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专题01 集合与常用逻辑用语、复数
目录
高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 集合关系与最值问题（） 题型二 集合的新定义问题（） 题型三 充要关系的判断（） 题型四 由充要关系求参数（） 题型五 复数的概念与运算（） 实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）
在高考中高频出现的考点及高考核心要求，必备知识体系如下：
1. 集合：运算为核，规范为基
核心运算：熟练掌握元素与集合的从属关系（∈、 ）、集合间的包含关系（ 、 、 ），以及交集（∩）、并集（∪）、补集（ A）的代数运算与图形求解法——数轴法（适用于数集运算，如专练中不等式解集的交并补）、Venn图法（适用于有限集计数，如专练中元素个数计算）。
符号规范：避免基础失误，如空集 的表示（不可写为{ }）、区间端点的虚实（如x≥2表示为[2,+∞)）、补集运算的全集限定（需明确U的范围）。
专练适配点：重点掌握“集合与不等式融合”题型（如专练中含一元二次不等式、绝对值不等式的集合运算），这是高考最高频的命题载体。
2. 常用逻辑用语：聚焦关联，强化推理
核心判断：充要条件判断为绝对核心（占该部分80%分值），需掌握“集合映射法”（小集合推大集合，如A B则A是B的充分条件）和“反例法”（否定必要性常用），且必须结合主干知识（如专练中与函数单调性、不等式成立的结合题型）。
命题否定：精准掌握全称量词命题与存在量词命题的否定规则——“改量词、否结论”，避免否定时只改结论不改量词的错误（如专练中命题否定辨析题）。
隐性逻辑：关注“逻辑与不等式恒成立”的融合（如专练中“不等式恒成立的充要条件”题型），这是近年隐性考查的重点。
3. 复数：运算为纲，兼顾意义
基础运算：四则运算中除法为绝对重点（5年5考），必须掌握“分母实数化”技巧（分子分母同乘分母的共轭复数）；加法、减法、乘法运算遵循多项式运算法则，注意i =-1的化简。
核心概念：明确复数a+bi（a,b∈R）的实部（a）、虚部（b）、模（）、共轭复数（a-bi）的定义，能根据概念求解参数（如专练中“复数为实数、纯虚数的条件”题型）。
几何意义：掌握复数与复平面内点（a,b）、平面向量的对应关系，能解决“复数模的几何意义”题型（如求|z-1+2i|的最小值，即点到(1,-2)的距离），这是近年上升趋势考点。
2026高考预测：集合以基础运算为送分核心，新定义题型、跨模块融合及解答题延伸为2026年主要考向；
常用逻辑用语聚焦充要条件判断（结合主干知识），兼顾命题否定与真假判断，隐性逻辑应用增强；复数侧重四则运算、实虚部与模的计算，几何意义考查概率上升，存在适度拓展趋势.……
1. 核心技巧方法：锚定应用，破解创新
集合：以交并补运算为基础，熟练运用数轴法（数集运算）、Venn图法（有限集计数）；重点突破跨模块应用（如结合函数定义域、概率统计元素计数），应对新定义题型时紧扣“定义本质+举例验证”核心技巧。
常用逻辑用语：充要条件判定优先用“定义法+集合法”（小集合推大集合），复杂场景需结合函数单调性、数列通项等主干知识化简命题；全称/存在量词命题否定严格遵循“改量词、否结论”规则。
复数：聚焦除法“分母实数化”核心运算，兼顾乘法、加减法的多项式化简规则；提升几何意义应用能力（复平面点与向量对应），强化概念与运算的衔接（如由实虚部条件求参数）。
2. 易错避坑指南：精准规避，提升效率
集合：避免空集遗漏（如含参数集合包含关系讨论）、区间端点虚实混淆（如x>2与x≥2的表示）、补集运算忽略全集限定；运算结果需用规范集合符号表示，不可直接写不等式。
常用逻辑用语：严防充分与必要条件颠倒（可通过“谁推谁”明确）、命题否定漏改量词（如“ x”误改为“ x”却不否结论）；恒成立问题需挖掘隐性逻辑关系。
复数：明确虚部是“实数b”（非bi），模的计算需化简为最简二次根式；几何意义应用时准确对应复平面点坐标（a+bi对应(a,b)）。
题型一 集合关系与最值问题结合
方法点拨：看到 A∩B= 需转化为两集合无公共元素，数集用数轴分析，点集结合函数图像，含参数时优先验证空集和区间端点
【典例01】（2025·福建厦门·三模）已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例02】（2025·山东济南·二模）已知集合，，有且只有2个子集，则实数（ ）
A． B． C．1 D．e
【变式01】（25-26高三上·安徽合肥·期末）已知关于的方程的解集有个子集，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式02】（2025·广东深圳·模拟预测）已知且，若集合，，且 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式03】已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（ ）
A． B． C． D．
题型二 集合的新定义问题
方法点拨：新定义问题关键是 "翻译" 定义，把抽象表述转化为熟悉的集合关系或几何意义，可通过特殊值、举例验证辅助理解
【典例01】（2025·上海·三模）已知集合是由平面向量组成的集合，若对任意，均有，则称集合是“凸”的，则下列集合中不是“凸”的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式01】（24-25高三上·浙江·月考）“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式02】（25-26高三上·广西南宁·月考）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”包含的函数个数为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．27
【变式03】（2025·甘肃平凉·模拟预测）设D是边长为3的等边及其内部的点构成的集合，点是的中心，集合，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型三 充要关系的判断
方法点拨：先化简前后两个命题（转化为集合或函数条件），优先用 "小集合推大集合" 的集合法，否定条件常用反例法
【典例01】（2025·湖北黄冈·二模）设，“曲线为椭圆”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式01】（2025·北京门头沟·一模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式02】.（2025·江西萍乡·三模）记，为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式03】.（25-26高三上·江西赣州·期中）“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型四 由充要关系求参数
方法点拨：先将充要关系转化为集合包含关系（必要不充分 q 对应集合 p 对应集合），列不等式组时注意端点虚实，避免遗漏空集情况
【典例01】（2025·黑龙江·一模）已知函数，若是上的增函数，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式01】（24-25高三上·辽宁·期中）已知集合，集合，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式02】.（2025·江西萍乡·三模）记，为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型五 复数的概念与运算
方法点拨：复数模长问题优先用几何法（转化为复平面内点的距离），求参数时先将复数化为标准形式，避免混淆虚部（虚部是实数 b 而非 bi）
【典例01】（2025·湖北黄冈·一模）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　）
A． B． C．2 D．
【变式01】（2025·安徽安庆·模拟预测）若复数z满足（为虚数单位），则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式02】．函数在区间上单调递减的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式03】.（25-26高三上·安徽·月考）设函数，则“”是“有三个不同的零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（限时训练：15分钟）
1．（2025·浙江·一模）已知正数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2025·江西景德镇·模拟预测）“关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
3.（2025·广西河池·三模）“，”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·天津·一模）设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5. （2025·湖南湘潭·一模）已知函数，数列满足，，则“为递增数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
6. （2025·河北秦皇岛·一模）已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7. （2025·甘肃白银·模拟预测）已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8. （2025·广东·模拟预测）若复数z满足，那么的最大值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
9．（2025·广东深圳·二模）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
10. （25-26高三上·山东临沂·期中）置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，.已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组，且中所有数之和为2026，则（ ）
A．1004 B．1007 C．1010 D．1013
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题01 集合与常用逻辑用语、复数
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高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 集合关系与最值问题（） 题型二 集合的新定义问题（） 题型三 充要关系的判断（） 题型四 由充要关系求参数（） 题型五 复数的概念与运算（） 实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）
在高考中高频出现的考点及高考核心要求，必备知识体系如下：
1. 集合：运算为核，规范为基
核心运算：熟练掌握元素与集合的从属关系（∈、 ）、集合间的包含关系（ 、 、 ），以及交集（∩）、并集（∪）、补集（ A）的代数运算与图形求解法——数轴法（适用于数集运算，如专练中不等式解集的交并补）、Venn图法（适用于有限集计数，如专练中元素个数计算）。
符号规范：避免基础失误，如空集 的表示（不可写为{ }）、区间端点的虚实（如x≥2表示为[2,+∞)）、补集运算的全集限定（需明确U的范围）。
专练适配点：重点掌握“集合与不等式融合”题型（如专练中含一元二次不等式、绝对值不等式的集合运算），这是高考最高频的命题载体。
2. 常用逻辑用语：聚焦关联，强化推理
核心判断：充要条件判断为绝对核心（占该部分80%分值），需掌握“集合映射法”（小集合推大集合，如A B则A是B的充分条件）和“反例法”（否定必要性常用），且必须结合主干知识（如专练中与函数单调性、不等式成立的结合题型）。
命题否定：精准掌握全称量词命题与存在量词命题的否定规则——“改量词、否结论”，避免否定时只改结论不改量词的错误（如专练中命题否定辨析题）。
隐性逻辑：关注“逻辑与不等式恒成立”的融合（如专练中“不等式恒成立的充要条件”题型），这是近年隐性考查的重点。
3. 复数：运算为纲，兼顾意义
基础运算：四则运算中除法为绝对重点（5年5考），必须掌握“分母实数化”技巧（分子分母同乘分母的共轭复数）；加法、减法、乘法运算遵循多项式运算法则，注意i =-1的化简。
核心概念：明确复数a+bi（a,b∈R）的实部（a）、虚部（b）、模（）、共轭复数（a-bi）的定义，能根据概念求解参数（如专练中“复数为实数、纯虚数的条件”题型）。
几何意义：掌握复数与复平面内点（a,b）、平面向量的对应关系，能解决“复数模的几何意义”题型（如求|z-1+2i|的最小值，即点到(1,-2)的距离），这是近年上升趋势考点。
2026高考预测：集合以基础运算为送分核心，新定义题型、跨模块融合及解答题延伸为2026年主要考向；
常用逻辑用语聚焦充要条件判断（结合主干知识），兼顾命题否定与真假判断，隐性逻辑应用增强；复数侧重四则运算、实虚部与模的计算，几何意义考查概率上升，存在适度拓展趋势.……
1. 核心技巧方法：锚定应用，破解创新
集合：以交并补运算为基础，熟练运用数轴法（数集运算）、Venn图法（有限集计数）；重点突破跨模块应用（如结合函数定义域、概率统计元素计数），应对新定义题型时紧扣“定义本质+举例验证”核心技巧。
常用逻辑用语：充要条件判定优先用“定义法+集合法”（小集合推大集合），复杂场景需结合函数单调性、数列通项等主干知识化简命题；全称/存在量词命题否定严格遵循“改量词、否结论”规则。
复数：聚焦除法“分母实数化”核心运算，兼顾乘法、加减法的多项式化简规则；提升几何意义应用能力（复平面点与向量对应），强化概念与运算的衔接（如由实虚部条件求参数）。
2. 易错避坑指南：精准规避，提升效率
集合：避免空集遗漏（如含参数集合包含关系讨论）、区间端点虚实混淆（如x>2与x≥2的表示）、补集运算忽略全集限定；运算结果需用规范集合符号表示，不可直接写不等式。
常用逻辑用语：严防充分与必要条件颠倒（可通过“谁推谁”明确）、命题否定漏改量词（如“ x”误改为“ x”却不否结论）；恒成立问题需挖掘隐性逻辑关系。
复数：明确虚部是“实数b”（非bi），模的计算需化简为最简二次根式；几何意义应用时准确对应复平面点坐标（a+bi对应(a,b)）。
题型一 集合关系与最值问题结合
方法点拨：看到 A∩B= 需转化为两集合无公共元素，数集用数轴分析，点集结合函数图像，含参数时优先验证空集和区间端点
【典例01】（2025·福建厦门·三模）已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先解一元二次不等式求出集合，然后由可得在时，恒成立，将问题转化为求在上的最小值，从而可求出的取值范围.
【详解】由，得，解得，
所以，
因为，，
所以当时，恒成立，即恒成立，
令，，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，
所以，即的取值范围是.故选：B
【典例02】（2025·山东济南·二模）已知集合，，有且只有2个子集，则实数（ ）
A． B． C．1 D．e
【分析】构造函数，根据只有一个实数根即可求解.
【详解】令，则，记，则，
当在单调递增，当在单调递减，
且当，,
因此只有一个实数根时，则，
由于有且只有2个子集，则只有一个元素，故，
故选：C
【变式01】（25-26高三上·安徽合肥·期末）已知关于的方程的解集有个子集，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据集合的子集个数确定方程解的个数，再通过分析函数图像的交点情况来确定参数的取值范围.
【详解】因为关于的方程的解集有个子集，
所以方程恰有一个实数解，
即恰有一个实数解，
令，
则直线与函数的图象有一个交点，
又因为，
所以当时，恒成立，单调递减；
当时，恒成立，单调递增；
当时，恒成立，单调递增；
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
且当时，，当时，，
作出函数的图象，如图所示：
由此可得当或时，直线与函数的图象有一个交点，所以的取值范围是．
故选：D
【变式02】（2025·广东深圳·模拟预测）已知且，若集合，，且 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
【分析】求出集合B，再由给定条件，对a分类讨论，利用数形结合及构造函数的方法，利用导数探讨函数最小值求解作答.
【详解】依题意，，，且 ，
当时，作出函数与的大致图象，
则，即，所以，即；
当时，设，
若，，则恒成立，，满足 ，
于是当时， ，当且仅当，即不等式对成立，
，由得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
于是得，即，变形得，解得，
从而得当时，恒成立，，满足 ；
综上，实数a的取值范围是或.故选：B.
【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以利用导数探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.
【变式03】已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由集合有3个真子集可得中有两个不同的元素，故求出的范围后可得正确的选项.
【详解】因为有3个真子集，所以中有2个元素，故中有两个元素，
故且，则，
解得且.
故选：C.
题型二 集合的新定义问题
方法点拨：新定义问题关键是 "翻译" 定义，把抽象表述转化为熟悉的集合关系或几何意义，可通过特殊值、举例验证辅助理解
【典例01】（2025·上海·三模）已知集合是由平面向量组成的集合，若对任意，均有，则称集合是“凸”的，则下列集合中不是“凸”的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：B【分析】作出各个选项表示的平面区域，根据给定集合E是“凸”的意义判断作答.
【详解】设，，，则C为线段AB上一点，
因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，
四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示：

A B

C D
观察选项A，B，C，D所对图形知，B对应集合不是“凸”的，ACD对应集合是“凸”的.
故选：B
【变式01】（24-25高三上·浙江·月考）“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】结合题意判断“身正”和“令行”之间的逻辑关系，即得答案.
【详解】由题意：其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件；
又其身不正，虽令不从，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件，
综合知“身正”是“令行”的充要条件，
故选：C．
【变式02】（25-26高三上·广西南宁·月考）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”包含的函数个数为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．27
【答案】D
【分析】已知函数的值域取值情况结合题目条件求出函数定义域取值的集合，再由集合非空子集个数及分步计数求“同族函数”个数即可得．
【详解】由题可知 的值域为 ，则 或 或 ，
结合“同族函数“的定义，
则函数定义域分别从 中各取至少一个数，
所以共有 种．
故选：D
【变式03】（2025·甘肃平凉·模拟预测）设D是边长为3的等边及其内部的点构成的集合，点是的中心，集合，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等边三角形的几何性质，结合向量的运算即可求解.
【详解】如图，设为各边三等分点，
根据等边三角形可知，相交于中心点，
根据等边三角形可知：四边形是菱形，
则由菱形的对角线互相垂直平分可得：是线段的垂直平分线，
所以当点时，动点一定在上，
同理可得：动点一定在上，动点一定在上，
所以当，时，结合点在三角形的内部，
可得集合S为正六边形及其内部区域，
所以当P与F重合时，，即可取到最小值，
当P与C重合时，，
即可取到最大值.
故选：B.
题型三 充要关系的判断
方法点拨：先化简前后两个命题（转化为集合或函数条件），优先用 "小集合推大集合" 的集合法，否定条件常用反例法
【典例01】（2025·湖北黄冈·二模）设，“曲线为椭圆”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据椭圆的标准方程判断充分性是否成立，再根据判断必要性是否成立，进而确定“曲线为椭圆”与“”之间的条件关系.
【详解】若曲线为椭圆，则椭圆的标准方程为（）.
因为椭圆中分母须大于，所以且，又因为，那么且，所以由“曲线为椭圆”可以推出“”，充分性成立；
当时，比如，，此时曲线方程为，它表示的是圆，而不是椭圆，所以由“”不能推出“曲线为椭圆”，必要性不成立；
所以“曲线为椭圆”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式01】（2025·北京门头沟·一模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】法一：根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算, 即可得到的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
法二：利用直线过定点的特征，结合双曲线渐近线可作出判断.
【详解】法一：由题意，联立方程可得，
当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点；
当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意.
所以，直线与双曲线只有一个公共点时，.
所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件.
法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图，
根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有 交点.
所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件.
故选：C.
【变式02】.（2025·江西萍乡·三模）记，为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】构造函数，求导，根据函数的单调性可得充分性，进而根据可得必要性.
【详解】令函数，求导得，故在上单调递增，
由，得，即，即充分性成立；
由，得，即，可得，故必要性不成立，
综上可知，甲是乙的充分不必要条件.
故选：A.
【变式03】.（25-26高三上·江西赣州·期中）“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先根据函数在区间上单调递增可得恒成立，进而求得，再根据充分、必要条件的定义判断即可.
【详解】由函数在区间上单调递增，
则恒成立，即恒成立，
因为，所以，则.
所以“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A
题型四 由充要关系求参数
方法点拨：先将充要关系转化为集合包含关系（必要不充分 q 对应集合 p 对应集合），列不等式组时注意端点虚实，避免遗漏空集情况
【典例01】（2025·黑龙江·一模）已知函数，若是上的增函数，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由集合的包含关系，分类讨论时， 的解集即可求解；
【详解】是上的增函数，得，
考虑
当时，等价于得：.
当时，等价于，
当时，由，可得：，又，此时解集为，
也即的解集为符合题意；
当时，由，可得：，又，此时解集为，
也即的解集为，不符合题意；
当时，由，可得：，又，此时解集为，
也即的解集为，符合题意；
综上可知：的取值范围是.
故选：B
【变式01】（24-25高三上·辽宁·期中）已知集合，集合，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解不等式，确定集合，通过讨论的范围，确定集合，根据题意推出集合是集合的真子集，由此列出不等式组，即可求得答案．
【详解】由题可知，，
若，则，
若时，则.
因为是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，显然时成立，
当时，则，且这两个不等号不能同时取到，故解得且，
综上所述：.
故选：B.
【变式02】.（2025·江西萍乡·三模）记，为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】构造函数，求导，根据函数的单调性可得充分性，进而根据可得必要性.
【详解】令函数，求导得，故在上单调递增，
由，得，即，即充分性成立；
由，得，即，可得，故必要性不成立，
综上可知，甲是乙的充分不必要条件.
故选：A.
题型五 复数的概念与运算
方法点拨：复数模长问题优先用几何法（转化为复平面内点的距离），求参数时先将复数化为标准形式，避免混淆虚部（虚部是实数 b 而非 bi）
【典例01】（2025·湖北黄冈·一模）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据复数模的几何意义，利用点与圆上点的距离的最大值去求的最大值即可.
【详解】表示以为圆心，为半径的圆，
则圆心C到点的距离，
则的最大值为.
故选：A
【变式01】（2025·安徽安庆·模拟预测）若复数z满足（为虚数单位），则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据复数的几何意义判断可得出结果.
【详解】设，若满足，即，
所以，即，
则点在以为圆心，1为半径的圆上，易知原点在圆外，
又圆心到坐标原点的距离为，所以的最大值为，
故选： C．
【变式02】．函数在区间上单调递减的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数求出函数在区间上单调递减的等价条件为，再根据包含关系判断即可.
【详解】函数，
求导得，
函数在区间上单调递减，
等价于在区间上恒成立，
则，等价于，
与，与，与不具有包含关系，
所以，，不是函数在区间上单调递减的必要不充分条件，
因为是的真子集，所以是函数在区间上单调递减的必要不充分条件，
故选：A.
【变式03】.（25-26高三上·安徽·月考）设函数，则“”是“有三个不同的零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先证是有三个不同零点的必要条件，再举特例说明不是有三个不同零点的充分条件.
【详解】因为所以，
因为有三个不同的零点，必有两个极值点，
所以有两个不同的根，
所以，所以，
又因为有两个极值点，但的两个极值不一定异号，
例如时，，，此时只有两个不同零点，
所以是有三个不同零点的必要不充分条件；
故选：B.
（限时训练：15分钟）
1．（2025·浙江·一模）已知正数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义及对数函数的性质判断即可.
【详解】若，则，
从而，
因此“”是“”的充分条件；
若，
化简得，
即或，
即或者，
因此“”是“”的不必要条件.
故选：A.
2．（2025·江西景德镇·模拟预测）“关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】根据方程表示圆求出参数范围，再由充分条件，必要条件的定义判断即可.
【详解】化成标准方程，
所以，解得或，
因为或推不出，可以推出或，
所以方程表示圆是的必要不充分条件.
故选：B.
3.（2025·广西河池·三模）“，”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据存在性问题的求解方法求得的范围，进一步判断即可.
【详解】不等式可化为:,
时，，所以，
故是的一个充分不必要条件，其他选项不合题意.
故选：
4．（2025·天津·一模）设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】结合基本不等式、不等式的性质，根据充分必要条件的定义判断．
【详解】，若，
则，
当且仅当时等号同时成立，充分性满足，
若，不一定成立，例如，时，，
但，必要性不满足，
故选：B．
5. （2025·湖南湘潭·一模）已知函数，数列满足，，则“为递增数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】已知函数，数列满足，结合分段函数的性质讨论，若为递增数列，则，与矛盾，不满足充分性；若，满足，可以推出为递增数列，故满足必要性，所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件.
【详解】已知函数，数列满足.
①充分性：
若为递增数列，则对于所有，满足，即.
当时，成立，即
：，
：，
：，
：需要满足，即，
当，，要使在时单调递增，则.
综上，若数列递增，则，
所以“数列递增”不能推出“”，不满足充分性.
②必要性：
若，则，由①知当时为递增数列，
所以“”能满足“数列递增”，
即“数列递增”是“”的必要条件.
所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
6. （2025·河北秦皇岛·一模）已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意得到是的真子集，比较区间端点，即可求解.
【详解】，
，
因为是的必要不充分条件，
所以是的真子集,
可得，等号不同时成立，结合，解得，
所以的取值范围为，
故选：B
7. （2025·甘肃白银·模拟预测）已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解二次不等式分别求出和的范围，根据必要不充分条件的概念列不等式求解即可.
【详解】因为，即，
则或，即，
又是的必要不充分条件，则或，即或.
则的取值范围为.
故选：B
8. （2025·广东·模拟预测）若复数z满足，那么的最大值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】利用复数模的几何意义转化复数z满足的限制条件，进而求得的最大值.
【详解】设复数、在复平面内对应的点分别为，
复数在复平面对应的点为：，
由可知：复数z在复平面内对应的点到两点的距离之和为2，
而，所以点在线段上，故，
则，
当时，的最大值为.
故选：B.
9．（2025·广东深圳·二模）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】B
【分析】先写出等差数列的通项公式，然后根据三角函数的周期性和已知集合的元素个数来分析的取值情况，进而求出的值.
【详解】根据已知条件，等差数列的通项公式为：.
根据三角函数的性质，.
这说明数列的周期为3.
因为集合，即有三个不同的值.
设时，；时，；
时，.
根据三角函数两角和公式可得：
.
.
则
故选：B.
10. （25-26高三上·山东临沂·期中）置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，.已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组，且中所有数之和为2026，则（ ）
A．1004 B．1007 C．1010 D．1013
【答案】C
【分析】本题通过分析数组元素的大小关系，结合绝对值的运算求解参数.
【详解】由“间距置换”定义，得，，.
由，得.
因且，故或.
若，则，，，
于是，
得，即，故.
若，同理可得.
综上所述，的值为.
故选：C.
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