列，其前项和为，且.下列结论中错误的是（ ）
A．
B．不存在实数，使为递减数列
C．存在实数，使得为等比数列
D．，使得当时，总有
【答案】C
【分析】赋值法计算判断A，先应用计算化简得出数列分奇偶得出等差数列，再分类求出通项即可判断B，C，再结合指数运算判断D.
【详解】由得，
相减可得，，
由于各项均不为零，所以，所以的奇数项和偶数项分别为公差为的等差数列，
对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，由于的奇数项和偶数项分别为公差为的等差数列，且，，
所以，，所以，所以不可能为递减数列，即不存在实数，使为递减数列，故B正确；
对于C，因为，，若为等比数列，则为常数，则，
此时，故，，进而可得数列的项为显然这不是等比数列，故C错误，
对于D，若，只要足够大，一定会有，
则，只要足够的大，趋近于0，
而，显然能满足，故，当时，总有，故D正确，
故选：C.
3．（2024·云南昆明·模拟预测）作边长为6的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆，如此下去，则前n个内切圆的面积之和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先设第个正三角形的内切圆半径为和第个正三角形的边长为，结合正三角形边长与其内切圆半径的关系，以及圆半径与其内切正三角形的边长关系即可研究求解出，进而利用等比数列前n项和公式即可求解.
【详解】设第个正三角形的内切圆半径为，第个正三角形的边长为，
可知（正三角形内切圆半径是正三角形边长的），
又半径为的圆内接三角形的边长满足，即，
所以，，
即从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个的，
每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，设前个内切圆的面积和为，
则，
故选：C.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用好正三角形边长与其内切圆半径的关系，以及圆半径与其内切正三角形的边长关系.
4．（23-24高二上·广东东莞·期末）在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得新数列按照同样的方法进行构造，可以不断形成新的数列．现对数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…依次构造，记第n（）次得到的数列的所有项之和为，则（ ）
A．1095 B．3282 C．6294 D．9843
【答案】B
【分析】根据给定条件，得到第次构造后数列的和与第次构造后数列的和的关系，再求出数列的通项即可.
【详解】设第次构造后得的数列为，则，
则第次构造后得到的数列为，
于是，，
显然，而，
因此数列是以为首项，3为公比的等比数列，则，即,
所以.故选：B
【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
考向06 等比数列性质2：等比中项应用
如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项,此时,.
5．（24-25高二上·天津南开·期末）已知数列满足，是，的等比中项，则数列的通项公式 .
【答案】
【分析】由已知求得，然后由等比中项定义求出，再分为奇函数，偶数分别求出通项公式.
【详解】因为，所以，，
又是的比例中项，所以，即，显然且，故解得；
当是奇数时，，，所以，而，
所以数列是等比数列，则，即；
当是偶数时，则；综上可得.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键是首先推导出的值，另外就是当是奇数时求出通项公式.
6．（2025高三全国专题练习）在中，，角与角的平分线长分别为，，若，的等比中项是，则 .
【答案】
【分析】依题意可得，，再根据正弦定理可得，利用二倍角公式及等比中项的性质可得，最后利用两角和差的余弦公式计算可得；
【详解】解：依题意可得，，得，
所以所以又因为，所以
所以
故答案为：
【点睛】本题考查正弦定理、两角和差的余弦公式及二倍角公式的应用，综合性强，属于中档题.
7．（2020·四川遂宁·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且是4和的等比中项，数列，其前n项的和为，则 ， .
【答案】 5
【分析】根据已知条件，利用一般数列的和与项的关系可以得到数列是首项为1，公差为2的等差数列，进而得到，将数列的相邻的奇偶项结合，可得，然后裂项相消求和即的.
【详解】,取n=1得，当n≥2时，,
化简得：，∵数列各项都是正数，
∴，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，
∴，∴；，，
∴.故答案为：5；.
【点睛】本题考查求递推数列的通项公式，涉及等比数列的性质，数列的递推关系，数列的和与项的关系，等差数列的判断和通项公式，裂项相消求和法，关键难点在于裂项求和，属较难试题.
8．（23-24高三全国专题练习）一个正实数，它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列，则这个正实数是
【答案】
【分析】这个正实数不能为整数，否则小数部分为零，不能构成满足题意的等比数列，
这个正实数大于1，否则整数部分为零，不能构成满足题意的等比数列，
设这个正实数为，首先通过反证法证明整数部分只能为1，再根据等比数列关系求出小数部分即可.
【详解】这个正实数不能为整数，否则小数部分为零，不能构成满足题意的等比数列，
这个正实数大于1，否则整数部分为零，不能构成满足题意的等比数列，
设这个正实数为，即整数部分小数部分，
由题：小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列，
即：下面证明，假设，则，必有，
由，，与题矛盾，所以假设不成立，
即整数部分只能即，解得：
所以这个正实数为.故答案为：
【点睛】此题考查等比数列等比中项的应用，和对实数的理解辨析，利用反证法证明整数部分只能为1，再利用题目所给等比数列的关系进行求值.
考向07 等比数列性质3：等差等比“纠缠”型
等差等比“纠缠数列”：等差数列某些项成等比，或者等比数列某些项成等差。 1.一般情况下，等差中“纠缠等比”，设等差首项和公差列方程。 2.一般情况下，等比中“纠缠等比”，设等比首项和公比列方程。
9．（23-24高三全国专题练习）已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足，，成等比数列，，数列满足，前项和为，则 .
【答案】
【分析】先根据条件求解出的通项公式，然后采用裂项相消的方法分奇偶进行求和，由此可求解出，则可求.
【详解】设的公差为（）.由题意，，即，
又，即，
联立解得，，所以.
所以
当为奇数时，，
当为偶数时，.
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解答本题中求和问题的关键在于裂项相消方法的使用，一般情况下裂项都是写成相减的形式，本例中因为有可以进行自主变号，所以写成加法形式才可以进行相消；对于涉及的数列求和，一定要注意分奇偶项去分析，因为会影响项的正负号.
10．（22-23高三下·上海·月考）已知等差数列共有项，各项与公差均不为零，若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数列组成的集合为 .
【答案】
【分析】
利用等差数列通项公式，结合已知条件，讨论依次去掉第一、二、三、四及的项，判断、余下项为等比数列是否成立，即可得结果.
【详解】令等差数列通项为，且，
若去掉第一项，则，可得，不合题设；
若去掉第二项，则，可得，即，
又，故，故数对为；
若去掉第三项，则，可得，又，则，
此时，等差数列为，显然，
否则去掉第三项后数列不成等比数列，故数对为；
若去掉第四项，则，可得，不合题设；
若去掉的项，根据上述分析必会出现情况，不合题设；
综上，所有数列组成的集合为.故答案为：
【点睛】关键点睛：应用等差数列通项及已知条件，分类讨论所去掉的项判断是否满足且余项成等比数列.
11．（22-23高二下·江苏扬州·开学考试）已知等差数列中，，公差，其前四项中去掉某一项后(按原来的顺序)恰好是等比数列的前三项，则 ；若对任意的正整数n，恒成立，则实数λ的取值范围为 ．
【答案】 3
【分析】空①：根据分类讨论思想，利用等差数列的定义以及等比数列等比中项的性质，建立方程，可得答案；
空②：写出等差数列以及等比数列的通项公式，利用分离参数的方法，整理不等式，构造函数，利用导数求其单调区间，求得最值，可得答案.
【详解】由题意，可知，，，，
①当去掉的是，则，，，由数列是等比数列，
则，即，化简可得，解得，不符合题意；
②当去掉的是，则，，，由数列是等比数列，
则，即，化简可得，解得或，不符合题意；
③当去掉的是，则，，，由数列是等比数列，
则，即，化简可得，解得或，则符合题意；
④当去掉的是，则，，，由数列是等比数列，
则，即，化简可得，解得，不符合题意.
故等差数列中首项，公差，则；
故等比数列中，，，公比，则.
由，则，即，令
令，，
令，则，由，则，
单调递增 极大值 单调递减
当时，；当时，.
的最大值为，则，即.故答案为：；.
【点睛】关键点睛：本题在解决数列不等式时需用构造函数的方法，明确函数单调区间后，注意的取值为正整数.
12．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知成公比为2的等比数列，且．若成等比数列，则所有满足条件的的和为 ．
【答案】
【分析】由题意首先得，利用二倍角公式将方程转换为，进一步通过换元法以及三角函数的对称性即可求解.
【详解】由已知得，
由成等比数列，且成公比为2的等比数列，
得，所以，
所以，
令，得到，恰好有两个根，
而满足的的值有，满足的的值之和为，
故所有满足条件的的和为.故答案为：.
【点睛】关键点睛：关键是首先得到，进一步通过换元即可顺利得解.
考向08 等比第19题题型
13．（广东省清远市2025-2026学年高二第一学期普通高中学科监测数学试题）已知数列为无穷整数数列，若满足：对于任意的，，都存在，使得，其中，，，，则称数列是“因分数列”.
(1)若数列的前项和为，且，.
（i）求数列的通项公式；
（ii）证明：数列是“因分数列”；
(2)已知数列是各项均为正整数的无穷等比数列，且数列是“因分数列”，若，，三个数中恰有两个出现在数列中，求满足题意的的公比.
【答案】(1)（i）；（ii）证明见解析；
(2)2.
【分析】（1）（i）由的关系及等差数列的定义求数列的通项公式；（ii）根据新定义，取，再判断是否成立，即可证；
（2）由题意对任意且，存在，使得，设的公比为且，，结合，，三个数中恰有两个出现在数列中求出对应公比.
【详解】（1）（i）当，则且，故，可得，
当，联立，可得，
所以，可得，所以，
综上，是首项为3，公差为1的等差数列，则；
（ii）对于任意且，取，所以，且，
所以数列是“因分数列”；
（2）由数列是各项均为正整数的无穷等比数列，且数列是“因分数列”，
等价于对任意且，存在，使得，即，
设的公比为且，，
若，则为常数列，仅当常数为1时满足条件，此时，，不在该数列中，不符合；
若，则的通项公式形式必为，此时数列中的数为的幂，
由，，中，仅当是的幂时，可同时出现在数列中，但不可能出现，
设且，则，由，出现在数列中，存在正整数，使，
所以是的公因数，而互质，则，故公比为，
此时，取，则，显然，出现在数列内，满足，所以的公比.
14．（2026·广东·模拟预测）若数列满足，则称数列为下凸数列
(1)证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；
(2)设，其中为公比不相等的正项等比数列，求证：是下凸数列且不是等比数列；
(3)已知为正项下凸数列前项和，，证明：．
【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解(3)证明见详解
【分析】（1）根据下凸数列的定义直接作差证明即可；
（2）通过下凸数列的定义直接证明为下凸数列，通过反证法，结合等比中项公式证明公比相等，与假设矛盾从而证明不是等比数列；
（3）题干等价于证明，令，首先假设先单调递减，再从某项单调递增，结合下凸数列的性质，证明此时必先单调递减后一直单调递增，而这与矛盾，故一定恒单调递减，再依据和迭代法，证明，最后据此结合裂项相消法证明即可．
【详解】（1）设正项等比数列的公比为q，则，
即，所以任意一个正项等比数列为下凸数列．
（2）设的公比分别为，则，
显然，
，所以正项数列为下凸数列，
下面证明：正项数列不是等比数列，若是等比数列，则有，
所以，因为分别为两个正项等比数列，所以，所以，所以，
因为，所以，也即，所以，与矛盾，所以不是等比数列．
（3）假设存在一个常数，使得，但，因为，所以，
将中的换成，得，
进一步得，又，由不等式的可加性，得，
同理得，所以，
所以数列从到单调递减，从开始单调递增，
所以，因为该规律是固定的，且，
所以当足够大时，必有，
与题设矛盾，所以不可能从某一项开始单调递增，所以，
令，由，得，
所以
，
所以，即，进一步得，
所以，，
累加得，所以．
考向09 前n项和性质1：an与sn的转化
an与sn：求通项公式 （1）已知等比数列的首项为,公比为,则数列的通项公式为. （2）第项与第项的关系为,变形得. （3）由可知,当且时,等比数列的第项是指数函数
1．（23-24高三全国专题练习）已知递增数列的前项和满足，，设，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．2023 B．2024 C．4045 D．8089
【答案】C
【分析】根据得到，故是等差数列，，利用裂项相消法得到，解得，代入计算得到答案.
【详解】，当时，，；当时，，，
相减得，又，相减得，故是等差数列，，，，
，，
.故选：C
【点睛】关键点睛：本题参考了等差数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用两次相减的思想得到确定等差数列是解题的关键.
2．（2021·云南昆明·三模）已知数列的前n项和为，，，则（ ）
A．414 B．406 C．403 D．393
【答案】B
【分析】利用两式相减得，再利用两式相减可得，由此可得，进一步可得答案.
【详解】由，两式相减得，即.
再由，两式相减得，由，得，
故为以14为首项，8为公差的等差数列，故，
故.故选：B
【点睛】关键点点睛：根据递推关系求出数列的偶数项构成以14为首项，8为公差的等差数列，是解题的关键，属于较难题目.
3．（23-24高三全国专题练习）若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，求得，进而求得数列的通项公式为，结合裂项法求得数列的前和，得出不等式，即可求得实数的取值范围.
【详解】由题意，数列的前项和为，由“均值数列”的定义可得，所以，
当时，；当时，，
也满足，所以，所以，
所以，又对一切恒成立，
所以，整理得，解得或.
即实数的取值范围为.故选：D.
【点睛】数列与函数、不等式综合问题的求解策略：
1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；
2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
4．（23-24高三全国专题练习）各项均为正数的等差数列中，前项和为，当时，有，则
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 设等差数列的公差为，
则当时，，
当时，，
联立方程组得，可得，所以，
故选A.
考向10 前n项和性质2：等差奇偶和性质
设数列是等差数列，且公差为， 若项数为偶数，设共有项，则①； ② ； 若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②.
5．（23-24高三全国专题练习）等差数列共项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则 ．
【答案】10
【分析】结合等差数列前项和公式，利用奇数项和偶数项的和列式求解即可.
【详解】等差数列 共项，其中奇数项有个，偶数项有个，
设等差数列的公差为，
奇数项和①，
偶数项和②，
由①②，得，代入②式，可得，解得.
故答案为：10
6．（25-26高二上·全国·单元测试）已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为 ．
【答案】56
【分析】只需根据等差数列前项和性质求得的值，再结合等差数列性质即可求解.
【详解】当为偶数时，由题意可知，
所以，所以，此时，解得，
，解得，则．故答案为：56.
7．（2024高二上·全国·专题练习）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ．
【答案】
【分析】根据奇数项的和与偶数项的和，可作比得到，由此可得项数和中间项.
【详解】设等差数列的项数为，
则，
，
，解得：，即等差数列的项数为；
项的数列的中间项为第项，即，
由得：，解得：，即中间项为.故答案为：；.
8．（11-12高一下·浙江宁波·期中）一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差d为 .
【答案】5
【分析】设偶数项和为，则奇数项和为，由 可得 的值，根据 公差 求得结果．
【详解】设偶数项和为，则奇数项和为，由 可得，
故公差，故答案为：5．
【点睛】本题考查等差数列的定义和性质，得到，公差，是解题的关键．
考向11 前n项和性质3：等比奇偶和性质
等比数列奇偶和型 （1）若等比数列的项数为 则 （2）若等比数列的项数为。 则
9．（2024高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 .
【答案】/
【分析】结合题意列方程组分别求出，，再由等比数列的性质求出结果即可.
【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，.
由题意可得解得所以．故答案为：.
10．（23-24高三上·四川成都·期中）数列满足：，数列的前项和记为，则 ．
【答案】2191
【分析】，对分类讨论，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出.
【详解】数列是以公差的等差数列;
.,数列是以公比的等比数列;.
.
故答案为：2191.
11．（2020高三·全国·专题练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为
【答案】10
【解析】设等比数列项数为项，公比为，由题意可求出，结合等比数列的性质和前项和公式可知，进而可求出项数.
【详解】设等比数列项数为项，公比为，则，，
由，
解得，因为是公比为的等比数列，则 ，
即，解得，故答案为:10.
【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
12．（23-24高三全国专题练习）已知数列中，，，则的前200项和 .
【答案】
【解析】当时，可知，进而可知，即，从而可知的奇数项和偶数项都是等比数列，进而分奇偶两部分，可求出.
【详解】由，，得.
当时，，所以，即，
所以的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列.
则.
故答案为：.
【点睛】本题考查数列求和，考查等比数列前项和公式的应用，注意分奇偶项进行讨论，属于中档题.
考向12 函数型性质1：等差sn二次函数
在处理等差数列的前项和的最值时，往往转化为判定的符号变化： ①若，当时，则当且仅当最大； ②若，当时，则当且仅当最小； ③若最大，则.
1．（24-25高三全国专题练习）已知等差数列的前项和为且，则使的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】根据已知可得为递减数列，且有，有，，即可得.
【详解】由，则，可得，即，
所以，又，即为递减数列，
当，，当，，又，
所以使的最大值为10.
故选：B.
2．（24-25高二下·河南驻马店·月考）已知等差数列的前项和为，若，，则使的最小的的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件可得数列为递减数列，且，，，根据等差数列前项和公式结合等差数列的性质可得结果.
【详解】设等差数列的公差为，∵，，∴数列为递减数列，
∴，，，由得，即，
∴，
∴使的最小的的值为.故选：D．
3．（23-24高二上·山东烟台·月考）已知等差数列的前项和为，，且，则取最大值时，（ ）．
A．9 B．10 C．9或10 D．10或11
【答案】C
【分析】先根据利用等差数列前项和公式，得出和的关系，判断出数列是单调递减数列，再利用抛物线的性质即可求得.
【详解】设等差数列的公差为，
由等差数列前项和公式，
得：，，又，
，即，又，，
由此可知，数列是单调递减数列，点在开口向下的抛物线上，又，
点与点关于直线对称， 当或时，最大.故选：C
4．（23-24高二上·福建宁德·期末）已知等差数列的前项和为．若，，则当取最大值时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等差数列的基本性质可知，当时，，当时，，即可得出结论.
【详解】因为等差数列的前项和为，，可得，
又因为，则数列的公差为，
所以，数列为单调递减数列，
则当时，，当时，，
故当时，取最大值.故选：B.
考向13 函数型性质2：单调性与最值
等比数列与函数的关系 (1) 数列{an}是等比数列，an＝a1qn-1， 通项an为指数函数：即an＝a1qx-1； (2)数列{an}是等比数列，Sn＝，Sn为型线性指数函数。 （3）借助函数性质（或者不等式均值等性质）求等比数列最值时，要注意自变量n是离散型
5．（湖北省武汉市六所重点中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题）已知数列是各项均为正数的无穷等比数列，其中，记，求当取到最大值时，的值为（ ）
A．4 B．4或5 C．5 D．5或6
【答案】B
【分析】根据题意求出等比数列的通项公式，且解不等式后即可分析出何时取到最大值．
【详解】依题意，，
所以，解得，所以，
，令，也即，解得，且，
所以当取到最大值时，的值为4或5．
故选：B．
6．（25-26高三上·贵州·月考）已知公比不为1的等比数列的前项和为，为的前项积，若数列是首项为2的等差数列，则的最大值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】设等比数列的公比为，根据题意可得，化简整理求得，进而求出通项，
进而求出，结合指数函数的单调性得解.
【详解】设等比数列的公比为，且，由题知，又，得，
所以，，，，
数列是首项为2的等差数列，可得，得，
解得，所以，则，
又，因为，所以当时，取到最小值，
所以.故选：B.
7．（24-25高二下·安徽·月考）已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设等比数列的公比为，根据题意求出、的值，可得出数列的通项公式，分析数列奇数项和偶数项的单调性，可得出、的值，即可得解.
【详解】设等比数列的公比为，由，解得，
所以，，
当为奇数时，；
当为偶数时，.
所以，数列的奇数项单调递增，偶数项单调递减，
故，，，
故选：D．
8．（24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯·月考）已知，，成等比数列，且，，等差数列满足，，则当数列的前项和取最小值时，的值为（ ）
A．5 B．7 C．6或7 D．5或7
【答案】D
【分析】先求出等比数列，，的公比为，进而可得等差数列的公差及通项公式，再判断出数列的前5项都小于0，从第8项起都大于零点，且第6项为正，第7项为负，第6项与第7项的和为0，即可得答案.
【详解】解：设等比数列，，的公比为,
由，，即，解得，由，解得，所以，
又因为为等差数列，且，，所以公差，则，
所以，当时，；当时，，
又因为，，，
所以当或时，的前项和最小.故选：D.
考向14 函数型性质3：等差正负不等式
在等差数列中 （1）若，则满足的项数使得取得最大值； （2）若，则满足的项数使得取得最小值． 即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．
9．（24-25高三全国专题练习）设等差数列的前n项和为，且（），若，则（ ）
A．的最大项是 B．的最小项是
C．的最大项是 D．的最小项是
【答案】D
【分析】由已知不等式推出公差，再结合得出且，从而判断出前项和的最小项为.
【详解】，
对于等差数列，，代入得：，
又因为，代入化简可得：，
对所有成立，故公差；
因为，数列递增，故，由，且；
因此：当时，，当时，；
前项和在由负转正时取得最小值，即是最小项.故选：D
10．（24-25高二上·浙江绍兴·月考）在等差数列中，为其前项和.若，，则下列判断错误的是（ ）
A．数列为递增数列 B．
C．数列的前项和最小 D．
【答案】C
【分析】推导出，，可判断BD选项；利用等差数列的单调性可判断A选项；分析可知，当且时，；当且时，，可判断C选项.
【详解】设等差数列的公差为，
对于A选项，，可得，
，可得，所以，，
所以，，所以，数列为递增数列，A对；
对于B选项，由A选项可知，，B对；
对于D选项，由A选项可知，，D对；
对于C选项，因为数列为递增数列，
当且时，；当且时，，
所以，数列的前项和最小，C错.
故选：C.
11．（23-24高三上·湖南邵阳·月考）已知等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．
C．当取得最大值时， D．
【答案】B
【分析】根据等差数列求和公式及等差数列性质计算出，且，从而得到公差小于0，时，取得最大值，判断ABC；利用得到D错误.
【详解】ABC选项，，∴，
，∴，
∴，且，B正确；
∴公差，等差数列是递减数列，A错误；
时，取得最大值，C错误；
D选项，，D错误.
故选：B．
12．（2023·吉林白山·模拟预测）若等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】C
【分析】根据等差数列的前项和公式以及数列的单调性得出结果.
【详解】依题意，
又，即，则则，且，
所以等差数列单调递减，，
所以对任意正整数，都有，则．故选，C．
考向15 函数型性质4：等比“平衡点”不等式
等比数列“平衡点”型不等式 等比数列“平衡点”型不等式，主要从以下几个性质思考： 1.若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2 2.如果等比数列是正项递增数列，则若p＋q>m＋n，则ap·aq>am·an.
13．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知等比数列的前项积为，公比，且，则（ ）
A．
B．
C．存在，使得
D．当时，最小
【答案】D
【分析】对于A，由定义结合题设可判断选项正误；对于B，注意到，则，据此可判断选项正误；对于C，注意到数列是单调递增数列，结合B分析可判断选项正误；对于D，注意到，结合B分析，可得，结合数列是单调递增数列可判断选项正误．
【详解】因为，所以．
对于A，因为，所以，故A错误；
对于B，因为，
所以，则，故B错误
对于C，因，可知数列是单调递增数列.又，则当时，，所以，故C错误.
对于D，注意到，则，
从而，又，故.当时，；当时，；所以当时，最小，选项D正确；
故选：D
14．（25-26高三上·河南郑州·期中）已知等比数列的前项积为，若，若使成立的最大自然数为，则（ ）
A．2025 B．2026 C．4050 D．4051
【答案】C
【分析】通过分析得等比数列为单调递减，且前项大于1，项以后小于1，再结合等比数列的性质可得.
【详解】由，所以和中一个大于1一个小于1.
若公比，而，所以数列中所有项都大于1，与上述矛盾，所以；
若公比，则数列为摆动数列，因，所以奇数项为正数，偶数项为负数，这与矛盾；
所以，，等比数列是单调递减数列，且，.
所以当时，，当时，.
由等比数列性质，，所以，.
当时，，单调递增且；
当时，，,单调递减且；
当时，，即，所以时，单调递减,
又.
所以，即时，单调递减且小于1.
所以最大的自然数为.故选：C.
15．（24-25高二下·吉林松原·期中）设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．数列无最大值
C．是数列中的最大值 D．
【答案】D
【分析】分析得到，当时，，当时，，从而得到有最大值，最大值为，，，得到D正确，ABC错误.
【详解】A选项，，若，则对任意的，都有，则，不合要求，A错误；
BC选项，若，则，与矛盾，不合要求，
当时，，又，所以，即，
又，故满足要求，故当时，，当时，，
故有最大值，最大值为，BC错误；
D选项，当时，，当时，，
故，，所以，D正确.
故选：D
16．（24-25高三全国专题练习）设数列是公比为q的等比数列，其前n项的积为，并且满足条件，，，下列结论中：①②③④使得成立的最小自然数n等于4018，其中正确结论序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①③④
【答案】C
【分析】由题意可得，，结合等比数列的性质逐一核对四个命题得答案．
【详解】，，∴，则又，
若，则，与前提矛盾，所以，故①正确；
由等比中项的性质知：，故③正确；
易知，，
且使成立的最小自然数等于4019，故②④不正确．
正确结论的序号是①③．故选：C．
考向16 函数型性质5：恒成立求参型
数列恒成立求参： 数列恒成立题型，第一思维是“参变分离”，分离参数，转化为求最值。 研究数列型母函数单调性，借助函数单调性来求最大值最小值求参。 特别注意点： 数列是“离散型”函数，所以最值点，要比较确认对应的正整数值。如果牵扯到奇偶“正负”变号型数列，要注意，奇数，对应n=1,3,5,6.。。，偶数时，对应n=2,4,6,。。。，
17．（2024·浙江绍兴·三模）设，已知，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到，推出，得到答案.
【详解】由题意得，故，
故，故
，由于，故.
故选：C
【点睛】关键点点睛：
18．（23-24高三上·四川·月考）已知数列满足，且，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出数列的通项公式，分n为奇数和偶数两种情况，得到，并根据单调性得到，求出答案.
【详解】当时，，
所以，
所以，显然也适合，所以数列的通项公式为．
当n为奇数时，，此时数列的奇数项单调递增；
当n为偶数时，，
此时数列的偶数项单调递增，要想使不等式成立的有且只有三项，
只需有，即，解得，即的取值范围为．故选：D．
【点睛】数列中的奇偶项问题考查方向大致有：①等差，等比数列中的奇偶项求和问题；②数列中连续两项和或积问题；③含有的问题；④通项公式分奇偶项有不同表达式问题；含三角函数问题，需要分奇偶讨论，寻找奇数项，偶数项之间的关系，分组求和，期间可能会涉及错位相减求和或裂项相消法求和
19．（20-21高三上·河南南阳·月考）已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则整数的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】由求得，再由得出数列是等差数列，求得，用分离参数法变形不等式，即可得解．
【详解】当时，，得，当时，， 即，所以．又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
，即．，所以不等式等价于．当时，，当时，，
记，，
所以时，，即，递减，时，，
所以的最大项是，所以，所以整数的最大值为3．
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查求数列的通项公式，考查数列不等式恒成立问题，解题的关键是问题的转化，不等式恒成立转化为求数列的最大项，考查学生的转化与化归能力，运算求解能力，属于较难题.
20．（24-25高三全国专题练习）已知数列满足，，，（）．对于任意的正整数，不等式恒成立，则正整数的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】先用数学归纳法证明，由可得对于任意的正整数，由得，结合证得此范围成立
【详解】先用数学归纳法证明，当时，，假设时，，
则当时，，即，
又知，所以，所以.，为正整数，
所以，对于任意的正整数恒成立.由，可得，解得.
所以必有，为正整数，则，又，也满足，
所以正整数的最小值4.故选：B.
【点睛】本题的关键有两个，一个是利用数学归纳法得，另一个是因式分解得，对于任意的正整数恒成立.本题属于难题.
冲刺练
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（25-26高三上·内蒙古锡林郭勒·期末）记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质可得的符号，再逐项判断后可得正确的选项.
【详解】因为，故，，即，
故，故，故，故BD错误，
而，故C正确；
取，则，
，但，故A错误，
故选：C.
2．（2026·湖北·模拟预测）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由等比、等差数列的性质可得，，从而可得，，则有，结合诱导公式求解即可.
【详解】因为数列为等比数列，且，即，解得，
所以；又因为是等差数列，且，
即，解得，所以，所以，
所以.故选：C.
3．（25-26高二上·河北邯郸·月考）记数列的前项和满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用与的关系求解即可.
【详解】因为，
当；
所以，
当时，，符合上式，所以，
故选：C.
4．（河北雄安新区2025-2026学年第一学期高二期末考试数学试题）已知等差数列的前项和为，若，，，则使成立的最小的的值是（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
【答案】B
【分析】推导出，利用等差数列的求和公式判断的符号，即可得出结果.
【详解】因为等差数列的前项和为，若，所以，
因为，，所以使成立的最小的的值是20．
故选：B．
5．（25-26高二上·北京·期末）已知数列各项均为正整数，对任意的，和中有且仅有一个成立，且，.记.下列四个结论正确的是（ ）
A．可能为等差数列 B．中最大的项为
C．存在最大值 D．的最小值为36
【答案】D
【分析】对 A，找出其与题目条件的矛盾；对BC，举反例数列可得；对D，分别列举与（即）成立时的数列，求出最小值即可.
【详解】对A，若为等差数列，设公差为，
当时，对任意的，与均成立；
当时，对任意的，与均不成立，
两种情况都不满足和中有且仅有一个成立，故A错；
对B，给定数列，
可知对任意的，满足和中有且仅有一个成立，
中最大的项为，不为，故B错；
对C，给定数列，
假设，则，
与题意和中有且仅有一个成立产生矛盾，故；
假设，则，
也与题意和中有且仅有一个成立产生矛盾，故；
当且时，数列各项满足题意，
因此，在给定数列中，可取任意大的正整数，
故无最大值，故C错；
对D，由题意与中有且仅有一个成立，
①若，则，设，
则 ，则，设，则，
则，设，则，
则，故.
即数列.
故，由题意均为正整数，
因此，若，则当且仅当时，
即数列，取最小值；
②若，则，设，则，
则，设，则，则，
设，则，则，，
由，故，即，
即数列.
故，由题意均为正整数，
因此，若，则当且仅当时，
即数列，取最小值；
综合①②比较可知，的最小值为, D正确.
故选：D.
6．（25-26高三上·北京东城·月考）设数列的各项均为非零的整数，其前n项和为．若为正偶数，均有，且，则的最小值为（ ）
A．32 B．26 C．24 D．22
【答案】D
【分析】因为，分类讨论的符号，由题意求出的最小值，的最小值，进而求有最小值.
【详解】因为，所以互为相反数，
若，为了取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小，
由题意知：满足，取的最小值；
满足，因为，故取的最小值；
满足，因为，取的最小值；
同理，取的最小值；
所以，
满足，取的最小值；
满足，因为，所以，取的最小值；
满足，因为，所以，取的最小值；
同理，取的最小值；
所以，
所以，
因为数列的各项均为非零的整数，所以当时，有最小值22；
若，为了取最小值，取奇数项为负值，取偶数项为正值，且各项尽可能小，
由题意知：满足，取的最小值；
满足，因为，故取的最小值；
满足，因为，取的最小值；
同理，取的最小值；
所以，
满足，取的最小值；
满足，因为，所以，取的最小值；
满足，因为，所以，取的最小值；
同理，取的最小值；
所以，
所以，
因为数列的各项均为非零的整数，所以当时，有最小值22；
综上所述：的最小值为22.故选：D.
7．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，，则下列选项正确的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由判断A，由递推式得，进而有时判断D，比较与大小判断B、C.
【详解】由于，A错误；
由，即，
时，，所以，，……，，所以，又，
所以，可得，或时，，，因此，得，D错误；
对于B、C，只需比较与大小，易知，，
所以，所以，，，，，所以，所以，可得，
所以，B对，C错.故选：B
8．（25-26高二上·浙江宁波·期中）若无穷数列满足：，当时，，则称是“数列”．则下列正确的是（ ）
A．若是“数列”，则
B．若是“数列”且是等差数列，则单调递增
C．若是“数列”且单调递减，则是等比数列
D．若是“数列”且是周期数列，则集合的元素个数最多是
【答案】D
【分析】根据新定义数列，计算判断A，结合等差数列，单调性，周期数列计算判断BCD.
【详解】对于A，若是“数列”，当时，，
，若
当时，，所以，
当时，，所以，
当时，，所以，A错误.
对于B，若是“数列”且是等差数列，设公差为，
当时，，即，
当时，，则，，即，
此时，数列不单调递增，B错误.
对于C，若是“数列”且单调递减，
当时，，因为数列单调递减，所以.
当时，，因为数列单调递减，所以.
当时，，因为数列单调递减，所以.
可知数列不是等比数列，C错误.
对于D，若是“数列”且是周期数列，假设周期为，
当时，，
当时，，所以或
若时，当时，，所以或，
若时，当时，，所以或，
这样数列值会越来越大（非周期），所以
若时，当时，，所以或，
若时，当时，，所以或，
若时，当时，，所以或，
同理按此规律计算可得数列的取值可能是，
所以的元素个数最多是，D正确.
故选：D.
二、多选题
9．（江苏扬州市2025-2026学年度第一学期高二期末调研数学试题）已知数列的前项和为，则下列命题中正确的是（ ）．
A．若，则是等差数列
B．若，则是等比数列
C．若是等差数列，则
D．若是等比数列，且，则
【答案】BC
【分析】利用和的关系即可判断A,B选项；利用等差数列的求和公式即可判断C选项；通过举例即可判断D选项.
【详解】对于A，当时，，所以，当时，，
当时，，
所以，所以从第二项开始是等差数列，故A错误；
对于B，当时，，所以，
当时，，
当时，，所以是等比数列，故B正确；
对于C，若是等差数列，所以，所以，故C正确；
对于D，若是等比数列，且，当时，满足，
所以，所以，故D错误；
故选：BC.
10．（湖南沅澧共同体2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B．
C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为14
【答案】ACD
【分析】对于A，由题意可得，，由，即可判断；对于B，结合A，可得，从而得，即可判断；对于C，由题意等差数列单调递减，且，，即可判断；对于D，由B可知，从而可得，结合，即可判断.
【详解】对于A，因为，即，
所以，又因为，
所以，所以，故A正确；
对于B，因为，，，
所以，所以，故B错误；
对于C，由题意等差数列单调递减，且，，
即数列的前7项为正，从第8项起为负，所以最大，
即取得最大值时，，故C正确；
对于D，由B可知，所以 ，
所以，且，
所以成立的最大整数为14，故D正确.
故选：ACD.
11．（江苏省徐州市2025-2026学年高二第一学期期末抽测数学试题）在各项均为正数的等比数列中，为前项积，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】利用前项积的意义，结合等比数列性质求出公比，再逐项分析判断.
【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，，
根据等比数列的性质得，
又在上单调递增，，
，故A正确.
，，则，
则，故B正确.
，又且，，故C错误.
由，得等比数列为递增数列，则，
，当时，，，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．（2026·河北邯郸·模拟预测）数列的前项和为，数列满足，若，则数列的最小项为 ．
【答案】/0.32
【分析】先分别求出，的通项公式，进而求出的通项公式，结合的性质，讨论的单调性，进而求出的最小项．
【详解】数列的前项和为，当时，，
当时，，，，
，记为，当时，，
当时，，即，，
，，，
当时，，故，当时，，故，
当时，，在时递减，在时递增，最小值出现在处，，故答案为：．
13．（24-25高三全国专题练习）已知函数，且，则实数的值为 ；若，且，则的取值范围为
【答案】 1
【分析】求出，即可计算求解c；由c得到以及，进而消元得到，接着构造，由b的范围和以及的单调性即可分析求解.
【详解】由题可知，
∴，
令，又，
∴，∴，∴；
∵，∴，
且，
∵，且由，及，可知，
∴令函数，则，且易知为单调递减函数，
∴，即，易知，∴的取值范围为．
故答案为：1；.
14．（24-25高三全国专题练习）已知数列满足，设的最大值，最小值分别为，若，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】由和可得，按的不同取值分类讨论求得的最大值和最小值即可求解.
【详解】因为，
所以当时，
，
当时，也满足上式，故，
当时，当时，，数列不存在最小值，不满足题意；
当时，，
所以当为奇数时，当为偶数时，
此时数列的最大值，最小值，，不满足题意；
当时，当为奇数时，且随着增大，增大，
当为偶数时，且随着增大，减小
又因为当且时，
，即，
当时，所以，，
所以，即，结合解得，
综上的取值范围为，故答案为：
结束
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