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专题01 集合与常用逻辑用语
易错点1 忽略集合中元素的互异性
易错典题
【例1】（25-26高三上·湖北孝感高级中学期中）已知集合，若，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C．2或 D．1或
【答案】B
【解析】若，则集合B是集合A的子集，所以或.
当时，，则，不满足集合中元素的互异性，不合题意（易错点）；
求得后，容易忽视回代检验，从而致错
当时，，即，解得：或（易错点），
注意将参数值回代到集合中去，检验集合中元素的互异性
若，则，不满足集合中元素的互异性，不合题意；
若，则，符合题意.
故实数的值为2.
故选：B.
【错因分析】本题易忽略集合元素的互异性而错选C或D.
知识混淆：对 “集合” 概念理解不全面，忽略 “集合中的元素具有互异性” 这一特性，从而未将求得的值回代到集合中去检验.
概念模糊：对 “元素与集合间的关系” 的逻辑推导不清晰，未系统分析 “集合A或B中元素不满足互异性” 的可能性，导致思维存在漏洞.
望文生义：利用集合的运算求得a的值后，就想当然认为所求得的a值即为最终结果，未结合参数a的取值对集合A,B中元素是否满足互异性进行全面分析.
避错攻略
【方法总结】建立 “先求参数的值，再回代集合检验”的思维流程，牢记 “集合中的元素具有互异性”.
【知识链接】1.集合中元素的三大特性
(1)确定性：判断对象能否构成集合的依据．
(2)互异性：常用于检验解的合理性，如求解集合中元素含有参数的问题，先根据其确定性列方程，求出值后，再根据其互异性检验．
(3)无序性：常用于判断集合相等．
2.根据元素与集合以及集合间关系求参数的三大步骤
第一步：求解，根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值；
第二步：检验，根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验；
第三步：作答，此处所有符合题意的字母取值（范围）.
举一反三
【变式1-1】（25-26高三上·浙江宁波六校期中）已知集合，，则（ ）
A．-1 B．-3或1 C．3 D．-3
【变式1-2】（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知，若，则（　　）
A． B．1 C．2 D．3
【变式1-3】（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知实数集合，，若，则（ ）
A． B． C． D．
易错点2 集合运算中忽略空集
易错典题
【例2】（2024·全国卷）已知集合A={x∣x2 3x+2=0}，B={x∣ax=1}，若B A，则a的取值集合是
A．{0，1， } B．{1， } C．{0， } D．{0，1 }
【答案】A
【解析】解方程x2 3x+2=0，因式分解得(x 1)(x 2)=0，解得x=1或x=2，因此A={1,2}.
集合B={x∣ax=1}，需分B= 和B≠ 两种情况讨论（易错点）：
不要忽视考虑B= 这一种情况
情况 1：B= 方程ax=1无解，此时a=0（因为当a=0时，0 x=1无实数解）.空集是任何集合的子集，故a=0符合条件.
情况 2：B≠ 此时a≠0，方程ax=1的解为x=.因为B A，所以必须是A中的元素，即=1或=2：
若=1，解得a=1；若=2，解得a=.
综上，a的取值为0、1、，因此a的取值集合为{0，1， }.
【错因分析】求解 “B A” 类问题时，漏算B= 的情况.
知识混淆：对 “子集” 概念理解不全面，忽略 “空集是任何集合的子集” 这一特殊性质，仅关注B为非空集合的情况.
概念模糊：对 “集合包含关系” 的逻辑推导不清晰，未系统分析 “B为空集” 的可能性，导致思维存在漏洞.望文生义：看到 “ax=1” 就默认方程有解，想当然认为B一定非空，未结合参数a的取值对集合B存在性的影响进行全面分析.
避错攻略
【方法总结】建立 “先判空集，再分析非空”的思维流程，牢记 “空集是任何集合的子集”.
【知识链接】1.集合与元素关系的判断方法
(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．
【提醒】若集合是有限集，可将集合中的元素化简并一一列出，再与有限集内的元素进行逐个对照，确定是否存在与其相等的元素，进而判断集合与元素的关系；若集合是无限集，可将元素变形，看能否化为集合中元素的形式，也可以代入集合的约束条件，判断是否满足，若满足则属于该集合，否则不满足.
2.对于集合之间的关系常用到的结论：
(1)子集的传递性：A B，B C A C.
(2)A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
(3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故当B A时，应分B＝ 和B≠ 两种情况讨论.
3.破解集合间基本关系的方法：数轴法、Venn图法.
举一反三
【变式1-1】（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知集合，，若, 则a的值是 （ ）
A．1 B． C．1或 D．或
【变式1-2】（24-25高三上·河北定州中学·阶段测试）设集合.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
易错点3 集合区间端点混淆
易错典题
【例3】（25-26高三上·河南·开学考试）已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】（1），，
因为等价于，
所以（易错点），
注意各端点值处的等号是否取得到
解得，
所以实数的取值范围为.
（2）因为等价于，
若，则（易错点），
注意此处需取等号
即时，符合题意；
若，则，无解（易错点）；
列式时要考虑自身满足的条件：，同时要注意端点值是否取等号
综上，实数的取值范围为.
【错因分析】
由集合间的关系或运算求参数的值或取值范围时，容易因在区间端点处取不取等号而致错.
知识混淆：对两集合间“包含和真包含” 概念理解不全面，从而导致列式时端点值该取等号时不取等号，不能取等号时取等号.
概念模糊：对 “集合包含关系” 的逻辑推导不清晰，未系统分析 “区间端点处是否能取等号”，导致思维存在漏洞.
望文生义：分析两集合间关系时，对区间端点值想当然认为能取等号，或者想当然认为不能取等号，未结合数轴或Venn图进行全面分析.
避错攻略
【方法总结】结合数轴或Venn图，将集合表示出来，数形结合确定区间端点的取舍.
【知识链接】集合运算的常见运算性质：
1.A∩B＝B∩A；A∩B A；A∩B B；A∩A＝A；A∩＝.
2. A∪B＝B∪A;A A∪B;B A∪B;A∪A＝A,A∪＝A
3. A∪( UA)＝U，A∩( UA)＝
举一反三
【变式3-1】（25-26高三上·河南·阶段练习）设全集，已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
【变式3-2】(25-26高三上·北京·期中联考）已知全集，集合，，
(1)分别求和；
(2)若，求的取值范围；
(3)若，求的取值范围.
易错点4 充要条件颠倒逻辑
易错典题
【例4】（25-26高三上·浙江宁波·阶段测试）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若命题“，”为假命题，
则命题的否定“，”为真命题，
即，恒成立，
，，当，取得最大值，
所以，选项中只有是的真子集，
所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（易错点）.
要注意“A是B的充分条件”和“A的充分条件是B”的区别.
故选D
【错因分析】在判断充分性和必要性时，易错的地方是颠倒逻辑，混淆充分条件与必要条件.
知识混淆：不能区分“A的条件是B”和“A是B的条件”，将两者混为一谈.
概念模糊：对 “充分性和必要性” 的概念理解不够透彻，从而导致思维存在漏洞.
望文生义：判断或者探求充分性或必要性时，受思维定势的影响，认为“A的条件是B”等价于“A是B的条件”，而未从逻辑上去分析两者的区别.
避错攻略
【方法总结】在判断充分条件、必要条件、充要条件时，要特别注意哪一个是“条件”，哪一个是“结论”,否则将犯“张冠李戴”的错误.需注意：若p是q的…,则p是条件，q是结论;若p的…条件是q,则p是结论,q是条件.
【知识链接】1掌握充分、必要条件的概念及类型
(1)如果pq，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
(2)如果pq，但q p，则p是q的充分不必要条件；
(3)如果pq，且qp，则p是q的充要条件；
(4)如果qp，且p q，则p是q的必要不充分条件；
(5)如果p q，且q p，则p是q的既不充分又不必要条件.
2.灵活运用判断充分、必要条件的方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断；
(2)图示法：多个条件间关系的判断时，可以用用“ ”、“ ”、“ ”将条件彼此相连，然后再判断它们之间的关系.
(3)利用集合间的包含关系进行判断：
设满足条件p的对象组成的集合为A，满足条件q的对象组成的集合为B， 则由集合间的包含关系易得如下图表:
记法
关系
图示
结论 是的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件.
(4)举反例：要说明p是q的不充分条件,只要找到x0∈{x|p},但x0 {x|q}即可．
举一反三
【变式4-1】（24-25高三上·青海西宁·期中）已知，，则使成立的一个充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（25-26高三上·安徽马鞍山·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．是的充要条件
B．使不等式成立的一个充分条件是
C．若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是
D．若关于x的不等式在上的解集是空集，则实数的取值范围是
【变式4-3】（25-26高三上·广东东莞·阶段练习）已知集合.
(1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由；
(2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围.
易错点5 命题否定中量词与结论漏改
易错典题
【例5】（25-26高三上·河北·期中）设命题，，则的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】先变量词：将变为，
再否结论，将结论否定为：，
从而可得的否定为：，（易错点）.
既要变量词，又要否结论，缺一不可
故选C.
【错因分析】在写出含有一个量词的命题的否定时，要注意“变量词，否结论”，常见错误是只变量词，或者只否定结论.
知识混淆：以为命题的否定只需否定结论，或者只需修改量词，错因还是相关知识掌握不够透彻.
概念模糊：未正确理解 “命题的否定”的改写方法，从而导致思维受阻.
望文生义：写命题否定时，以为仅变量词或仅否结论即可，从而造成逻辑错误.
避错攻略
【方法总结】在写出含有一个量词的命题的否定时，只需先变量词，再否定结论即可.
【知识链接】1.全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有、每一个、任意、任何、一切等
存在量词 有些、有一个、存在等
2.全称量词命题与存在量词命题的否定
命题名称 符号表示 命题的否定
全称量词命题 x∈M，x具有性质p(x) x∈M，x不具有性质p(x)
存在量词命题 x∈M，x具有性质p(x) x∈M，x不具有性质p(x)
[微提醒]　对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词.
举一反三
【变式5-1】（25-26高三上·广东梅州·期中）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（多选）（25-26高三上·陕西商洛·阶段练习）已知命题：平行四边形的对角线相等，，则（ ）
A．是存在量词命题
B．是存在量词命题
C．：有些平行四边形的对角线不相等
D．是真命题
易错点6 由命题的真假求参时不能正确转化
易错典题
【例6】（25-26高三上·山西·阶段练习若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为为假命题，所以为真命题，
即当时，恒成立（易错点）.
本题易错之处是不能将问题转化为不等式恒成立问题求解
因为函数图象的对称轴为，
所以当时，，所以，
即，解得或，
即实数的取值范围为.
故选：D.
【错因分析】由含有一个量词的命题的真假求参数的值或取值范围时，不能正确进行转化，从而导致错解.
知识混淆：混淆“恒成立”与“能成立”.
概念模糊：未正确理解由含有一个量词命题的真假，从而导致无法正确转化.
望文生义：审题不清，从而导致思维混乱.
避错攻略
【方法总结】1.利用全称量词命题求解参数的范围
全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，这是一类综合性强，且有一定难度的问题，解决这类问题时，若能分离参数，则尽量利用分离参数法求解.
2.利用存在量词命题求解参数的范围
存在量词命题的常见题型是以满足某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句来表述，解答此类题目，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明.若推出合理的结论，则存在性得以解决；若导致矛盾，则否定了存在性.
【知识链接】1.命题p和 p的真假性相反，在判断命题的真假时，可先判断此命题的否定的真假.
2．判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假
(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题否定的关键.
(2)当命题否定的真假不易判断时，可以转化为去判断原命题的真假.当原命题为真时，命题的否定为假;当原命题为假时，命题的否定为真.
3．不等式的恒成立： (1)若，恒成立，则; (2)若，恒成立，则.
(3)设与的定义域的交集为D若D 恒成立则有. (4)若对、 ，恒成立，则. 4.不等式的能成立： (1)若，使得，则； (2)若，使得，则.
5.存在性与任意性并存：
(1)若对，，使得,则. (2)若对，，使得，则. (3)若，使得，则< .
4.子集思想的应用 已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B， 若对,，使得=成立，则.
举一反三
【变式6-1】（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）若“”为真命题，则实数的取值范围是 .
【变式6-2】（25-26高三上·福建厦门·期中）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 .
【变式6-3】（25-26高三上·陕西商洛·月考）已知p：，q：．
(1)若p为假命题，求实数a的取值范围；
(2)若p，q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
1．（25-26高三上·山东聊城·期中）已知命题，，则是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（25-26高三上·江苏连云港·期中）已知集合，，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
3．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知集合，，，则实数a取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高三上·新疆·月考）已知p：，；q：，，则（ ）
A．p是真命题，q是真命题 B．p是真命题，是真命题
C．是真命题，q是真命题 D．是真命题，是真命题
5．（25-26高三上·广西·期中）“函数在上单调”的一个必要不充分条件可以是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（25-26高三上·福建福州·阶段练习），已知，若“”的充要条件是“”，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（多选）（24-25高三上·广东广州·阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．不等式的解集是
B．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是
C．命题，，则，
D．，表示同一集合
10．（25-26高三上·河南·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“中只有一个元素”是“”的充要条件
D．“”是“”的既不充分也不必要条件
11．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）若命题“，使得”为真命题时，实数的取值集合为，则 .
12．（20-21高三上·江苏苏州·阶段练习）已知，，若“，，使得成立”为真命题，则实数的取值范围是 .
13．（25-26高二上·湖南永州·开学考试）已知恒成立，.如果中有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为 .
14．（25-26高三上·山东聊城·阶段练习）已知集合，集合，非空集合．
(1)“”是“”的充分条件，求实数b的取值构成的集合；
(2)命题p：“，都有”为真命题，求实数a的取值构成的集合．
15．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知函数的定义域是D，对于，定义集合.
(1)已知函数，求；
(2)已知函数，且，求实数m的取值范围；
(3)若函数，对任意的，，且，都有，求实数a的值.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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