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重难点13 直线与圆
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近三年：结合近三年高考数学全国卷，直线与圆作为解析几何的基础模块，考查形式稳定、重点突出，主要以选择题、填空题为主（偶尔在解答题中作为第一问铺垫），难度中等偏上，核心围绕 “定义性质 + 运算求解 + 数形结合” 展开。 预测2026年：结合近三年高考数学全国卷命题规律、核心考点演变及参考资料中的趋势，2026 年直线与圆模块的考察将延续 “基础稳定、综合深化、思维聚焦” 的特点，同时在跨模块融合、场景创新、难度梯度上呈现新趋势，具体备考复习有如下几点： 1.考查稳定，形式灵活：直线与圆的基础知识点（方程、位置关系）每年必考，命题形式结合含参问题、分类讨论，避免直接套用公式，强调逻辑推理。 2、数形结合为核心思想：多数题目需结合图形分析（如弦中点轨迹、切线长最值、两圆公切线），仅靠代数运算易漏解（如忽略无斜率的直线）。 3.综合度提升，关联其他模块：常与三角函数（含参直线的三角函数参数型）、向量（如最值）、抛物线 、 椭圆（切线与圆锥曲线结合）关联，考查综合应用能力。 。
考向01 含参直线1：双直线同参型
一般情况下，过定点 直线系： 过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0. 直线含参不包含的直线： 若直线含参，参数在x系数出，则不包含竖直，如y=k（x-1）+1，不含x=1 若直线含参，参数在y的系数出，则不含水平，如x+m（y-1）+2=0，不含y=1 若直线参数在常数位置，则为一系列平行线，如x+y+c=0与y=-x平行 如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。 1.每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。 2.两条动直线如果所含参数字母是一致的，则可以分别求出各自斜率，通过斜率之积是否 是-1，确定两条直线是否互相“动态垂直”。 3.如果两条动直线“动态垂直”，则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。 4.如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上，则可以通过设角，三角代换，进行线段的最值求解计算 而对于过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线处理，可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0. 如： （1）含有1个未知参数， 不论m为何值时，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点 (－2,3) （2）含有2个未知参数 过定点 （3）含有3个未知参数 已知A＋B＋C＝0，则直线Ax＋By＋C＝0必过定点(1,1)
1．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知为圆上动点，直线和直线（，）的交点为，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由、可得，且过定点，过定点，则可得点在以为直径的圆上，则的最大值为.
【详解】由、，
有，故，
对有，故过定点，
对有，故过定点，
则中点为，即，
，则，
故点在以为直径的圆上，该圆圆心为，半径为，
又在原，该圆圆心为，半径为，
又，则.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于由直线、的方程得到，且过定点，过定点，从而确定点的轨迹为以为直径的圆，进而将问题转化为圆上两点的距离最值问题.
2．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·月考）设，．若动直线与交于点A，C，动直线与交于点B，D，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出圆的圆心和半径，求出两条直线位置关系和经过的定点，作出图像，设圆心到其中一条直线的距离为d，根据几何关系表示出，利用基本不等式即可求出其最大值.
【详解】，
圆心，半径，
过定点，
过定点，且⊥，
如图，设和中点分别为F、G，则四边形为矩形，

设，，则，
则＝
，当且仅当即时取等号.
故选：B.
3．（22-23高三上·贵州贵阳·月考）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法错误的是（ ）
A．点的坐标为 B．
C． D．的最大值为5
【答案】D
【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解.
【详解】因为可以转化为，
故直线恒过定点A，故A选项正确；
又因为：即恒过定点B，
由 和 , 满足 ，
所以 , 可得 , 故B选项正确；
所以 , 故C选项正确;
因为 , 设为锐角,
则,
所以, 所以当 时, 取最大值 , 故选项D错误.
故选：D.
4．（2022高三·全国·专题练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由两直线方程求出的坐标，由于两直线垂直，所以，若设，则，，然后表示出变形后，利用三角函数的性质可求得其范围.
【详解】解：由题意可知，动直线经过定点，
动直线，即，经过点定点，
动直线和动直线的斜率之积为，始终垂直，
又是两条直线的交点，，．
设，则，，由且，可得，
，，，，，
，，，，故选：B．
【点睛】关键点点睛：此题考查直线过定点问题，考查两直线的位置关系，考查三角函数的应用，解题的关键是由已知得到，通过三角换元转化为利用三角函数的性质求的取值范围，考查数学转化思想，属于较难题.
考向02 含参直线2：三角函数参型
圆的动切线 到直线系距离，每条直线的距离 ， 直线系表示圆的切线集合
5．（24-25全国专题练习）在直角坐标系中，全集，集合，已知集合A的补集所对应区域的对称中心为M，点P是线段（，）上的动点，点Q是x轴上的动点，则周长的最小值为（ ）
A．24 B． C．14 D．
【答案】B
【分析】根据集合可判断出集合表示圆,再画图,根据做对称点的方法转换的周长,再求最小值即可.
【详解】∵点到直线的距离,
∴直线始终与圆相切,
∴集合A表示除圆以外所有的点组成的集合,
∴集合表示圆,其对称中心如图所示：设是点关于直线线段（）的对称点,设,则由求得,可得.设关于x轴的对称点为,易得,则直线,和线段的交点为P,则此时,的周长为,为最小值.
故选：B
【点睛】本题主要考查了点到直线距离公式的应用以及“将军饮马”问题的应用,需要根据题意作出对称点,再转换所求求最值即可.属于难题.
6．（22-23高三广东模拟测试）设直线系，对于下列四个命题：
（1）中所有直线均经过某定点；
（2）存在定点不在中的任意一条直线上；
（3）对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上；
（4）中的直线所能围成的正三角形面积都相等；
其中真命题的是（ ）
A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）
【答案】A
【分析】先求出直线 的几何特征，再逐项分析即可.
【详解】原点O 到直线的距离为 ，所以直线M始终是圆O： 的切线；
对于A，由于 的变化，直线M是围绕圆O旋转的，没有定点，错误；
对于B，O点不在直线M上，正确；
对于C，如果圆O是该正多边形的内切圆，则其所在的边必定在M上，正确；
对于D，正 的三边所在的直线均与圆相切，可以分为切点全在边上或者一个切点在边上，两个切点在边的延长线上两种情况，三角形面积不相等，错误；
故选：A.
7．（23-2全国专题练习）设直线系M：，对于下列四个命题：
①M中所有直线均经过一个定点；
②存在无数多个点不在M中的任一条直线上；
③对于任意整数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；
④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
其中真命题为（ ）
A．①②④ B．②③ C．②③④ D．③④
【答案】B
【分析】点到直线系中每条直线的距离，直线系表示圆的切线的集合.从切线的角度逐一判断各个命题即可得到答案.
【详解】因为点到直线系中每条直线的距离，直线系表示圆的切线的集合.
①：由于直线系表示圆的所有切线，其中存在两条切线平行，中所有直线均经过一个定点不可能，故①不正确；
②：直线系表示圆的所有切线，故圆内部的点不在中的任一条直线上，所以存在无数多个点不在中的任一条直线上，故②正确；
③：由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上，故③正确；
④：如图，中的直线所能围成的正三角形有两类，其一是如是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，故④不正确.
故选：B.

8．（21-22高三吉林模拟）已知集合直线l，其中m，n是正常数，，下列结论中正确的是（ ）
A．当时，S中直线的斜率为
B．S中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面
C．当时，S中的两条平行线间的距离的最小值为2n
D．S中所有直线均经过同一个定点
【答案】C
【分析】对于A：代入根据直线方程求斜率即可判断；对于BD：举反例说明即可；对于C：分析可知直线l与曲线相切，结合圆和椭圆的性质分析判断.
【详解】对于选项A：当时，则，
所以S中直线的斜率，故A错误；
对于选项B：因为不满足方程，所以S中的所有直线不可覆盖整个平面，故B错误；
对于选项C：设，
可知点在直线l上，也在曲线上，
联立方程，消去y可得：，解得，
可知直线l与曲线相切，若，可知曲线表示半径为n的圆，
所以S中的两条平行线间的距离均为2n；
若，可知曲线表示短半轴长为的椭圆，所以S中的两条平行线间的距离的最小值为2n；
综上所述：S中的两条平行直线间的距离为，故C正确；
对于选项D：若，则直线为，若，则直线为，
两直线平行，没有公共点，所以S中所有直线不可能经过同一个定点，故D错误；
故选：C.
【点睛】关键点点睛：对于C：联立方程证明直线l与曲线相切，将距离问题转化为切线问题，进而分析判断.
考向03 直线方程系
直线系型： (1)平行线系：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为：Ax＋By＋m＝0(m≠C)； (2)垂直线系：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为：Bx－Ay＋n＝0； (3)交点线系：过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.
9．（24-25高三上·江苏·月考）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据条件求，再根据两点确定一条直线，求直线方程，根据垂直关系，即可求中垂线方程.
【详解】由条件可知，，，
且，两式相加得，
即，得，
点是直线和的交点，所以，
所以点满足直线，即直线方程为，
，与直线垂直的直线方程的斜率为，
所以中垂线方程为，整理为.
故选：A
10．（20-21高三上·浙江·月考）已知点，是曲线（为非零常数）上两个不同的点，则关于x，y的方程组的解的情况，下列说法错误的是（ ）
A．当时，对任意的，方程组总是有解
B．当时，对任意的，方程组总是有解
C．当时，存在，使方程组有唯一解
D．当时，存在，使方程组有唯一解
【答案】A
【解析】对的解的情况，即考虑两条直线的斜率之间的关系，即考虑方程的根的个数，也就是两函数与的图象之间交点的个数，分类讨论验证即可.
【详解】由题知．对的解的情况，
即考虑两条直线的斜率
之间的关系，即考虑方程的根的个数，也就是两函数与的图象之间交点的个数．
当时，存在使得图象，有两个交点，即，两条直线平行，即方程无解，故A选项错误；也存在，使得两图象没有交点，即无解，即两直线相交，方程组有唯一解，故选项C正确；
当时，图象有且仅有一个交点，故方程的解存在且唯一，不存在不同的点，使得无解，即两直线相交，方程组有唯一解B和D选项均正确，
故选：A．
【点睛】本题考查直线的斜率、函数零点问题，考查转化思想，运算求解能力、推理论证能力．属于难题.
11．（23-24全国专题练习）在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，，下面四个命题中的假命题为（ ）
A．存在唯一的实数δ，使点N在直线上
B．若，则过M，N两点的直线与直线l平行
C．若，则直线经过线段M，N的中点；
D．若，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交；
【答案】A
【分析】根据题意对一一分析，逐一验证．
【详解】解：对于，化为：，即点，不在直线上，因此不正确．
对于，，则，即过，两点的直线与直线的斜率相等，又点，不在直线上，因此两条直线平行，故正确；
对于，，则，化为，因此直线经过线段的中点，故正确；
对于，，则，则点，在直线的同侧，故正确；
故选A
【点睛】本题考查了直线系方程的应用、平行直线的判定、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
12．（23-24全国专题练习）若点既是的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将两直线方程相减可得过两直线交点的直线方程，再将代入化简可求出直线的斜率，从而可求出线段的垂直平分线的方程.
【详解】直线与直线的方程相减可得，，
把点代入可得，
所以，
所以线段的垂直平分线的方程是，即，
故选：C
考向04 直线光学性质：将军饮马型
直线光学性质，即直线对称性质 关于轴对称问题： （1）点关于直线的对称点，则有； （2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
13．（2024高三·江苏·专题练习）已知：，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）.则斜率的取值范围是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先作出关于的对称点，再作关于的对称点，因为光线从点出发射到上的点经反射后，入射光线和反射光线都经过关于直线的对称点点，又因为再经反射，反射光线经过关于直线的对称点，所以只需连接 交与点，连接 分别交为点 ，则，之间即为点的变动范围.再求出直线，的斜率即可.
【详解】∵，，，
∴直线方程为，直线方程为，
如图，作关于的对称点，
∵，∴，再作关于的对称点，则，
连接 交与点，则直线ME方程为，∴，
连接 分别交为点 ，
则直线方程为，直线方程为，
∴，.
连接，，则，之间即为点的变动范围.

∵直线方程为，直线FH的斜率为，
∴斜率的范围为.
故选：D.
14．（23-24高三湖北专题练习）如图已知，若光线L从点射出，直线AB反射后到直线OB上，再经直线OB反射回原点P，则光线L所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由点P关于y轴的对称点，设点P关于直线的对称点列方程组求出，，从而求出直线，联立，得M点坐标，由此能求出光线L所在的直线方程．
【详解】由题意知，过点和点的直线为，且点，
设光线分别射在AB、OB上的M、N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，
根据反射规律，则。作出点P关于OB的对称点，作出点P关于AB的对称点，则
所以共线，因为，所以，点P关于y轴的对称点
设点P关于直线的对称点，解得
∴直线，即。联立，得
∴直线，即光线L所在的直线方程为。故选D．
【点睛】本题主要考查了直线方程的求法，考查点的对称、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
15．（22-23全国专题练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经过反射后又回到原点 （如下图）. 若光线经过的重心，则等于
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：建立如图所示的直角坐标系，可得，所以的方程为的重心坐标为，设分别是点关于直线和轴的对称点，设点，则，由光的反射原理可知，四点共线，所以，即，解得，故选D.
考点：直线关于点的对称问题.
【方法点晴】本题主要考查了与直线关于点、点关于直线的对称问题，其中解答中涉及到直线方程的求解、点关于直线的对称求解和两点间的斜率公式的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，其中牢记点关于直线对称的求解和转化与化归思想是解答本题的关键.
16．（25-26高二上·河北·期中）已知点P的坐标满足，其中，一条光线从点P射出经x轴反射后，与圆C：有公共点，则反射光线所在直线斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出点的轨迹方程和的范围，然后结合图象分析反射光线所在直线斜率的最小值和最大值，从而得出结果.
【详解】因为点P的坐标满足，得，
又，所以，，则，，
又，得，，，
如图所示，光线从点P射出经x轴反射后，与圆C：有公共点，
相当于点P关于x轴的对称点P′发出的光线与圆C有公共点，
则可求过点与圆C相切的直线斜率为，，则反射光线所在直线斜率的最小值为.
再求圆：与圆C的内公切线斜率，
因为圆与圆C的半径相同，故内公切线必过线段的中点，
可设内公切线斜率为k，则内公切线为，即
得，解得，故反射光线所在直线斜率的最大值为.
故选：A.
考向05 数形结合：两点距离
求解形如的式子的最小值思路： （1）先将问题转化为点到点的距离之和问题； （2）画出图示，必要时借助点关于直线的对称点知识进行分析； （3）根据距离之和的最小值得到原式的最小值.
17．（23-24高三上·重庆南岸·月考）已知x，，若恒成立，则实数m的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】的几何意义为两动点与的距离，A在曲线上，B在曲线上，为抛物线的焦点，的最小值就是，即求点到曲线上点的最小值，通过设点，由两点间距离公式，利用导数求最值.
【详解】的几何意义为两动点与的距离，
A在曲线上，B在曲线上，抛物线开口向右， 焦点，
作出两曲线与的图象，如图所示，
可得 ，，的最小值就是，即求点到曲线上点的最小值. 取曲线上点，，令，则，
函数单调递增，且，则有在上为负，在上为正，
所以在上单调递减，在上单调递增，，则的最小值为，
即的最小值为，所以实数m的最大值是.故选：D.
【点睛】思路点睛：某些代数式的最值问题，用代数方法解决相当繁琐，如果所求代数式具有某种几何意义，根据代数问题的结构特征，联想几何背景，建立解析几何基本模型，然后再利用解析几何的有关公式、性质、图形特征、位置关系探求解法，能使我们在的问题简化，使解题变得更轻松，这对于开拓思路，提高和培养分析问题、解决问题的能力大有裨益.
18．（2024高三吉林模拟测试）已知函数，则（ ）
A．的最小值为8 B．的最小值为9
C．有1个实根 D．有1个实根
【答案】B
【分析】先设点的坐标，把函数转化为，再结合图形特征得出最小值即可.
【详解】是抛物线上一点，
到直线的距离为
到点的距离为，所以当共线时，取最小值，
最小值为到的距离.
因为，且的最小值为，
所以的最小值为9，且在交点或处取到，
故选：B.
19．（21-22高三山西模拟预测）设平面点集包含于，若按照某对应法则，使得中每一点都有唯一的实数与之对应，则称为在上的二元函数，且称为的定义域，对应的值为在点的函数值，记作，若二元函数，其中，，则二元函数的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】二元函数的几何意义是动点到定点距离的和，结合三点确定的线段和差关系即可得解.
【详解】依题意，因，，则点在由直线围成的矩形ABCD区域内(含边界)，如图，
而表示动点到定点距离的和，在矩形ABCD及内部任取点P，
连接PO，PA，PQ，PC，AC，于是有，当且仅当点P在线段OQ上时取“=”，，当且仅当点P在线段AC上时取“=”，
于是得，当且仅当点P是线段OQ与AC的交点时取“=”，
显然直线AC：与y轴交点在线段OQ上，即当点时，，
所以二元函数的最小值为7.
故选：C
考向06 数形结合：绝对值型
利用点到直线ax+by+c=0的距离公式d=的结构特征，常常可以将与绝对值余关的最值型题，构造转化为点到直线的距离来计算求解。
20．（20-21高二上·安徽池州·期中）已知，则的最小值为（ ）
A． B．3
C． D．6
【答案】C
【解析】将问题转化为“点到点的距离加上点到点的距离加上点到点的距离之和的最小值”，采用分类讨论的方法并画出辅助图示求解出最小值.
【详解】因为表示点到点的距离，表示点到点的距离，
表示点到点的距离，设，
则表示的长度和，
显然当点与点在轴的非负半轴上，对应原式的结果更小，
当均不在坐标原点，如下图所示：
考虑到求解最小值，所以，设关于原点的对称点为，
所以；
当其中一个在坐标原点，如下图所示：
此时分别有，，
所以；
当都在坐标原点时，，
综上可知：的最小值为，
故选：C.
【点睛】思路点睛：求解形如的式子的最小值思路：
（1）先将问题转化为点到点的距离之和问题；
（2）画出图示，必要时借助点关于直线的对称点知识进行分析；
（3）根据距离之和的最小值得到原式的最小值.
21．（高三上·河北石家庄· 模拟）已知实数满足，，则的最大值为
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】设点在圆上，且，原问题等价于求解点A和点C到直线距离之和的倍的最大值，据此数形结合确定的最大值即可.
【详解】设点在圆上，且，
原问题等价于求解点A和点C到直线距离之和的倍的最大值，
如图所示，易知取得最大值时点A,C均位于直线下方，
作直线于点，直线于点，
取的中点，作直线于点，
由梯形中位线的性质可知，
当直线时，直线方程为，
两平行线之间的距离：，
由圆的性质，
综上可得：的最大值.
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查距离公式的应用，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
22．（2023高三·全国·专题练习）“类比推理”简称“类比”，是一种重要的逻辑推理方法，也是研究问题、发现新结论的重要方法．下面通过“类比”所得到的结论中不正确的是（ ）
A．设O为平面内任一点，则A，B，C三点共线当且仅当存在a，b满足，使得．类比到空间得：设A，B，C不共线，则A，B，C，D四点共面当且仅当存在实数a，b，c满足，使得
B．已知平面内点到直线的距离为．类比到空间得：空间中点到平面的距离为
C．设平面内不过坐标原点的直线与x轴和y轴的交点分别为，，则直线的（截距式）方程为．类比到空间得：空间中不过坐标原点的平面与x轴、y轴和z轴的交点分别为，，，则平面的（截距式）方程为
D．设平面内一直线与x轴和y轴所成的角分别为，，则有．类比到空间得：设空间中一直线与x轴、y轴和z轴所成的角分别为，，，则有
【答案】D
【详解】根据法向量的余弦的结论可知．D选项错误．故选D．
23．（24-25高三 全国专题练习）空间直角坐标系中，定义经过点且法向量为的平面方程为，平面外的一点到平面的距离．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，在轴上求一点使它到平面的距离为6，则点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据平面外一点到平面的距离公式代入计算解方程即可得结果.
【详解】设点的坐标为，
由题意可知，即，解得或；
所以点的坐标为或.故选：D
24．（22-23高二上·贵州铜仁·期末）若对圆上任意一点，的取值与，无关，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【分析】将转化为点到直线的距离，数形结合，可求出的取值范围.
【详解】依题意表示到两条平行直线和的距离之和的5倍．
因为这个距离之和与x，y无关，
故两条平行直线和在圆的两侧，如图所示，
故圆心到直线的距离，
解得或.
当时，直线在圆的右下方，不满足题意，所以舍去.
所以.
故选：A

考向07 圆轨迹及阿圆
已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k，且K不等于1的点P的轨迹，是一个圆心在A、B两个点的所在直线上的圆 。这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆 即PA=KPB，k不等于1，则P点轨迹是一个圆，可直接设点推导.
1．（23-24高三湖南 模拟预测）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则以下正确的序号为（ ）
①存在轴上的唯一点对，，使得为常数
②存在轴上的无数个点对，，使得为常数
③存在直线（）上的唯一点对，，使得为常数
④存在直线（）上的无数个点对，，使得为常数
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【答案】B
【分析】易得圆关于直线轴对称，设，（），，再根据对恒成立求出的关系式，再根据关于的方程的解的个数即可得出答案.
【详解】圆心坐标为，圆心在轴上，
所以圆关于直线轴对称，
设，（），，
则，
即对恒成立，
所以，所以，所以，
所以且，所以且且，
即有无数组解，所以①错误，②正确；
因为直线（）定点，
所以圆关于直线（）对称，
根据上推理得，存在直线上的无数个点对，，使得的值与的位置无关，
所以③错误，④正确．
故选：B.
【点睛】关键点点睛：设，（），，再根据对恒成立求出的关系式，判断出关于的方程的解的个数是解决本题的关键.
2．（22-23高三浙江模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线l：与动点Q的轨迹交于A，B两点，记动点Q轨迹的对称中心为点C，则当面积最大时，直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意，求的轨迹方程，根据三角形的面积公式，求得面积最大时，点到的距离，可得方程，结合直线过定点，以及求解斜率，解得答案.
【详解】由题意，，则，，则，
由动点Q轨迹的对称中心为点C，则动点Q轨迹是以为圆心，半径为的圆，
易知为等腰三角形，故的面积，
当面积取得最大值时，取的最大值，则，
此时求得的高，点到直线的距离，
故，，，，解得，
由直线的方程，则，且直线的斜率，
令，解得，则直线过定点，
，同理可得，
故直线的方程为，
故选：D.
3．（2024·四川宜宾·三模）在直三棱柱中，，，点P在四边形内（含边界）运动，当时，点P的轨迹长度为，则该三棱柱的表面积为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意得，其中，从而根据题意列方程可求得，根据棱柱表面积公式即可求解.
【详解】
设，因为，所以由棱柱的性质可得，
因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，
点P在四边形内（含边界）运动，当时，
，这意味着点是在以为圆心为半径的圆弧上运动，
该圆弧弧长是圆周周长，由题意，解得，
所以该三棱柱的表面积为.
故选：C.
4．（24-25高三·福建莆田·模拟预测）中，，为边上一点且，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正弦定理确定外接圆的半径，进而确定轨迹方程，即可求解.
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，建系，
由题意：，，所以外接圆的半径为，的垂直平分线为：，
所以可设外接圆的圆心为：，所以，解得：，
所以点的轨迹为：，除去两点，
的最大值为为到点的轨迹圆心的距离加上半径2，
即，故选：B
考向08 切线转化最值型
切线，基本方法和思维，是转化为如下图的对称切线三角形。 切线转化： 1.转化为定点、切点、圆心三点三角形，可以借助勾股定理（或者三角函数正余弦）求解。 2.转化为圆心到切点弦距离最值求解
5．（23-24高三·重庆·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆上的点，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由圆的性质将求的最大值转化为求的最大值，再设点，由在椭圆上消，建立关于的函数关系式求解最值即可.
【详解】由圆的圆心，半径为.
连接，则，且，则，故当取最大值时，最大.
由在椭圆上，设，则，则，
，则当时，取最大值，最大值为，此时
所以.故选：D.
6．（2024高三全国专题练习）已知圆的圆心为抛物线的焦点，且与直线相切，再由直线上的一点向该圆引切线，则这条切线长的最小值为（ ）．
A．1 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】由抛物线的焦点坐标得到圆心坐标，由点到直线的距离求出半径，最后求出圆心到直线的距离，从而求出切线长最小值.
【详解】因为抛物线的焦点为，即圆心为，所以圆的方程为，
又圆与直线相切，所以，
所以圆的方程为，
则圆心到直线的距离，所以最短切线长为.故选：D．
7．（24-25高三重庆模拟预测）已知直线与圆，点，在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，当取最小值时，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由切线长公式知当时，最小，结合点到直线距离公式求得的最小值，然后作关于直线的对称点，可知当点为直线与的交点时，最小，由对称知此时与重合，从而易得最小值．
【详解】，所以当时，最小，
由点到直线的距离公式可得此时，
过作直线的对称点，再连接，与直线的交点即为所找的点，
由于关于直线对称，，与关于直线对称，
因此与就是同一条直线，即点就是点，
所以的最小值等于，故选：C．
8．（24-25高三全国 专题练习）已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由切线长公式知当时，最小，结合点到直线距离公式求得的最小值，然后作关于直线的对称点，可知当点为与直线的交点时，最小，由对称知，此时与重合，从而易得最小值．
【详解】由可知圆心为，半径，
由题意，所以当时，取最小值，
由点到直线的距离公式可得，此时，
过作直线的对称点，连接，，与直线的交点即为所求的点，
由于与关于直线对称，，与关于直线对称，
因此与就是同一条直线，即点即为所求的点，
所以的最小值为.故选：C
考向09 切点弦应用
求切点弦方法： 1.公共弦法：过圆外一点作圆的切线，则切点与四点共圆，线段就是圆的一条直径．两圆方程相减可得公共弦所在直线方程． 2二级结论法：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
9．（高三·北京·强基计划）从圆上的点向椭圆引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为（ ）
A． B． C． D．前三个答案都不对
【答案】A
【分析】算出椭圆内与切点弦不相交的点的边界的方程，从而可求区域的面积.
【详解】设圆上一点为，
则对应切点弦所在直线l的方程为即，
故，故椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积即为椭圆围成的面积，其面积为.
故选：A
10．（2024高三·江苏·专题练习）已知点P在直线l：上，过点P作圆C：的切线，切点分别为A，B，则弦AB的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】易得P，A，C，B四点共圆，该圆以PC为直径，求出相交圆公共弦所在直线方程，由弦长公式利用二次函数求最值．
【详解】圆C：的标准方程为 ，圆心，半径，
点P在直线l：上，设，则易得P，A，C，B四点共圆，该圆以PC为直径，
方程为：，即，
与圆C的方程相减，得到弦AB所在直线的方程为：，
则圆心C到直线AB的距离，当时，取得最大值，
由勾股定理，d取得最大值时，取得最小值，且．故选：B
11．（2022·陕西宝鸡·模拟预测）已知圆，直线，过上的点作圆的两条切线，切点分别为，则弦中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据弦中点为直线和的交点，可设，求得直线的方程，再利用以为直径的圆与圆的方程作差，求得直线的方程，再消去即可求得的轨迹方程
【详解】易得弦中点为直线和的交点，设，则直线的方程为，又均与圆相切，故，故四点共圆，且为以为直径的圆与圆的公共弦.又以为直径的圆的方程为，即，故的方程为相减，即.又，所以，代入有，化简得.当时，；当时，均满足方程.
又当时，不满足题意.
综上有点的轨迹方程为
故选：B
12．（21-22高三上·全国·月考）已知椭圆的焦距为，过上一点作圆的两条切线，切点分别是，，若弦长的最大值为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得，求出在点、处的切线方程为、，进而可得切点弦方程为，求出圆心到直线的距离，由最大值可得的最小值，进而可得最大值即为，由离心率公式即可求解.
【详解】因为椭圆的焦距为，可得，设，，，
因为直线的斜率为，因为在点处的切线方程为：即，
同理在点处的切线方程为：，因为两切线相交于点，所以，
因为，同时满足直线的方程，所以直线即为切点弦的方程，
此时圆心到直线：的距离，所以弦长，因此弦长的最大值为，取得最小值为，所以最大值为，又的几何意义是点到原点的距离，因为点到原点的距离最大值为，所以，
所以椭圆的离心率为，故选：D.
考向10 圆切线角度型
和圆的切线有关的角度问题，难度较难.圆有关的角度恒成立求参数范围问题，可通过数形结合的方式将角度问题转化为长度问题，寻求恒成立的临界条件，由此构建不等式求解出参数范围.
13．（20-21高三·江西景德镇·期末）已知是抛物线的焦点，若直线过点，且与抛物线交于，两点，以为直径作圆，圆心为，设圆与轴交于点，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设设， 的中点，直线：与 联立可得，由韦达定理计算，，再求以为直径作圆的半径，求出圆心点横坐标，设的中点为，则，由圆的性质可得并求出其范围，进而可得的范围，再讨论斜率不存在时的值，即可求解.
【详解】由抛物线可知，焦点，设， 的中点设直线：代入可得，所以 ，
，，
所以，以为直径作圆的半径，圆心为的中点，设的中点为，则，则 且，所以，
当不存在时，，此时，，，，所以
可得，所以的取值范围是故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是联立直线与抛物线的方程，求出圆的半径和圆心坐标，由圆的性质知圆心与弦中点的连线与弦垂直可求出的范围，进而可计算的范围.
14．（2024·江西·模拟预测）已知直线与圆：相交于，两点，为坐标原点，若锐角的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆的性质可得，弦所对的圆周角等于圆心角的一半，利用面积公式求出，即可得出.
【详解】圆：整理得，可知圆心为，半径为，且圆过原点，根据圆的性质可得，弦所的圆周角等于圆心角的一半，锐角的面积为，
，
，则，解得.故选：B.
【点睛】本题考查圆的性质，考查三角形面积公式，属于基础题.
15．（高三·江苏·模拟预测）直线与圆心为的圆交于，两点，直线，的倾斜角分别为，，则______.
【答案】
【分析】由三角形的外角与不相邻的内角的关系，得到，再利用圆的性质建立两个倾斜角的等量关系，化简整理得到，再利用正切的倍角公式，即可求解.
【详解】设直线的倾斜角为，可得，
由三角形的外角与不相邻的内角的关系，可得，
由圆的性质可知，直线过圆心，是等腰三角形，
所以，所以，可得，
所以.故答案为：.
【点睛】本题主要考查了圆的方程，直线的方程及直线的倾斜角，正切的倍角公式，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了推理与运算能力.
16、（22-23高三·黑龙江模拟预测）为圆上的一个动点，平面内动点满足且 (为坐标原点)，则动点运动的区域面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出图形，然后过点作圆的切线，可得出，利用锐角三角函数得出，可得出，由题意得出动点运动的区域为两个圆心角为的弓形，计算出两个弓形的面积之和即可得出答案.
【详解】如下图所示：
过点作圆的切线，连接、，则，，
且，由锐角三角函数的定义得，
，过点作圆的切线交圆于、两点，
则点的轨迹为图中阴影部分所表示的区域，为两个弓形，
，则，为等边三角形，则，
因此，动点运动的区域的面积为.
故选：B.
【点睛】本题考查动点运动区域面积的计算，解题的关键就是确定动点的轨迹区域，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
考向11 圆定点型
形如过x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线可设：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0. 圆过定点，可以类比含参直线过定点。形如，则圆恒过交点。 也可以借助圆的定义。
17．（24-25高三 浙江模拟预测）已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且，动点P的轨迹为C，已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|＝l1，|DB|＝l2，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用数量积运算可得动点P的轨迹C方程，设M进而得到⊙M的方程为：，可得A(a+2，0)，B(a－2，0)，利用两点之间的距离公式可得，，再利用基本不等式即可得出．
【详解】设P(x，y)，则Q(x，－1)，
∵，∴(0，y+1)(－x，2)＝(x，y－1)(x，－2)，∴2(y+1)＝x2－2(y－1)，
∴x2＝4y．∴动点P的轨迹C为：x2＝4y．设M．（a∈R）．则⊙M的方程为：．化为．令y＝0，则x2－2ax+a2＝4，
解得x＝a+2，或a－2．取A(a+2，0)，B(a－2，0)．∴|DA|＝l1，|DB|＝l2．
当a≠0时，，当且仅当a时取等号．当a＝0时，2．
综上可得：的最大值为．故选：C．
18．（24-25高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆①当时，圆E的一般式方程是__________;②圆E恒过的两个定点是__________.
【答案】
【分析】设所求圆的一般方程为，分别令、，即可求解；
【详解】①当时，
二次函数的图象与两坐标轴交于点，，，
的外接圆为圆E，
设所求圆的一般方程为，，
令，得，由题意可得，这与是同一个方程，
故，
令，得，由题意可得，
此方程有一个根为，代入此方程得出，
所以圆E的一般方程为；
②设所求圆的一般方程为，，
令，得，由题意可得，这与是同一个方程，
故，
令，得，由题意可得，此方程有一个根为，
代入此方程得出，所以圆E的一般方程为，
当时，或，
故圆E恒过定点.
故答案为：；
【点睛】思路点睛：本题的思路为先设所求圆的一般方程为，分别令、，得到圆的方程，结合题意得出参数的值，即可求解.
19.（2023·吉林长春·模拟预测）已知圆的圆心在抛物线上运动，且圆过定点，圆被轴所截得的弦为，设，，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】设，即可表示出圆的方程，从而求出，再设，由题意知，．所以，再由的范围求出的取值范围．
【详解】设，则，故圆的方程，
令有，故，解得，，
故．设，因为，
所以，又由余弦定理可得，所以，
所以，
因为，所以，所以当且仅当时，原式有最大值，
当且仅当时，原式有最小值为，从而的取值范围为．
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是首先求出的值，再利用解三角形的知识得到、，将式子进行三角转化，结合三角函数的性质计算可得.
20.（2024·安徽合肥·模拟预测）已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】按点的位置分不在坐标轴与在坐标轴上两种情况讨论，结合圆的标准方程，点在圆上，以及方程根的情况综合分析的值即可.
【详解】当点在第一象限时，圆，的方程为的形式，
代入点的坐标，可得关于的方程，
圆，的半径，是该方程的两个不同实根，
所以，同理，当点在第二、三、四象限时也可得．
当点在轴上时，，
此时圆，的圆心分别位于第一、二象限（或第三、四象限），两圆在点处相切，
且，满足．
同理，当点在轴上时，，同样满足．
故选：C.
【点睛】结论点睛：圆的标准方程为，其中圆心为，半径为.
考向12 折线系数不同型“将军饮马
折线系数不同型 “将军饮马” 是经典将军饮马问题的拓展，核心区别为所求折线段各段带有不同系数权重（如∣PA∣+k∣PB∣，k?=1），无法直接用 “对称点化折为直” 的经典方法求解，需结合阿氏圆、相似三角形、轨迹转化、点到直线距离等知识，将带系数的线段进行等价转化，再回归 “化折为直” 的核心思想求最值。 转化思维步骤： 将带系数的线段k∣PB∣等价转化为无系数的线段∣PB′∣（即构造k∣PB∣=∣PB′∣，B′为新定点 / 轨迹上的点），将原式转化为∣PA∣+∣PB′∣，再利用 “两点之间线段最短” 或 “点到直线 / 圆的距离最值” 求解。转化的关键在于根据系数k的几何意义，结合动点P的轨迹选择对应方法，
21．（24-25高三下·江西九江·月考）已知，点P为直线上的一动点，点Q为上的一动点，则|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据可得，即可根据，根据三点共线即可得三点共线时，且垂直于直线时距离最小，即可根据点到直线的距离公式求解.
【详解】设，则，
令，则且，
所以，得对任意成立，
则，则，
当三点共线时，且垂直于直线时，有最小值，即点M到直线的距离，等于．故选：A
22．（24-25高三上·山东德州·开学考试）已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过构造关系找到定点，将最值转化为求的最值，进而转化为最值，则点线距求解可得.
【详解】∵，∴.∴P点轨迹是以点为圆心，为半径的圆，记为圆C，设在x轴上存在定点，使得圆上任意一点，满足，
则，化简得，
又∵，代入得，要使等式恒成立，则，即.
∴存在定点，使圆上任意一点P满足，则，当三点共线（位于两侧）时，等号成立.
又点为直线上一动点，则的最小值即为点到直线的距离，
由到直线距离，则.故.
如图，过作直线的垂线段，垂线段与圆的交点即为取最值时的点，此时取到最小值.
故选：D.
【点睛】方法点睛：借助可以转化,最后把动点到定点的距离转化为到点到直线的距离，进而由几何性质求解最值.
23．（24-25·福建厦门·月考）已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用直线过定点及两直线位置关系先确定P的轨迹，取点构造相似结合三角形三边关系计算即可.
【详解】因为直线，直线，易知，
且分别过定点，取其中点，易知，
则P点在以C为圆心，3为半径的圆上，取点，连接,
不难发现，则，所以，
则，
当且仅当三点共线，且与线段和圆C的交点重合时取得等号.
故选：A.
24．（2024届广西壮族自治区贵港市高考模拟预测数学试题）已知圆C：，直线l：，若l与圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出圆的圆心及半径，直线所过定点，借助向量运算得，利用三角代换结合辅助角公式及三角函数性求出最大值.
【详解】圆C：的圆心为，半径为2，
直线l的方程可化为，于是l过定点，且，
显然，即，
又，因此，
设，，显然，
则，其中，当时等号成立，此时，
，符合条件，
所以的最大值为．
故选：D

【点睛】思路点睛：涉及并求关于的二元函数的最值，可以令，借助三角变换及三角函数性质求解.
考向13 两圆公切线型
求两圆公切线，要注意以下几点 1.要注意防止遗漏无斜率的垂直公切线：仅设y=kx+b会漏掉垂直于 x 轴的切线，需单独验证； 2.运用点到直线距离公式时候绝对值符号讨论不全：外公切线和内公切线的符号需严格区分，否则会漏解 或者增解； 3.未结合位置关系验证：求解出的切线需匹配两圆的公切线条数，多余的解要舍去； 4.斜率不存在时强行计算：若求解k时出现分母为 0 或者方程无解，直接考虑垂直切线即可。
25．（25-26高三安徽·模拟预测）已知满足等式的有序数对有且仅有一个，则__________.
【答案】或
【分析】由已知等式变形得出，设直线的方程为，可知点到直线的距离为，点到直线的距离为，即是圆（半径为）和圆（半径为）的公切线，对圆、圆的位置进行分类讨论，数形结合可求得的值.
【详解】由变形得，
设直线的方程为，
该等式可理解为点到直线的距离为，点到直线的距离为，
即是圆（半径为）和圆（半径为）的公切线，根据题意这样的公切线仅有一条.

情形一：圆与圆内切，则是两圆唯一的公切线，则，得，
情形二：圆与圆相交，一条公切线过原点，另一条公切线为，
因为直线不过原点，该情形下也是唯一的，如图，两条切线的交点为，
与两个圆的切点分别为、，
因为，所以，可得点，切线的方程为，即，
此时.故答案为：或.
26．（2024·上海奉贤·三模）已知正方体的棱长为，，，…，为正方形边上的个两两不同的点．若对任意的点，存在点.使得直线与平面以及平面所成角大小均为，则正整数的最大值为______．
【答案】8
【分析】先确定当线与平面所成角大小均为时，，满足的条件，同理当直线与平面所成角大小均为时，，满足的条件，再考虑如何作出，即可.
【详解】如图：
设，为正方形的两个点，且满足直线与平面所成的角为，过作于，连接，则为线与平面所成的角，是.
所以.
所以在平面内，以为圆心，为半径做圆，取为圆上一点，过作圆的切线，切线与正方形边的交点即为，.
又，所以与平面所成的角为，所以以为圆心，为半径做圆，做该圆的切线，与正方形边的交点即为，.如图：
因为，所以与相离，两圆有4条公切线，与正方形的边有8个交点.
在这8个点中，任选一个点，存在点.使得直线与平面以及平面所成角大小均为.
故答案为：8
【点睛】关键点点睛：本题的关键是弄清楚，点的作法.先根据直线与平面所成角的概念，判断，应满足的条件，以后的问题就好想多了.
27.（25-26高三 辽宁模拟预测）在平面直角坐标系中，点到直线的距离等于2，点到直线的距离等于3，若满足条件的直线恰有2条，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据圆的定义，将点到直线的距离问题转化为圆的切线问题，通过两圆的位置关系判断公切线的条数，进而求出参数范围.
【详解】满足点到直线的距离等于2的直线为以为圆心，2为半径的圆的切线，
满足点到直线的距离等于3的直线为以为圆心，3为半径的圆的切线，
因为满足条件的直线恰有2条，所以两圆的公切线有且仅有2条，
又两圆外切时有3条公切线，内切时有1条公切线，相离时有4条公切线，相交时有2条公切线，
所以两圆相交，即两圆的圆心距需满足.
又，，，
所以，即，，
解得且.
故答案为：.
28．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】设两圆心，由圆心到切线距离等于半径求出，再结合求出即可计算.
【详解】两圆的一条公切线的方程为 即过点，
不妨设两圆心，则，
则，，
则，故.故选：D
冲刺练
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知实数x，y满足，则的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分段探讨方程表示的曲线特征并作出图形，确定目标函数的几何意义，借助平行线间距离公式数形结合求出范围.
【详解】当时，，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆的一部分，
当时，，方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线的一部分，其渐近线为，
当时，，方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线的一部分，其渐近线为，
当时，，方程表示的曲线不存在，
作出方程表示的曲线，如图：
曲线上任意点到直线的距离，
则表示曲线上任意点到直线距离的2倍，
显然曲线的渐近线平行于直线，直线的距离，
令平行于直线且与曲线在第一象限部分相切的直线为，
由，消去得，则，
解得，即直线，直线的距离，
观察图形，得，即，解得，
所以的取值范围是.
2．（25-26·湖北·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，若为等腰直角三角形，则的值为（ ）
A．1 B．7 C．1或7 D．1或
【答案】D
【分析】由题意可得，圆的圆心为，半径为2，结合是等腰直角三角形，可得圆心到直线的距离等于，再利用点到直线的距离公式，从而可求得的值．
【详解】解：由题意得，圆的圆心为，半径为2，
由于直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形，
可知，，
所以，
∴圆心到直线的距离等于，
再利用点到直线的距离公式可得：
圆心到直线的距离，
解得：或，所以实数的值为1或.
故选：D．
3．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知三点，点在圆上运动，则的值不可能取到的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出点的坐标，利用两点间距离公式求出，再借助三角代换求出其范围即可判断.
【详解】设，由点在圆上运动，得，令，
则，，，
因此
，其中锐角由确定，
所以不可能取到的值是125.
故选：D
4．（25-26高三全国专题练习）已知、，则函数的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】将函数看作点和点与的距离之和，可得，由此求得函数的最小值.
【详解】函数的几何意义是点和点与的距离的和．
由不等式，可得当，，三点共线，且点在线段上时，等号成立．
此时取得最小值，最小值为．
故选：A．
5．（2025·江苏·模拟预测）已知直线恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直线过定点分析可知，且三点共线，可知弦的中点的轨迹是以为圆心，半径的圆，根据点到直线的距离公式可得，结合圆的性质分析求解即可.
【详解】直线，即为，
令，解得，
即直线恒过定点，
圆的圆心为，半径，
因为，可知点在圆内，
直线与圆相交，
又因为，可知三点共线，
设弦的中点为，则，
且，，
则，即，
可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆（点除外），
设点到直线的距离分别为，
则，且点到直线的距离分别为，
可得，
设点到直线的距离分别为，
则，，，
可得，
所以的最大值为.
故选：C.
6．（25-26高三上·江苏无锡·月考）与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题知直线分别过定点，，又易得，所以可得点的轨迹为圆，设为弦的中点，再由向量的加法运算和圆与圆的位置关系可得到最值.
【详解】依题意得，半径，设点坐标为，
直线恒过点，直线恒过点，
因为，所以，则，即，
所以点的轨迹是以为直径的圆，的中点为，
，
故点的轨迹为圆，但是去掉点，其中，
若点为弦的中点，位置关系如图：
，连接，由，易知，
故点在以为圆心，半径为1的圆上，
，直线为，
联立与得或（舍去），
又点为圆上的点，
，
此时.
故选：B
7．（2025·浙江金华·一模）若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将题干条件，结合几何知识转化为圆心到直线的距离需满足，解该不等式即可求解．
【详解】当直线与圆相交时，如图所示，若A、B离直线越近时，直至与直线和圆C的两交点重合，此时，
若A、B相距越来越近时，直至A、B两点重合，此时，
所以一定存在A、B及P，使得；
当直线与圆相切时，同直线与圆相交分析可知，一定存在A、B及P，使得；
当直线与圆没有公共点时，对直线上的任一点P，若A、B相距越来越近时，直至A、B两点重合时，仍有，
另一方面，若PB与圆C相切于B，PA与圆C相切于A，此时必为该P点所能达到的最大情况，如图所示，
由图可知，，CP最短时，
即等于圆心C到直线的距离d，最大，也最大，同时最大，
所以若圆上存在两点，直线上存在点，使得，
则必有，解得，又因为圆的半径，
圆心到直线的距离，
所以，解得．
故选：A．
8．（23-24高二上·湖北襄阳·月考）过点作斜率为的直线交圆于A，两点，动点满足，若对每一个确定的实数，记的最大值为，则当变化时，的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】首先确定P与圆的位置关系，令且P是内分比点，若为外分比点，由阿氏圆易知P、Q在以的中点C为圆心的圆上，且最大值为圆的直径，讨论及数形结合判断的最大情况的最小值.
【详解】由题设，即在圆内，
令且，显然P是内分比点，若为外分比点,
则，此时的中点C为P、Q所在阿氏圆的圆心，
对于每一个确定的实数k，的最大值为，即重合时为对应圆直径，
根据圆的对称性，如上图，讨论的情况，而,
当为直径时，，
此时，可得，
故的最大值为，
当不是为直径时，，，且增减趋势相同，
由，得，显然接近于1时趋向无穷大，
此时的最大值为趋向无穷大.
综上，的最小值是1.
故选：A
二、多选题
9．（25-26高三上·江西南昌·月考）已知曲线，曲线由组成，圆，则（ ）
A．当时，与圆无公共点
B．当与圆有6个公共点时，
C．不存在过原点的直线与无公共点
D．上仅有4个点到直线的距离为
【答案】ABC
【分析】根据圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系即可求出.
【详解】依题意可知为圆
为圆为圆，
这3个圆的半径均为2，且.
当时，，则圆与这3个圆都外离，所以与圆无公共点，A正确.
当与圆有6个公共点时，圆与这3个圆都相交，则，解得，B正确.
设过原点的直线为直线，若直线曲线都相交，
则，
即，无解，
不存在过原点的直线与无公共点所，C正确.
因为到直线的距离为且与其平行的直线为，
且到直线的距离为，到直线的距离为，
到直线的距离为，到直线的距离为，
到直线的距离为，到直线的距离为，
所以直线与共有6个公共点，即上有6个点到直线的距离为，D错误.
故选：ABC.
10．（25-26高三浙江模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知圆上恰有3个点到直线的距离为.设点，，，点是圆上的任意一点，过点作于，则下列说法中正确的有（ ）

A．
B．点的轨迹方程为
C．的最小值为
D．圆上存在唯一点，使得取到最小值
【答案】ABC
【分析】对于A，根据直线与圆的位置关系可得；对于B，易得，即可得到点M的轨迹方程；对于C，设，则，在中，根据余弦定理得，再由即可得到；对于D，设，得到点，利用几何意义可判断；
【详解】对于A，因为圆心到直线的距离，
又圆上恰有3个点到直线的距离为，
所以，即，故A正确 ；
对于B，由题知，所以在以为直径的圆上（与B不重合），
所以点M的轨迹方程为，故B正确；
对于C，设，则，
在中，，
即，
又
，
当，即时取等，故C正确；
对于D，设在轴上一点，使，
所以，整理得，
又点在圆上，
所以，解得，
则，当三点共线时取等，
又，原点到直线的距离，
所以，如图符合题意的点有两个，故D错误；

故选：ABC.
11．（24-25高三下·山东·开学考试）已知圆，点为直线与轴的交点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则（ ）
A．若直线与圆相切，则 B．时，四边形的面积为
C．的取值范围为 D．已知点，则为定值
【答案】ACD
【分析】选项A：利用圆心到直线的距离等于半径，计算可得；
选项B：利用求出长，根据相切得到的四边形面积，等于两个全等的直角三角形面积和，计算可得；
选项C：利用求出长，在直角中，表示出，进而利用倍角公式求出，最后利用数量积公式计算可得；
选项D：利用四点共圆，且为此圆直径，求出此圆方程，再利用作差，求出相交弦所在直线方程，判断出过定点，利用判断出在以为圆心的圆上；选项D也可以利用圆极点极线性质，通过坐标，直接写出方程，进而求解.
【详解】解：圆转化为标准方程为，,在直角中，；
对于A:若直线与圆相切，圆心到直线的距离，解得，所以A正确;
对于B:当时，，，，
四边形的面积，所以B错误;
对于C:
，
因为，所以，
由对勾函数在上单调递增，所以，所以C正确;
对于D:方法一：当时，存在与轴的交点，，，
所以四点共圆，且为此圆直径，圆心为，半径为，
此圆方程为：，
因为是此圆与圆的相交弦，故直线方程为两圆方程作差，
即，化简得：，
所以直线AB经过定点,
因为，所以，因为在直线AB上，所以，
即点在以为直径的圆上，因为，，所以圆心恰为点，半径为，
因为点在该圆上，所以为定值，所以D正确.
方法二：利用圆的极点极线性质，当时，存在与轴的交点，切点所在直线AB的方程为，化简得，所以直线AB经过定点,
因为，所以，因为在直线AB上，所以，
即点在以为直径的圆上，因为，，所以圆心恰为点，半径为，
因为点在该圆上，所以为定值，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】此题考查的是圆切线相关问题：
（1）直线与圆相切的判断方法：圆心到直线距离等于半径；
（2）通过勾股定理，求切线长；
（3）通过直角三角形和余弦的倍角公式，利用表示张角的余弦值；
（4）利用四点共圆或极点极线性质，求切点弦所在直线方程；
（5）极点极线性质：当在圆外时，过作圆的两条切线，两个切点所在直线方程为：.
三、填空题
12．（2025高三·全国·专题练习）已知实数满足，则的最小值为_____．
【答案】
【分析】解法1：分别讨论和两种情况，作出表示的区域，根据斜率公式及图形关系，求出相切时的斜率，综合分析，即可得答案；解法2：根据，代入所求，化简整理，可得所求的表达式，结合解法1，即可得答案.
【详解】解法1：① 当时，则，在区域上考虑目标函数最值，
此时
令，表示点与点连线的斜率，
如图，作出区域的图象，设点，过点A作实线弧的切线，设切点为B，
则，所以，
所以，即，
依题意，需使，则；
② 当时，则，在区域上考虑目标函数最值，
此时，
令表示点与点连线的斜率，
作出区域的图象，设点，过点D作实线弧的切线，
切点分别为C，E，切线DE与x轴交于点F，如图所示，
则，所以，
则，所以，由题意，需使，
则， 当且仅当时取等号.
综上可得，的最小值为．
解法2：利用
得，当时，（以下同法1）；
当时，（以下同法2）．
故答案为：
13．（25-26高三山西模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值且的点的轨迹是圆”．后来，人们将这样的圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，点是当的阿氏圆上的动点．若点为抛物线上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，则的最小值为___________．
【答案】
【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得，当且仅当四点共线时取等号.
【详解】设，已知，，
则，化简整理得，
所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆；
抛物线的焦点，准线方程为，
则，
当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，
又，
所以的最小值为.
故答案为：
14．（25-26高三全国专题练习）已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为_______．
【答案】
【分析】利用直线过定点及两直线位置关系先确定的轨迹，取，证明，再根据两点之间线段最短可求解.
【详解】当时，，此时交点为，
当时，由直线，斜率为k；
由直线，斜率为，所以，
又，所以直线恒过点，
，所以直线恒过，
若M为，的交点，则，
所以点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，E点，
综合以上两种情况，点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，
则圆心为的中点，圆的半径为，
故M的轨迹方程为，即，
又，易知在该圆内，又由题意可知圆C上一点
满足，取，则，满足，
下面证明任意一点都满足，即，
因为，
又，
所以，所以，又，
所以，如图，当且仅当三点共线，且M位于N，D之间时，等号成立，
即最小值为.故答案为：.
结束
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)重难点13 直线与圆
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近三年：结合近三年高考数学全国卷，直线与圆作为解析几何的基础模块，考查形式稳定、重点突出，主要以选择题、填空题为主（偶尔在解答题中作为第一问铺垫），难度中等偏上，核心围绕 “定义性质 + 运算求解 + 数形结合” 展开。 预测2026年：结合近三年高考数学全国卷命题规律、核心考点演变及参考资料中的趋势，2026 年直线与圆模块的考察将延续 “基础稳定、综合深化、思维聚焦” 的特点，同时在跨模块融合、场景创新、难度梯度上呈现新趋势，具体备考复习有如下几点： 1.考查稳定，形式灵活：直线与圆的基础知识点（方程、位置关系）每年必考，命题形式结合含参问题、分类讨论，避免直接套用公式，强调逻辑推理。 2、数形结合为核心思想：多数题目需结合图形分析（如弦中点轨迹、切线长最值、两圆公切线），仅靠代数运算易漏解（如忽略无斜率的直线）。 3.综合度提升，关联其他模块：常与三角函数（含参直线的三角函数参数型）、向量（如最值）、抛物线 、 椭圆（切线与圆锥曲线结合）关联，考查综合应用能力。 。
考向01 含参直线1：双直线同参型
一般情况下，过定点 直线系： 过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0. 直线含参不包含的直线： 若直线含参，参数在x系数出，则不包含竖直，如y=k（x-1）+1，不含x=1 若直线含参，参数在y的系数出，则不含水平，如x+m（y-1）+2=0，不含y=1 若直线参数在常数位置，则为一系列平行线，如x+y+c=0与y=-x平行 如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。 1.每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。 2.两条动直线如果所含参数字母是一致的，则可以分别求出各自斜率，通过斜率之积是否 是-1，确定两条直线是否互相“动态垂直”。 3.如果两条动直线“动态垂直”，则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。 4.如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上，则可以通过设角，三角代换，进行线段的最值求解计算 而对于过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线处理，可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0. 如： （1）含有1个未知参数， 不论m为何值时，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点 (－2,3) （2）含有2个未知参数 过定点 （3）含有3个未知参数 已知A＋B＋C＝0，则直线Ax＋By＋C＝0必过定点(1,1)
1．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知为圆上动点，直线和直线（，）的交点为，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·月考）设，．若动直线与交于点A，C，动直线与交于点B，D，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三上·贵州贵阳·月考）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法错误的是（ ）
A．点的坐标为 B．
C． D．的最大值为5
4．（2022高三·全国·专题练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考向02 含参直线2：三角函数参型
圆的动切线 到直线系距离，每条直线的距离 ， 直线系表示圆的切线集合
5．（24-25全国专题练习）在直角坐标系中，全集，集合，已知集合A的补集所对应区域的对称中心为M，点P是线段（，）上的动点，点Q是x轴上的动点，则周长的最小值为（ ）
A．24 B． C．14 D．
6．（22-23高三广东模拟测试）设直线系，对于下列四个命题：
（1）中所有直线均经过某定点；
（2）存在定点不在中的任意一条直线上；
（3）对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上；
（4）中的直线所能围成的正三角形面积都相等；
其中真命题的是（ ）
A．（2）（3） B．（1）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）
7．（23-2全国专题练习）设直线系M：，对于下列四个命题：
①M中所有直线均经过一个定点；
②存在无数多个点不在M中的任一条直线上；
③对于任意整数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；
④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
其中真命题为（ ）
A．①②④ B．②③ C．②③④ D．③④
8．（21-22高三吉林模拟）已知集合直线l，其中m，n是正常数，，下列结论中正确的是（ ）
A．当时，S中直线的斜率为
B．S中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面
C．当时，S中的两条平行线间的距离的最小值为2n
D．S中所有直线均经过同一个定点
考向03 直线方程系
直线系型： (1)平行线系：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为：Ax＋By＋m＝0(m≠C)； (2)垂直线系：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为：Bx－Ay＋n＝0； (3)交点线系：过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.
9．（24-25高三上·江苏·月考）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）
A． B． C． D．
10．（20-21高三上·浙江·月考）已知点，是曲线（为非零常数）上两个不同的点，则关于x，y的方程组的解的情况，下列说法错误的是（ ）
A．当时，对任意的，方程组总是有解
B．当时，对任意的，方程组总是有解
C．当时，存在，使方程组有唯一解
D．当时，存在，使方程组有唯一解
11．（23-24全国专题练习）在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，，下面四个命题中的假命题为（ ）
A．存在唯一的实数δ，使点N在直线上
B．若，则过M，N两点的直线与直线l平行
C．若，则直线经过线段M，N的中点；
D．若，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交；
12．（23-24全国专题练习）若点既是的中点，又是直线与的交点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
考向04 直线光学性质：将军饮马型
直线光学性质，即直线对称性质 关于轴对称问题： （1）点关于直线的对称点，则有； （2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
13．（2024高三·江苏·专题练习）已知：，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）.则斜率的取值范围是（　　）

A． B． C． D．
14．（23-24高三湖北专题练习）如图已知，若光线L从点射出，直线AB反射后到直线OB上，再经直线OB反射回原点P，则光线L所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
15．（22-23全国专题练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经过反射后又回到原点 （如下图）. 若光线经过的重心，则等于
A． B．
C． D．
16．（25-26高二上·河北·期中）已知点P的坐标满足，其中，一条光线从点P射出经x轴反射后，与圆C：有公共点，则反射光线所在直线斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
考向05 数形结合：两点距离
求解形如的式子的最小值思路： （1）先将问题转化为点到点的距离之和问题； （2）画出图示，必要时借助点关于直线的对称点知识进行分析； （3）根据距离之和的最小值得到原式的最小值.
17．（23-24高三上·重庆南岸·月考）已知x，，若恒成立，则实数m的最大值是（ ）
A． B． C． D．
18．（2024高三吉林模拟测试）已知函数，则（ ）
A．的最小值为8 B．的最小值为9
C．有1个实根 D．有1个实根
19．（21-22高三山西模拟预测）设平面点集包含于，若按照某对应法则，使得中每一点都有唯一的实数与之对应，则称为在上的二元函数，且称为的定义域，对应的值为在点的函数值，记作，若二元函数，其中，，则二元函数的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
考向06 数形结合：绝对值型
利用点到直线ax+by+c=0的距离公式d=的结构特征，常常可以将与绝对值余关的最值型题，构造转化为点到直线的距离来计算求解。
20．（20-21高二上·安徽池州·期中）已知，则的最小值为（ ）
A． B．3
C． D．6
21．（高三上·河北石家庄· 模拟）已知实数满足，，则的最大值为
A． B．2 C． D．4
22．（2023高三·全国·专题练习）“类比推理”简称“类比”，是一种重要的逻辑推理方法，也是研究问题、发现新结论的重要方法．下面通过“类比”所得到的结论中不正确的是（ ）
A．设O为平面内任一点，则A，B，C三点共线当且仅当存在a，b满足，使得．类比到空间得：设A，B，C不共线，则A，B，C，D四点共面当且仅当存在实数a，b，c满足，使得
B．已知平面内点到直线的距离为．类比到空间得：空间中点到平面的距离为
C．设平面内不过坐标原点的直线与x轴和y轴的交点分别为，，则直线的（截距式）方程为．类比到空间得：空间中不过坐标原点的平面与x轴、y轴和z轴的交点分别为，，，则平面的（截距式）方程为
D．设平面内一直线与x轴和y轴所成的角分别为，，则有．类比到空间得：设空间中一直线与x轴、y轴和z轴所成的角分别为，，，则有
23．（24-25高三 全国专题练习）空间直角坐标系中，定义经过点且法向量为的平面方程为，平面外的一点到平面的距离．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，在轴上求一点使它到平面的距离为6，则点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
24．（22-23高二上·贵州铜仁·期末）若对圆上任意一点，的取值与，无关，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
考向07 圆轨迹及阿圆
已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k，且K不等于1的点P的轨迹，是一个圆心在A、B两个点的所在直线上的圆 。这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆 即PA=KPB，k不等于1，则P点轨迹是一个圆，可直接设点推导.
1．（23-24高三湖南 模拟预测）已知圆的方程为，为圆上任意一点，则以下正确的序号为（ ）
①存在轴上的唯一点对，，使得为常数
②存在轴上的无数个点对，，使得为常数
③存在直线（）上的唯一点对，，使得为常数
④存在直线（）上的无数个点对，，使得为常数
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
2．（22-23高三浙江模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，直线l：与动点Q的轨迹交于A，B两点，记动点Q轨迹的对称中心为点C，则当面积最大时，直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川宜宾·三模）在直三棱柱中，，，点P在四边形内（含边界）运动，当时，点P的轨迹长度为，则该三棱柱的表面积为（ ）
A．4 B． C． D．
4．（24-25高三·福建莆田·模拟预测）中，，为边上一点且，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
考向08 切线转化最值型
切线，基本方法和思维，是转化为如下图的对称切线三角形。 切线转化： 1.转化为定点、切点、圆心三点三角形，可以借助勾股定理（或者三角函数正余弦）求解。 2.转化为圆心到切点弦距离最值求解
5．（23-24高三·重庆·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆上的点，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三全国专题练习）已知圆的圆心为抛物线的焦点，且与直线相切，再由直线上的一点向该圆引切线，则这条切线长的最小值为（ ）．
A．1 B． C．3 D．
7．（24-25高三重庆模拟预测）已知直线与圆，点，在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，当取最小值时，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三全国 专题练习）已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
考向09 切点弦应用
求切点弦方法： 1.公共弦法：过圆外一点作圆的切线，则切点与四点共圆，线段就是圆的一条直径．两圆方程相减可得公共弦所在直线方程． 2二级结论法：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
9．（高三·北京·强基计划）从圆上的点向椭圆引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C内不与任何切点弦相交的区域面积为（ ）
A． B． C． D．前三个答案都不对
10．（2024高三·江苏·专题练习）已知点P在直线l：上，过点P作圆C：的切线，切点分别为A，B，则弦AB的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
11．（2022·陕西宝鸡·模拟预测）已知圆，直线，过上的点作圆的两条切线，切点分别为，则弦中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．（21-22高三上·全国·月考）已知椭圆的焦距为，过上一点作圆的两条切线，切点分别是，，若弦长的最大值为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
考向10 圆切线角度型
和圆的切线有关的角度问题，难度较难.圆有关的角度恒成立求参数范围问题，可通过数形结合的方式将角度问题转化为长度问题，寻求恒成立的临界条件，由此构建不等式求解出参数范围.
13．（20-21高三·江西景德镇·期末）已知是抛物线的焦点，若直线过点，且与抛物线交于，两点，以为直径作圆，圆心为，设圆与轴交于点，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·江西·模拟预测）已知直线与圆：相交于，两点，为坐标原点，若锐角的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
15．（高三·江苏·模拟预测）直线与圆心为的圆交于，两点，直线，的倾斜角分别为，，则______.
16、（22-23高三·黑龙江模拟预测）为圆上的一个动点，平面内动点满足且 (为坐标原点)，则动点运动的区域面积为（ ）
A． B． C． D．
考向11 圆定点型
形如过x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线可设：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0. 圆过定点，可以类比含参直线过定点。形如，则圆恒过交点。 也可以借助圆的定义。
17．（24-25高三 浙江模拟预测）已知点F(0，1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且，动点P的轨迹为C，已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|＝l1，|DB|＝l2，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．2 D．3
18．（24-25高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆①当时，圆E的一般式方程是__________;②圆E恒过的两个定点是__________.
19.（2023·吉林长春·模拟预测）已知圆的圆心在抛物线上运动，且圆过定点，圆被轴所截得的弦为，设，，则的取值范围是__________．
20.（2024·安徽合肥·模拟预测）已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为（ ）
A． B． C． D．
【点睛】结论点睛：圆的标准方程为，其中圆心为，半径为.
考向12 折线系数不同型“将军饮马
折线系数不同型 “将军饮马” 是经典将军饮马问题的拓展，核心区别为所求折线段各段带有不同系数权重（如∣PA∣+k∣PB∣，k?=1），无法直接用 “对称点化折为直” 的经典方法求解，需结合阿氏圆、相似三角形、轨迹转化、点到直线距离等知识，将带系数的线段进行等价转化，再回归 “化折为直” 的核心思想求最值。 转化思维步骤： 将带系数的线段k∣PB∣等价转化为无系数的线段∣PB′∣（即构造k∣PB∣=∣PB′∣，B′为新定点 / 轨迹上的点），将原式转化为∣PA∣+∣PB′∣，再利用 “两点之间线段最短” 或 “点到直线 / 圆的距离最值” 求解。转化的关键在于根据系数k的几何意义，结合动点P的轨迹选择对应方法，
21．（24-25高三下·江西九江·月考）已知，点P为直线上的一动点，点Q为上的一动点，则|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
22．（24-25高三上·山东德州·开学考试）已知点为直线上一动点，点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
23．（24-25·福建厦门·月考）已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
24．（2024届广西壮族自治区贵港市高考模拟预测数学试题）已知圆C：，直线l：，若l与圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
考向13 两圆公切线型
求两圆公切线，要注意以下几点 1.要注意防止遗漏无斜率的垂直公切线：仅设y=kx+b会漏掉垂直于 x 轴的切线，需单独验证； 2.运用点到直线距离公式时候绝对值符号讨论不全：外公切线和内公切线的符号需严格区分，否则会漏解 或者增解； 3.未结合位置关系验证：求解出的切线需匹配两圆的公切线条数，多余的解要舍去； 4.斜率不存在时强行计算：若求解k时出现分母为 0 或者方程无解，直接考虑垂直切线即可。
25．（25-26高三安徽·模拟预测）已知满足等式的有序数对有且仅有一个，则__________.
26．（2024·上海奉贤·三模）已知正方体的棱长为，，，…，为正方形边上的个两两不同的点．若对任意的点，存在点.使得直线与平面以及平面所成角大小均为，则正整数的最大值为______．
27.（25-26高三 辽宁模拟预测）在平面直角坐标系中，点到直线的距离等于2，点到直线的距离等于3，若满足条件的直线恰有2条，则实数的取值范围是___________.
故答案为：.
28．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（ ）
A． B．2 C． D．3
冲刺练
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知实数x，y满足，则的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（25-26·湖北·模拟预测）已知直线与圆相交于两点，若为等腰直角三角形，则的值为（ ）
A．1 B．7 C．1或7 D．1或
3．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知三点，点在圆上运动，则的值不可能取到的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高三全国专题练习）已知、，则函数的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2025·江苏·模拟预测）已知直线恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高三上·江苏无锡·月考）与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·浙江金华·一模）若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24高二上·湖北襄阳·月考）过点作斜率为的直线交圆于A，两点，动点满足，若对每一个确定的实数，记的最大值为，则当变化时，的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、多选题
9．（25-26高三上·江西南昌·月考）已知曲线，曲线由组成，圆，则（ ）
A．当时，与圆无公共点
B．当与圆有6个公共点时，
C．不存在过原点的直线与无公共点
D．上仅有4个点到直线的距离为
10．（25-26高三浙江模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知圆上恰有3个点到直线的距离为.设点，，，点是圆上的任意一点，过点作于，则下列说法中正确的有（ ）

A．
B．点的轨迹方程为
C．的最小值为
D．圆上存在唯一点，使得取到最小值
11．（24-25高三下·山东·开学考试）已知圆，点为直线与轴的交点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则（ ）
A．若直线与圆相切，则 B．时，四边形的面积为
C．的取值范围为 D．已知点，则为定值
三、填空题
12．（2025高三·全国·专题练习）已知实数满足，则的最小值为_____．
13．（25-26高三山西模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值且的点的轨迹是圆”．后来，人们将这样的圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，点是当的阿氏圆上的动点．若点为抛物线上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，则的最小值为___________．
14．（25-26高三全国专题练习）已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为_______．
结束
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