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重难点10 数列构造与递推分析法
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近三年：高考数学对数列通项公式与递推公式的考查，以等差数列与等比数列定义概念为基础 保持稳定且灵活应用的特点，，既是基础考点也是拉分考点，常与数列求和、不等式恒成立、函数单调性等结合考查综合能力。 重基础、强变形、考综合、避偏难。 对于大部分同学要求基础考点不丢分，而通过核心变形拉开差距。如累加法、累乘法、an 与Sn 的关系为必拿分考点，而构造法为拉分考点，要求学生具有“观察递推式特征→选择合适变形方法” 的逻辑思维，而非死记公式。 预测2026年：结合近 3 年考查规律, 2026 年高考, 选择题 、填空题多为单一考点的直接应用型考察，如考察累加法、累乘法等求通项，稍微难点的会考察构造简单等比 、等差数列，或周期数列的通项与项的求解，难度中等，主要考查公式记忆与基础变形能力。基础解答题，核心考点不变，累加法、累乘法、an 与Sn 的关系、构造等比、等差数列仍为必考，占比较高。 如果位于压轴题位置，则高考对数列通项与递推公式的考查重基础、强变形、考综合，只要掌握核心变形方法并注重细节，就能轻松突破这一考点。 。
考向01 递推基础1：累加法
累加法： 型如：的数列的递推公式，采用累加法求通项； 利用累加法求通项： 数列求通项，可以借助对“形形色色”的累加法研究学习，积累各类通项“变化”规律。 1.“等差”累加法: 2.“等比”累加法: 3.“裂项”累加法: 4.无理根式裂项累加法:
1．（25-26高三全国专题练习）已知数列满足，，若对，，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将整理成，利用累加法求出，从而得到， 对，恒成立，即，将整理为，利用基本不等式即可求出实数m的取值范围.
【详解】，，
当时，，
即，
当时也满足，，
对，恒成立，，
，
当且仅当时，等号成立，，即，
实数m的取值范围是.
故选：B.
2．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知各项均不为零的数列满足，对于任意的正整数，，则的个位数字为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】令，得数列是公差为2的等差数列.通过赋值法，求得，即可求得，从而求得，并得到其个位数字.
【详解】对于任意的正整数m，，，所以，
令，得当时，，即，即
所以数列是公差为2的等差数列，所以.
取，，得：，即；取，，得：；
取，，得：；取，，得：；
所以，解得：，因此，
所以，，，…，.
累加得，
故，所以，个位数字为6．
故选：D
3．（25-26高三全国专题练习）已知数列满足：，若，则数列的最大项为第（ ）项.
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】将题目所给递推式变形为，利用累加法和裂项相消法求出，进而求出，最后利用不等式组法求出数列的最大项.
【详解】由可得，当时，
，
当时，，，也满足，所以，，，
由， 即，
解得， 又因为，所以，则数列的最大项为第8项.
故选：C
4．（25-26·山东·月考）在正项数列中，对任意，，，若为单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，则，利用累加法求出数列的通项公式，再根据为单调递增数列，可得恒成立，进而可得出答案.
【详解】令，则，
由，，…，，
累加得，
故，
因为为单调递增数列，所以恒成立，
则，
，，
因为，所以，解得.
故选：A.
考向02 递推基础2：累积法
累乘法： 形如：的数列的递推公式，采用累乘法求通项； 利用累乘法求通项： 累积法主要有“分式型”和“指数型”。 分式型： 指数型：
5．（25-26·贵州黔东南·期末）在数列中，，，若，，则的取值范围为（ ）
A． B．（-1,1） C． D．
【答案】A
【分析】依题意可得，利用累乘法求出的通项公式，依题意可得对恒成立，再分为奇数、为偶数两种情况讨论，利用参变分离法计算可得.
【详解】因为，所以，
当时，，
因为，所以，又，所以；
由，，得对恒成立；
当为奇数时，恒成立，易知为增函数，则；
当为偶数时，恒成立，易知为减函数，
则；
故的取值范围为.
故选：A
6．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知为数列的前项和，若，则等于（ ）
A．2026 B．2025 C．0 D．1013
【答案】D
【分析】根据，结合已知条件，得到数列的递推关系.利用累乘法求得，代入2027求得；或先求出，再求得.
【详解】因为，所以
即.
所以.
因为，所以.
所以…….
由累乘法得：.
所以，，，
所以.
方法二：
因为，所以.
两式相减，得，即.
由，得.
所以.
所以.
故选：D.
7．（2025·江西·模拟预测）已知数列满足：，，令，数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当时，求出的值，当时，由可得，两式作差得出，利用累乘法可求出在时的表达式，结合裂项相消法可求出的值.
【详解】因为数列满足：，，
当时，，
当时，由可得，
两个等式作差得，所以，可得，
当时，，满足，
故当时，，
所以
，
因此，.
故选：B.
8．（2022·全国·模拟预测）已知是数列的前项和，是数列的前项积，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用求出，进而求出，再结合不等式的性质及累乘法的思想推理判断得解.
【详解】当时，，当时，，则，
显然符合上式，因此，由，得，
则，而，即有，
于是，
从而，
所以，即.
故选：B
【点睛】易错点睛：由数列前项和求通项，需按和分段求解，并且还要验证的结果是否满足时的表达式.
考向03 递推基础3：再写一个作差
数列前n项和： an＝ 求通项时，要注意检验n=1时是否成立
9．（24-25全国模拟预测）已知数列的前项和为，且．若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】通过数列前项和与项的关系求得数列的通项公式，代入不等式分离参数后构造数列，然后通过作商法求得数列中最大项的值，从而求得结果.
【详解】当，则，即，当，，
则，即，∴，∴数列是的等比数列，
∴，∵，即，∴，
令数列的通项为，则，
令，则，又∵
∴当，，当，，∴数列的最大项为，
∴.故选：B.
10．（2025·河北沧州·一模）记为数列的前项和，，数列的前项和为，则（ ）
A．0 B．40 C．80 D．120
【答案】B
【分析】由条件，求得，进而得到数列为常数列，求得，得，根据分组求和求出答案.
【详解】当时，由，得，两式相减得，即，
对取可得，故数列为常数列，所以，则，
故，易知，所以.
故选：B.
11．（25-26高三上·重庆·期中）已知数列的前项和为，且满足条件，若对恒成立，则整数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数列与的关系，可求得数列为等比数列，进而可求得其通项和前项和，代入不等式，化简，结合不等式即可求解.
【详解】因为，当时，，，解得，
又当时，得，两式相减，整理得到，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，，
代入不等式得，
化简得，所以，
易知对勾函数在上单调递增，在上单调递减，
令，又易知，
所以当时取得最小值，所以的最大值为.
故选：B
12．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用前项和与第项的关系求出，进而求出，再由裂项相消法求出即可求出最小值.
【详解】数列中，，当时，，
当时，，两式相减得，
则，而不满足此式，因此，
当时，，当时，满足上式；
因此，由对任意恒成立，得，
所以的最小值为．
故选：B
考向04 递推基础4：消an留sn
利用，可以把式子中的an转化为sn形式，然后研究关于sn形式的递推公式
13．（25-26高三全国专题练习）已知数列的前项和为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由的关系，转化为关于的递推关系，变形后可构造等差数列，由等差数列的通项公式求解.
【详解】因为，则，于是得，
因此数列是首项，公差为1的等差数列，
则，所以.故选：D
14．（2025·江西·模拟预测）设数列的前项和为，已知，则（ ）
A．2024 B．2025 C． D．
【答案】B
【分析】根据数列满足的关系式，利用之间的关系结合累乘法可求得，代入计算可得结果.
【详解】由可得，
即，因此；
因此，
可得，
所以.
故选：B
15．（2024·福建·模拟预测）设数列的前项和为，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用，结合已知变形构造数列，求出，进而求出即可判断得解.
【详解】数列中，由，得，整理得，
则，数列是以为首项，1为公差的等差数列，
于是，即，而满足上式，
因此，，，ABD错误，C正确.
故选：C
16．（2024·四川攀枝花·三模）数列的前项和为，，，设，则数列的前51项之和为（ ）
A． B． C．49 D．149
【答案】B
【分析】由与的关系，结合等差数列的通项公式求得，即可得到，再由并项求和法计算可得．
【详解】因为，
当时，，
即，
可得，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，则，
当时，
所以，当时也成立，
所以，
可得数列的前项之和为．
故选：B．
考向05 递推构造1：构造二阶等比型
构造法：根据已知构造等差等比数列求通项. 形容 为常数）,构造等比数列。特殊情况下，当q为2时，=p， ，变形为，也可以变形为.
1．（24-25高二下·湖北·期中）数列中，，，则通项 ．
【答案】
【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项公式.
【详解】数列中，由，得，而，
因此数列是首项为，公比为3的等比数列，则，
所以.
故答案为：
2．（24-25全国模拟预测）数列的首项，，令，则 ．
【答案】/
【分析】构造数列，并求得数列的通项公式；再代入对数中求得数列的通项公式，进而利用等差数列的求和公式即可求得数列的前项和．
【详解】因为，
所以，又，
所以，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，即，
代入得，
设数列的前项和为，
则，
则.
故答案为：
3．（24-25高三上·重庆·月考）在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为 .
【答案】
【分析】利用构造法分析得数列是等比数列，进而求得，从而将问题转化为恒成立，令，分析数列的最值，从而得解.
【详解】由，得，又，
故数列为首项为，公比为的等比数列，
所以，
则不等式可化为，令，
当时，；当时，；
又，
则当时，，当时，，
所以，则，即实数的最小值为.
故答案为：.
4．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数满足，则数列的通项公式 ．
【答案】
【分析】由题意可得，即是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求解即可.
【详解】由可得：，又,
，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以.
故答案为：
考向06 递推构造2：构造二阶线性型
二阶f（n）型构造法有两种方法： 1.形如 为常数）,构造等比数列。 2.形如，变形为，新数列累加法即可
5．（25-26高三全国专题练习）已知数列中，，则数列的通项公式 ．
【答案】
【分析】利用构造法判断为等比数列，然后利用等比数列通项公式即可得解.
【详解】因为，所以，
又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，故.
故答案为：
6．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知，当时，，则的通项公式为
【答案】
【分析】由题意设，展开后对照已知列方程组求出，再结合等比数列的通项公式，即可求得答案.
【详解】由于当时，①，
故设，即②，
由①，②对照可得，，解得，
即，
又，则是以3为首项，为公比的等比数列，
故，则
故答案为：
7．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，，则数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】法一：设、，结合递推关系得到，再根据已知得，进一步有，利用等比数列的定义写出通项公式；法二：由递推关系得，讨论的奇偶性写出通项公式即可.
【详解】法一：因为，所以.
设，则，所以.
设，则.
因为，，所以，，
所以，即，即，所以.
因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，.
法二：因为，所以，
由，，得，，
所以数列的奇数项是首项为2，公比为4的等比数列，偶数项是首项为4，公比为4的等比数列，
当为奇数时，，即；
当为偶数时，，即.
综上，.
故答案为：
8．（23-24全国模拟预测）已知数列，其中，满足，设为数列的前n项和，当不等式成立时，正整数n的最小值为 .
【答案】9
【分析】利用递推关系式得，由此可证得是等比数列；由等比数列通项公式推导可得，进而可求得的表达式，代入解不等式即可求解.
【详解】因为由得：，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以.
所以，
所以等价，
由知，满足正整数n的最小值为9.
故答案为：9.
【点睛】方法点睛：求数列的通项公式有以下方法：
（1）观察法，（2）等差、等比公式法，（3）由与关系求解，（4）累加法，（5）累乘法，（6）构造等比数列，（7）构造等差数列.
考向07 递推构造3：构造二阶幂指型
二阶f（n）指数型构造等比型：核心思维是同除 .形如，变形为，新数列累加法即可
9．（2025高三·全国·专题练习）在数列中，且，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【解析】略
10．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为 ．
【答案】6
【分析】根据给定条件，利用构造法求出，作差构造新数列，探讨单调性求出的最小值.
【详解】由，得，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，
所以，即，故，
令，则，
所以数列是递增数列，
因为，，
所以当时，，即，
当时，，即，
所以的最小值为6．
故答案为：6
11．（2023高三·全国·专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】解法一：利用待定系数法可得，结合等比数列分析运算；解法二：整理得，结合等比数列分析运算；解法三：整理得，根据累加法结合等比数列求和分析运算.
【详解】解法一：设，整理得，可得，
即，且，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即；
解法二：(两边同除以) 两边同时除以得：，
整理得，且，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即；
解法三：(两边同除以)两边同时除以得：，即，
当时，则
，
故，
显然当时，符合上式，故.
故答案为：.
12．（25-26高三全国专题练习）数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 .
【答案】．
【分析】已知式两边同除以，构造一个等差数列，由等差数列的通项公式可得结论．
【详解】∵，所以，即，
∴是等差数列，而，
所以，
所以．
故答案为：．
考向08 递推构造4：构造分式型
形如，可以取倒数变形为
13．（25-26高三全国专题练习）已知数列满足，若，则数列的通项公式 ；若，则数列的通项公式 ．
【答案】
【分析】由可得，利用等差数列通项公式即求；由可得，再利用等比数列通项公式即求.
【详解】当时，得，
又，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，所以数列的通项公式．
当时，得，所以．
又，所以，所以数列是以2为首项，
2为公比的等比数列，所以，所以数列的通项公式．
故答案为：；.
14．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则 ．
【答案】
【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项，即可得解.
【详解】由，可得，即，
又，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，即，所以．
故答案为：
15．（25-26高三全国专题练习）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是
【答案】
【分析】由题意可构造数列，得到该数列为等差数列并求出通项公式后，利用累乘法即可得解.
【详解】由，则，即，又，则，故数列是以为首项，为公差的等差数列，即，
则有，，，，且，
故，即，显然均满足.故答案为：.
16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，若，且，则 ．
【答案】
【分析】构造数列，证明该数列是等比数列，再根据等比数列的通项公式求的通项公式.
【详解】由，即，因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，即，所以．
故答案为：
考向09 递推进阶构造1：特征方程三阶型
三阶数列特征方程型： 形如，可以通过凑配系数构等比数列。 也可以通过特征方程求解
1．（2021·四川绵阳·三模）已知数列的前项和为，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知得出数列是等比数列，然后可利用数列的奇数项仍然为等比数列，求得和．
【详解】因为，所以，又，
所以，所以是等比数列，公比为4，首项为3，
则数列也是等比数列，公比为，首项为3．
所以．
故选：A．
2．（25-26高三全国专题练习）已知数列中，，，，求（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，设，利用待定系数法可得，，然后利用等比数列的定义求解.
【详解】设，则，∴，解得或，
当，时，，∴是以首项为，公比为的等比数列，
∴，∴，
.当，时,，
∴是以首项为，公比为的等比数列，∴，
设，解得，∴是首项为，公比为的等比数列，
∴，∴，故选：A.
3．（23-24高二下·河南信阳·期末）数列满足，已知，则的前19项和（ ）
A．0 B．8 C．10 D．19
【答案】A
【分析】由等差中项得到数列为等差数列，再由等差数列的性质得到，由等差数列前项和公式结合等差中项得到
【详解】因为即，所以数列为等差数列，
因为且，所以，得，
所以.
故选：A.
4．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，，，则的通项公式为 .
【答案】
【分析】将两边同时加，结合等比数列的定义证明可得，再构造数列，求解首项分析即可；
【详解】由,得，且，
故数列是以2为首项，3为公比的等比数列，故，所以，
设，则，又，所以数列的所有项均为0，即，
所以.故答案为：.
考向10 递推进阶构造2：特征方程分式型
特征方程构造型： 形如的递推数列，方程的根，可以分两种情况： （1）、若其中有一个不动点x0，则是等差数列 （2）、若其中有两个不动点m，n，则是等比数列
5．（多选）（2025·山东潍坊·一模）设函数，数列满足，，则（ ）
A． B．为定值
C．数列为等比数列 D．
【答案】ACD
【分析】根据数列递推公式以及首项，可得第二项，可得A的正误；根据题意整理，可得B的正误；根据等比数列的定义，由递推公式整理，可得C的正误；由C写出通项，利用作差法，可得D的正误.
【详解】由，，则，故A正确；
由，则显然非常数，故B错误；
由，又，则，
则数列是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确；
则，即，由，则，故D正确.
故选：ACD.
6．（专题12用“不动点法”求数列的通项公式）已知数列满足，，则 .
【答案】
【分析】由递推公式找到对应的不动点方程，巧用“不动点法”求数列的通项公式
【详解】求不动点，设，令得：，解得：，
则，化简得：①，，化简得：②，
用式①除以式②可得，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，∴，故.故答案为：
7．（24-25高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则 .
【答案】2
【分析】先求不动点方程，根据方程无解再逐项计算根据周期求解即可.
【详解】第一步，求不动点，设，令得：，化简得：，显然该方程无解，这种情况下一般是周期不大的周期数列，
我们只需算出前几项，找出规律即可，
由题意，，所以，，，，，，从而是以6为周期的周期数列，
故.故答案为：2.
8．（2022高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则 .
【答案】
【分析】由递推公式找到对应的不动点方程，巧用“不动点法”求数列的通项公式.
【详解】求不动点，设，令得：，解得：或；
因为，所以，化简得：①，，化简得：②，用式①除以式②可得：，又，所以是首项为，公比为的等比数列，故 ，从而.
故答案为：
考向11 递推进阶构造3：三阶递推周期型
周期数列 1.若数列{an}满足 2.若数列{an}满足 3.若数列{an}满足 4.若数列{an}满足 5.若数列{an}满足 6.
9．（24-25高三上·浙江·月考）数列满足，则下列，的值能使数列为周期数列的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】由数列的周期性定义，逐项代入验证即可；
【详解】对于A，当时，；当时，；当时，无周期性，故A错误；
对于B，当时，；当时，；当时，所以数列是以2为周期的周期数列，故B正确；
对于C，当时，；当时，；当时，无周期性，故C错误；
对于D，当时，；当时，；当时，无周期性，故D错误；
故选：B.
10．（24-25高二下·四川成都·期中）数列满足：，若，，则（ ）
A．1 B．－1 C．5 D．－5
【答案】D
【分析】通过递推公式求出数列的周期，再利用周期计算即可.
【详解】由题意可得，用代替可得：，两式相加，得，
，是以6为周期的数列，
，故选：D．
11．（24-25高三全国专题练习）已知数列中，，，，则（ ）
A．4 B．2
C． D．
【答案】D
【分析】由数列的递推公式求出数列前几项，即可得数列是周期为3的周期数列，由其周期性即可求值.
【详解】因为，，，
所以，
则，，，，
所以数列是周期为3的周期数列，则.
故选：D.
12．（2025·全国·模拟预测）若数列满足，则一定等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】证明，求出数列的周期即可求解.
【详解】由得，
所以，于是数列的周期为4，
所以.故选：D.
考向12 递推进阶构造4：三阶构造等差型
13．（25-26高三全国专题练习）设数列满足，且.若表示不超过的最大整数，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得数列是等差数列，再利用累加法求出求出的通项，再利用裂项相消法结合的定义即可得出答案.
【详解】解：因为，所以，又所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列，所以，则，，，
，
累加得，所以，
所以，所以，
∴，
则.
故选：C．
14．（25-26高二上·福建厦门·期末）设数列满足，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2026项和为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由递推关系可得数列的通项公式，然后结合的定义得到数列的通项公式，进而求和即可.
【详解】由，得，
故数列是公差为2的等差数列，首项为，
所以，
则
，，显然满足上式，则，
故，故，
当时，，故，
所以数列的前2026项和为，故A正确.
故选：A
15．（2024高二·全国·专题练习）已知数列中，，，（且），则数列的最大项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先构造数列，求出其通项公式，再利用累加法求数列的通项公式，结合函数的性质求数列的最大项.
【详解】∵（且），∴，
∴数列是公差为的等差数列．
∵，，∴，
所以.
所以当时，，，…，.
以上各式相加，得：.
所以
当时，上式亦成立.
所以对，有.
结合二次函数的性质，可知当时，取得最大值.
∴数列的最大项是．
故选：B.
16．（25-26高三上·云南德宏·期末）已知函数的定义域为，，且，则 .
【答案】2026
【分析】由题中函数方程的性质，可推导出当自变量为正整数时，函数值构成一个等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求解.
【详解】因为，且，
令，则，
所以为首项为1，公差为1的等差数列，
所以，所以.
故答案为：2026.
考向13 分析构造法1：线性“和”型
形如求通项，则可以通过再写一个做差，构造出奇（偶）数项各自独立的数列递推（多为等差等比）求通项公式 1.“和”常数型：，则数列奇数项与偶数项各自是常数数列 2.“和”等差型：则再写一个做差，数列奇数项与偶数项各自是等差数列 3.“和”二次型：， 则可以则再写一个做差，化归为前边”和“等差数列形式 4.“和”换元型：同构换元，化归为常见的形式
1．（24-25高三上·河南南阳·月考）数列满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】根据已知条件得，令，通过裂项相消求得，然后代入即可求解.
【详解】数列满足①，
当时，，即，
当时，②，
由②①得，
数列的所有奇数项，，
数列的所有偶数项，，
综上，数列的通项公式为.
记，
所以数列的前项和为：
，
由得，即，
因为，随着的增大而增大，
故当时，刚好满足，
所以，的最小值为.
故选：C.
2．（2023·四川·模拟预测）在数列中，，，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由数列递推式可得和相减可得，分n为奇数和偶数两种情况，求得数列通项公式，即得答案.
【详解】由，可得，且，
两式相减得，当时, ，
此时是以为首项，公差为2的等差数列，
则，即（n为奇数）；
当时, ，
此时是以为首项，公差为2的等差数列，
则，即（n为偶数），
综合上述可得数列的通项公式为，
故选：B
3．（22-23高二下·江西上饶·期末）已知数列满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．为等比数列
C． D．
【答案】C
【分析】利用递推式可求得 的值，可判断A，B，利用并项求和法结合等比数列的求和公式判断C，D.
【详解】数列满足，，则，，，
有，，，A错误；
显然，，因此数列不是等比数列，B错误；
，C正确；
， D错误.
故选：C
4．（23-24高二下·辽宁大连·月考）已知数列满足，，是数列的前n项和，则（ ）
A．510 B．508 C．1013 D．1011
【答案】C
【分析】通过递推式求出，然后代入求即可.
【详解】，
则
所以.
故选：C.
考向14 分析构造法2：正负“调和”构造
满足，称为正负“调和”型，可以借助奇偶讨论，整体求和来构造
5．（25-26高二上·福建厦门·月考）在数列中，，.记是数列的前项和，则（ ）
A．1325 B．1300 C．1350 D．1375
【答案】B
【分析】按n为奇数，偶数分类，然后结合等差数列求和公式可得答案.
【详解】当为奇数，由题可得，即数列所有奇数项为首项为1，公差为1的等差数列，
则；
当为偶数，由题可得，即数列所有相邻偶数项和为1，
则，
从而.
故选：B
6．（25-26高三上·河南周口·期中）已知数列的前n项和为，，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．若，则
【答案】C
【分析】合理赋值即可判断A；根据，再升幂作和即可判断B；利用分组求和法即可判断C；求出，再代入求解一元二次不等式即可判断D.
【详解】对于A，由，得，，两式相减得，故A正确；
对于B，又由，，
两式相加得，故B正确；
对于C，由，可得，又，两式相减得，
所以
，故C错误；
对于D，由
，
即，结合，得，故 D正确.
故选：C.
7．（22-23高三下·湖南长沙·月考）已知数列满足：.则的前60项的和为（ ）
A．1240 B．1830 C．2520 D．2760
【答案】D
【分析】由递推关系可得：从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3；从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以13为首项，以24为公差的等差数列，进而求解.
【详解】由，
故，，，，….
故，，，….
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3；
，，，….
从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以13为首项，以24为公差的等差数列.
故.
故选：D.
8．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列{an}满足,且其前62项的和为1885，则 ．
【答案】88
【分析】根据题意，分类讨论为奇数和偶数时的通项关系式，分组求和可计算出，再根据已知结论求解.
【详解】当n为偶数时，，两式相加，得.
当n为奇数时，，两式相减，得.
所以
，
所以.
又，所以，
因为，所以，同理可得，
所以，而，所以.
故答案为：88.
考向15 分析构造法3：分段“跳项”
分段型递推公式，主要是讨论型： 1.分段数列 2.奇偶各自是等差，等比或者其他数列。
9．（23-24全国模拟预测）已知数列满足，，则该数列的前22项和为（ ）
A．69 B．88 C．89 D．96
【答案】C
【分析】利用条件分奇偶讨论的关系，利用分组求和法计算即可.
【详解】当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以
故选：C
10．（2023·吉林长春·一模）已知数列，，，且，则数列的前30项之和为（ ）
A．15 B．30 C．60 D．120
【答案】B
【分析】由题意，数列的奇数项和偶数项分别构成等差数列，分组求和即可.
【详解】已知数列，，，且,
则为奇数时，，则为偶数时，，
所以数列的奇数项构成首项为2公差为的等差数列，偶数项构成首项为0公差为的等差数列，
则.
故选：B
11．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列的各项均为正整数，，若，则的所有可能取值组成的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】采用“倒推”的方式，推导过程中注意分类讨论思想的应用.
【详解】∵，∴若为奇数，则，则舍；
若为偶数，则，.
当时，若为奇数，则，则；若为偶数，则，.
当时，
若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则.
若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则.
若为奇数，则，则；若为偶数，则，则.
当时，
若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则.
若为奇数，则，则；若为偶数，则，则.
当时，
若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则.
当时，
若为奇数，则，无解；若为偶数，则，则.
综上，所有可能的取值的集合.
故选：B.
12．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，，则数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】法一：设、，结合递推关系得到，再根据已知得，进一步有，利用等比数列的定义写出通项公式；法二：由递推关系得，讨论的奇偶性写出通项公式即可.
【详解】法一：因为，所以.
设，则，所以.
设，则.
因为，，所以，，
所以，即，即，所以.
因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，.
法二：因为，所以，
由，，得，，
所以数列的奇数项是首项为2，公比为4的等比数列，偶数项是首项为4，公比为4的等比数列，
当为奇数时，，即；
当为偶数时，，即.
综上，.
故答案为：
冲刺练
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（25-26高二上·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用累乘法求出数列的通项公式，再根据进行裂项相消法求和即得.
【详解】因，则
，当时，符合题意，故，
则，
故.
故选：D.
2．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知首项为3的数列的前n项和为，若，则（ ）
A．3 B． C． D．－2
【答案】B
【分析】根据数列与的关系，利用相减法将已知等式转化为，再根据的值即可得数列为周期数列，从而可得的值.
【详解】因为，则，
所以，则，即，
因为，所以，，
，，
所以数列是以为周期的数列，
故.
故选：B.
3．（25-26河北模拟预测）记数列的前项和满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用与的关系求解即可.
【详解】因为，
当；
所以，
当时，，符合上式，所以，
故选：C.
4．（25-26全国专题练习）已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，构造等比数列求出的通项公式，再分、、三种情况讨论数列，结合给出判断.
【详解】因为，，所以，
设，则，所以
若，则，则，与矛盾，所以，
故，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
故，
若，则，
则数列为递增数列，且，
所以数列为递减数列，与已知矛盾；
若，则，
所以数列为递减数列，且，
所以数列为递增数列，满足条件；
当时， ，故，所以数列为递减数列，
解不等式，得，可得，
因为，所以当，且时，，
当，且时，，与条件矛盾，
且若时有无意义，
所以的取值范围是，
故选：A.
5．（25-26全国模拟预测）已知数列满足，，若，都有，其中,，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用累加法求出数列的通项公式，求出的最大项和最小项，可得出的最小值.
【详解】因为数列满足，，
当时，，
则
，
也满足，故对任意的，.
当为奇数时，，数列中的奇数项单调递减，
此时，且，即，
当为偶数时，，数列中的偶数项单调递增，
此时，且，此时，
综上所述，数列中的最小项为，最大项为，
若，都有，其中、，当，时，取最小值，且其最小值为.
故选：C.
6．（25-26高二上·福建泉州·期末）已知数列中，，且，，数列的前项和为，表示不超过的最大整数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先用累加法可得，进而可得，再用及分别放缩第项到项的和，进而可得，从而可得结果.
【详解】由数列中，，且，，
得
，
所以，，
又因为，
所以
又因为，
所以，
所以，，
即，所以.
故选：B
7．（25-26贵州模拟预测）在数列中，，，若，，则的取值范围为（ ）
A． B．（-1,1） C． D．
【答案】A
【分析】依题意可得，利用累乘法求出的通项公式，依题意可得对恒成立，再分为奇数、为偶数两种情况讨论，利用参变分离法计算可得.
【详解】因为，所以，
当时，，
因为，所以，又，所以；
由，，得对恒成立；
当为奇数时，恒成立，易知为增函数，则；
当为偶数时，恒成立，易知为减函数，
则；
故的取值范围为.
故选：A
8．（25-26高三全国专题练习）已知数列的前项和，若实数满足恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用，分的奇偶讨论，求出通项公式，再利用通项的函数单调性求出最值进行求解．
【详解】因为，得.
当时，
①.
当为偶数时，①式为，即，
所以（为正奇数）.
当为奇数时，①式为，
即，
所以（为正偶数）.
函数（为正奇数）为减函数，最大值为，
函数（为正偶数）为增函数，最小值为，
若实数满足恒成立，则，即.
故选：A.
二、多选题
9．（25-26福建模拟预测）记为数列的前项和，且，，则（ ）
A． B．为等比数列
C．数列单调递减 D．
【答案】ABD
【分析】令得出可判断AC；利用降标作差得出，再根据等比数列的定义证明判断B；利用分组求和判断D.
【详解】令，则，即，
因为，所以，故A正确，C错误；
因为，所以，
两式作差得，
当时，符合上式，故，则，
因为，由以上递推关系可知，所以，
则是以为首项，为公比的等比数列，故B正确；
得，则，
则，故D正确.
故选：ABD
10．（25-26高二上·宁夏吴忠·期末）已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．
【答案】ABD
【分析】根据前n项和与通项公式之间的关系求，，即可判断BD；根据等比中项判断C；利用等差数列求和公式求，即可判断A.
【详解】因为，
当时，则，故B正确；
当时，则，
两式相减可得，则；
且符合上式，所以，故D正确；
因为，，，则，
所以数列不是等比数列，故C错误；
又因为，可知数列是等差数列，
所以，故A正确.
故选：ABD.
11．（湖北省随州市2025-2026学年高二上学期期末数学试题）已知数列的前项和为，，且，则下列说法正确的有（ ）
A．数列为常数列
B．数列为等比数列
C．记数列的前项和为，则
D．记数列的前项和为，则的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A，证明，即可判断；对于B，利用求出时，，即可判断；对于C，利用裂项相消法求出，即可判断；对于D，通过作差法得到为递增数列，即可判断.
【详解】，
而，
所以，所以为常数列，故A正确；
因为，所以当时，，
当时，，而，
所以数列不是等比数列，故B错误；
当时，，此时，
则，
，
因为，则，
所以，故C正确；
记，
，
当时，，则，
所以为递增数列，当时，最小，最小值为，
故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．（25-26全国 模拟预测）已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则实数的范围为 .
【答案】
【分析】根据数列前项和与通项之间的关系，以及等差数列的定义，求出数列通项公式，进而化简不等式，根据不等式恒成立，列出不等式组，求出参数范围即可.
【详解】由题意可得当时，，解得，
当时，可得，作差得，
化简得，变形得，
因为，所以数列是以2为首项，以1为公差的等差数列，
可得，解得，
已知不等式，代入得，化简得，
要使不等式成立，即成立，
设，当不等式成立时，即，
即，得，解得，
因为，所以，可得，
可知成立，只需成立，解得，
即实数的范围为.
故答案为：.
13．（25-26高三上·山东东营·期末）记数列的前项和为，已知，（），则 .
【答案】
【分析】由得，由递推关系可得数列奇数项，偶数项都是等比数列，分组求和即可求解.
【详解】根据题意，数列中，（），
则有①，可得②，①÷②可得.
又，得，故数列的奇数项为首项为1，
公比为2的等比数列，数列的偶数项为首项为2，
公比为2的等比数列，则
.
故答案为：
14．（25-26广东模拟预测）设数列的前n项和为，，且对任意的都有．若存在，使得，则实数等于 ．
【答案】或
【分析】由，可求出，通过递推关系还得到，从而可知奇数项、偶数项分别构成等差数列，若存在，使得，则，所以，对的奇偶分类讨论，列方程组可求得的值.
【详解】依题意，，对任意的都有，
则，所以，
两式相减得，
可知数列的奇数项是首项为，公差为2的等差数列；
偶数项是首项为，公差为2的等差数列．
若存在，使得，
则，所以
当为奇数时，为偶数，由得：
，
解得.
当为偶数时，为奇数，由得：
，
解得．
综上所述，的值为或.
故答案为：或
结束
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)重难点10 数列构造与递推分析法
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近三年：高考数学对数列通项公式与递推公式的考查，以等差数列与等比数列定义概念为基础 保持稳定且灵活应用的特点，，既是基础考点也是拉分考点，常与数列求和、不等式恒成立、函数单调性等结合考查综合能力。 重基础、强变形、考综合、避偏难。 对于大部分同学要求基础考点不丢分，而通过核心变形拉开差距。如累加法、累乘法、an 与Sn 的关系为必拿分考点，而构造法为拉分考点，要求学生具有“观察递推式特征→选择合适变形方法” 的逻辑思维，而非死记公式。 预测2026年：结合近 3 年考查规律, 2026 年高考, 选择题 、填空题多为单一考点的直接应用型考察，如考察累加法、累乘法等求通项，稍微难点的会考察构造简单等比 、等差数列，或周期数列的通项与项的求解，难度中等，主要考查公式记忆与基础变形能力。基础解答题，核心考点不变，累加法、累乘法、an 与Sn 的关系、构造等比、等差数列仍为必考，占比较高。 如果位于压轴题位置，则高考对数列通项与递推公式的考查重基础、强变形、考综合，只要掌握核心变形方法并注重细节，就能轻松突破这一考点。 。
考向01 递推基础1：累加法
累加法： 型如：的数列的递推公式，采用累加法求通项； 利用累加法求通项： 数列求通项，可以借助对“形形色色”的累加法研究学习，积累各类通项“变化”规律。 1.“等差”累加法: 2.“等比”累加法: 3.“裂项”累加法: 4.无理根式裂项累加法:
1．（25-26高三全国专题练习）已知数列满足，，若对，，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知各项均不为零的数列满足，对于任意的正整数，，则的个位数字为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（25-26高三全国专题练习）已知数列满足：，若，则数列的最大项为第（ ）项.
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（25-26·山东·月考）在正项数列中，对任意，，，若为单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考向02 递推基础2：累积法
累乘法： 形如：的数列的递推公式，采用累乘法求通项； 利用累乘法求通项： 累积法主要有“分式型”和“指数型”。 分式型： 指数型：
5．（25-26·贵州黔东南·期末）在数列中，，，若，，则的取值范围为（ ）
A． B．（-1,1） C． D．
6．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知为数列的前项和，若，则等于（ ）
A．2026 B．2025 C．0 D．1013
7．（2025·江西·模拟预测）已知数列满足：，，令，数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·模拟预测）已知是数列的前项和，是数列的前项积，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
考向03 递推基础3：再写一个作差
数列前n项和： an＝ 求通项时，要注意检验n=1时是否成立
9．（24-25全国模拟预测）已知数列的前项和为，且．若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
10．（2025·河北沧州·一模）记为数列的前项和，，数列的前项和为，则（ ）
A．0 B．40 C．80 D．120
11．（25-26高三上·重庆·期中）已知数列的前项和为，且满足条件，若对恒成立，则整数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
12．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
考向04 递推基础4：消an留sn
利用，可以把式子中的an转化为sn形式，然后研究关于sn形式的递推公式
13．（25-26高三全国专题练习）已知数列的前项和为，，，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2025·江西·模拟预测）设数列的前项和为，已知，则（ ）
A．2024 B．2025 C． D．
15．（2024·福建·模拟预测）设数列的前项和为，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
16．（2024·四川攀枝花·三模）数列的前项和为，，，设，则数列的前51项之和为（ ）
A． B． C．49 D．149
考向05 递推构造1：构造二阶等比型
构造法：根据已知构造等差等比数列求通项. 形容 为常数）,构造等比数列。特殊情况下，当q为2时，=p， ，变形为，也可以变形为.
1．（24-25高二下·湖北·期中）数列中，，，则通项 ．
2．（24-25全国模拟预测）数列的首项，，令，则 ．
3．（24-25高三上·重庆·月考）在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为 .
4．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数满足，则数列的通项公式 ．
考向06 递推构造2：构造二阶线性型
二阶f（n）型构造法有两种方法： 1.形如 为常数）,构造等比数列。 2.形如，变形为，新数列累加法即可
5．（25-26高三全国专题练习）已知数列中，，则数列的通项公式 ．
6．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知，当时，，则的通项公式为
7．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，，则数列的通项公式为 .
8．（23-24全国模拟预测）已知数列，其中，满足，设为数列的前n项和，当不等式成立时，正整数n的最小值为 .
考向07 递推构造3：构造二阶幂指型
二阶f（n）指数型构造等比型：核心思维是同除 .形如，变形为，新数列累加法即可
9．（2025高三·全国·专题练习）在数列中，且，则数列的通项公式为 ．
10．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为 ．
11．（2023高三·全国·专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为 .
12．（25-26高三全国专题练习）数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 .
考向08 递推构造4：构造分式型
形如，可以取倒数变形为
13．（25-26高三全国专题练习）已知数列满足，若，则数列的通项公式 ；若，则数列的通项公式 ．
14．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则 ．
15．（25-26高三全国专题练习）已知数列满足：，且，则数列的通项公式是
16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，若，且，则 ．
考向09 递推进阶构造1：特征方程三阶型
三阶数列特征方程型： 形如，可以通过凑配系数构等比数列。 也可以通过特征方程求解
1．（2021·四川绵阳·三模）已知数列的前项和为，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三全国专题练习）已知数列中，，，，求（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·河南信阳·期末）数列满足，已知，则的前19项和（ ）
A．0 B．8 C．10 D．19
4．（2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，，，则的通项公式为 .
考向10 递推进阶构造2：特征方程分式型
特征方程构造型： 形如的递推数列，方程的根，可以分两种情况： （1）、若其中有一个不动点x0，则是等差数列 （2）、若其中有两个不动点m，n，则是等比数列
5．（多选）（2025·山东潍坊·一模）设函数，数列满足，，则（ ）
A． B．为定值
C．数列为等比数列 D．
6．（专题12用“不动点法”求数列的通项公式）已知数列满足，，则 .
7．（24-25高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则 .
8．（2022高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则 .
考向11 递推进阶构造3：三阶递推周期型
周期数列 1.若数列{an}满足 2.若数列{an}满足 3.若数列{an}满足 4.若数列{an}满足 5.若数列{an}满足 6.
9．（24-25高三上·浙江·月考）数列满足，则下列，的值能使数列为周期数列的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
10．（24-25高二下·四川成都·期中）数列满足：，若，，则（ ）
A．1 B．－1 C．5 D．－5
11．（24-25高三全国专题练习）已知数列中，，，，则（ ）
A．4 B．2
C． D．
12．（2025·全国·模拟预测）若数列满足，则一定等于（ ）
A． B． C． D．
考向12 递推进阶构造4：三阶构造等差型
13．（25-26高三全国专题练习）设数列满足，且.若表示不超过的最大整数，则
A． B． C． D．
14．（25-26高二上·福建厦门·期末）设数列满足，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2026项和为（）
A． B． C． D．
15．（2024高二·全国·专题练习）已知数列中，，，（且），则数列的最大项是（ ）
A． B． C． D．
16．（25-26高三上·云南德宏·期末）已知函数的定义域为，，且，则 .
考向13 分析构造法1：线性“和”型
形如求通项，则可以通过再写一个做差，构造出奇（偶）数项各自独立的数列递推（多为等差等比）求通项公式 1.“和”常数型：，则数列奇数项与偶数项各自是常数数列 2.“和”等差型：则再写一个做差，数列奇数项与偶数项各自是等差数列 3.“和”二次型：， 则可以则再写一个做差，化归为前边”和“等差数列形式 4.“和”换元型：同构换元，化归为常见的形式
1．（24-25高三上·河南南阳·月考）数列满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2023·四川·模拟预测）在数列中，，，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23高二下·江西上饶·期末）已知数列满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．为等比数列
C． D．
4．（23-24高二下·辽宁大连·月考）已知数列满足，，是数列的前n项和，则（ ）
A．510 B．508 C．1013 D．1011
考向14 分析构造法2：正负“调和”构造
满足，称为正负“调和”型，可以借助奇偶讨论，整体求和来构造
5．（25-26高二上·福建厦门·月考）在数列中，，.记是数列的前项和，则（ ）
A．1325 B．1300 C．1350 D．1375
6．（25-26高三上·河南周口·期中）已知数列的前n项和为，，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．若，则
7．（22-23高三下·湖南长沙·月考）已知数列满足：.则的前60项的和为（ ）
A．1240 B．1830 C．2520 D．2760
8．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列{an}满足,且其前62项的和为1885，则 ．
考向15 分析构造法3：分段“跳项”
分段型递推公式，主要是讨论型： 1.分段数列 2.奇偶各自是等差，等比或者其他数列。
9．（23-24全国模拟预测）已知数列满足，，则该数列的前22项和为（ ）
A．69 B．88 C．89 D．96
10．（2023·吉林长春·一模）已知数列，，，且，则数列的前30项之和为（ ）
A．15 B．30 C．60 D．120
11．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列的各项均为正整数，，若，则的所有可能取值组成的集合为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，，则数列的通项公式为 .
冲刺练
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（25-26高二上·重庆·期末）若数列的首项为1，且，设，则数列的前20项和为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知首项为3的数列的前n项和为，若，则（ ）
A．3 B． C． D．－2
3．（25-26河北模拟预测）记数列的前项和满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26全国专题练习）已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26全国模拟预测）已知数列满足，，若，都有，其中,，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高二上·福建泉州·期末）已知数列中，，且，，数列的前项和为，表示不超过的最大整数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26贵州模拟预测）在数列中，，，若，，则的取值范围为（ ）
A． B．（-1,1） C． D．
8．（25-26高三全国专题练习）已知数列的前项和，若实数满足恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（25-26福建模拟预测）记为数列的前项和，且，，则（ ）
A． B．为等比数列
C．数列单调递减 D．
10．（25-26高二上·宁夏吴忠·期末）已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．
11．（湖北省随州市2025-2026学年高二上学期期末数学试题）已知数列的前项和为，，且，则下列说法正确的有（ ）
A．数列为常数列
B．数列为等比数列
C．记数列的前项和为，则
D．记数列的前项和为，则的最小值为
三、填空题
12．（25-26全国 模拟预测）已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则实数的范围为 .
13．（25-26高三上·山东东营·期末）记数列的前项和为，已知，（），则 .
14．（25-26广东模拟预测）设数列的前n项和为，，且对任意的都有．若存在，使得，则实数等于 ．
结束
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