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专题01 三角函数与解三角形解答题
题型01 求三角函数解析式、求值、化简
【例1-1】（2025·上海虹口·一模）已知，，设.
(1)当，时，试判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)当且函数的最小正周期为时，若在中，，求的取值范围.
【答案】(1)函数是非奇非偶函数，理由见解析(2)
【分析】（1）由可得的奇偶性；
（2）先求出函数的解析式，再由正弦定理和余弦定理得到，再利用三角恒等变换对进行化简并结合三角函数的图象性质得到结果.
【详解】（1）当，时，，由，
所以既不关于轴对称，也不关于原点对称，
所以函数是非奇非偶函数.
（2）当且函数的最小正周期为时，，，
由在中，，利用正弦定理可得，再利用余弦定理可得，所以，
，
由于，，，所以，
即的取值范围是.
【例1-2】（2025·四川成都·模拟预测）已知函数的最小正周期为.
(1)若，，求的值；
(2)将函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到的图象对应函数记为，求函数在上的值域.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）运用同角三角函数关系以及二倍角的余弦公式即可；
（2）运用三角函数图象的平移、换元法以及正弦函数图象的性质等进行解决即可.
【详解】（1）函数的最小正周期为，，即，
由，即，则，
，，，
，
由，.
（2）由（1）知，，
其图象向右平移个单位后得到的图象对应函数为，
再向上平移2个单位得到的图象对应函数为，即.
当时，，令，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，即.
.
故函数在上的值域为.
一.函数图象的平移变换解题策略：
（1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.
（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.
二.由三角函数图像求解析式
结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法
（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.
（2）求ω，已知函数的周期T，则.
（3）求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)．
②确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ=；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ=；
“第五点”为ωx＋φ=2π.
三. 思维导图
【变式1-1】（2025·广西柳州·一模）已知函数，设锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，，求b，c的值；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求的取值范围．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）将代入中求出的值，再根据得出，利用余弦定理求值即可；
（2）将化简，再通过平移规律得到，根据（1）得到，进而求出的取值范围.
【详解】（1）由题，
所以，
因为，所以，所以，所以，
因为，所以，即，
又，所以，即，所以，；
（2），
将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，
则，
由（1）可知，所以，
在锐角中，，解得
所以，，
因为，所以，
所以，所以，
所以的取值范围为.
【变式1-2】（2025·广东佛山·一模）已知函数的最小正周期为，且
(1)求的解析式；
(2)设函数，求的值域和单调区间.
【答案】(1)
(2)值域为，递增区间为，递减区间为，.
【分析】（1）先由周期求，再由求出即可求解；
（2）由诱导公式得，利用三角恒等变换得，利用三角函数的性质求出值域和单调区间即可.
【详解】（1）由，得.由，且，所以，
所以；
（2）由，
所以
，
所以的值域为，
因为在上单调递增，在上单调递减，
由得，
由得，，
所以的递增区间为，递减区间为，.
【变式1-3】（2025·浙江台州·一模）已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)若函数为偶函数，其中，求的最小值.
【答案】(1).(2).
【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求正弦（型）函数的最小正周期、由余弦（型）函数的奇偶性求参数、三角恒等变换的化简问题
【分析】（1）化简得到，从而求出最小正周期；
（2）求出，根据函数的奇偶性得到方程，求出，结合，得到答案.
【详解】（1）由，
得的最小正周期为；
（2），
因为函数为偶函数，所以，
解得，
又因为，所以当时，取到最小值.
题型02 解三角形（边长、角度、面积、周长）
【例2-1】（2025·陕西西安·二模）在中，内角的对边分别为，且满足.
(1)求角的大小：
(2)若的周长为，求的边上的高.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用三角形内角和代换，再利用诱导公式和正弦定理角化边，即可得；
（2）由题可得，利用余弦定理可得，再利用等面积公式即可求出高.
【详解】（1）因为，
所以，
结合正弦定理可得，即，
可得，因为，所以.
（2）因为的周长为，所以，所以，
在中，由余弦定理得，所以
又的面积，设边上的高为，所以
，解得.
【例2-2】（2025·河南·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求证；
（2）由（1）求得，结合同角三角函数关系和三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）由及正弦定理得，
所以，
又，所以，
即；
（2）因为，，，
所以，又，所以，
所以的面积.
一、正、余弦定理和面积公式
1、正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
公式 ； ； .
常见变形 (1)，，； (2)，，； ； ； .
2、面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
二、公式的相关应用
（1）正弦定理的应用
①边化角，角化边
②大边对大角 大角对大边
③合分比：
（2）内角和定理：
①
②；
③在中，内角成等差数列.
三、思维导图
【变式2-1】（2025·云南楚雄·模拟预测）在中，已知内角所对的边分别为，且满足.
(1)求角；
(2)若的面积为，求的周长.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，然后结合三角函数的公式求解即可；
（2）利用三角形的面积公式和余弦定理求解即可.
【详解】（1）由及正弦定理，
可得，
结合，
由，
得，
化简可得.
，
，即.
又.
（2）由的面积为，结合（1）可得，
在中，由余弦定理可得，
，
或（舍去），
的周长为.
【变式2-2】（2025·陕西西安·三模）如图，在平面四边形中，.

(1)若，求；
(2)求.
【答案】(1)3 (2)
【分析】（1）在中先由三角函数定义求出，再在中由余弦定理可得；
（2）在中，由正弦定理可得，在中由三角函数的定义求出，最后计算可得.
【详解】（1）若，，则，
所以在中，，整理可得，
解得（舍）或3，
所以.
（2）在中，由正弦定理可得，
因为，所以为等腰三角形，
所以，
所以.
【变式2-3】（2025·广东·模拟预测）在中，设内角的对边分别为，满足的面积为.
(1)求；
(2)若，求的外接圆的面积.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由余弦定理和面积公式求得的值，即可求得答案；
（2）由面积公式求得的值，再由余弦定理求得的值，根据正弦定理可求外接圆的半径，则外接圆的面积可求.
【详解】（1）由余弦定理得，
由面积公式得，两式作比，得，
即，由得.
（2）代入，有，
而，得到，
记的外接圆半径为，
由正弦定理得，
故的外接圆的面积为.
题型03 三角形中的范围与最值问题
【例3-1】（2025·陕西榆林·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积；
(3)求周长的取值范围．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）利用正弦的两角和公式化简得，可得，即可得解；
（2）利用余弦定理结合已知条件计算可得，再利用三角形面积公式计算即可.
（3）利用正弦定理把边转化为角，结合角的范围，即可求解.
【详解】（1）根据，
可得，
所以，因为，所以；
（2）由（1）可知，，根据余弦定理，
因为，则，即，
又因为，所以，解得，
所以的面积；
（3）因为，所以，
所以，，
所以的周长
，
因为，所以，所以，
所以.
【例3-2】（2025·河南·模拟预测）在中，内角的对边分别是，且.
(1)若，求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简可得，进而利用二倍角公式及正弦定理求解.
（2）由（1）及锐角三角形条件可得，再利用正弦定理及二倍角的正弦求出范围.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
则，即，
即，由，得，又，
因此，即，由，得，
解得，
所以由正弦定理得.
（2）在为锐角三角形中，由（1）得，则，
由正弦定理得，所以的取值范围是.
一、三角形面积和周长的最值、范围问题
（1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化
周长
（2）面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
（3）求周长的模型：
（4）基本不等式
① ②(当且仅当时取“=”号)
（5）利用三角恒等变换转化为内角有关的三角函数。
①和差角公式：，
②辅助角公式：
（其中）．
二、解题思路步骤
①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用
②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值
三、思维导图
【变式3-1】（2025·内蒙古赤峰·一模）设的内角，，所对的边分别为，，，.
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）方法1：利用正弦定理得，再利用两角和的正弦公式即可求解；方法2：利用余弦定理得，再利用余弦定理即可求解；
（2）方法1：利用余弦定理结合基本不等式即可求解；方法2：利用正弦定理结合三角恒等变换得，最后由三角函数的性质即可求解.
【详解】（1）（方法1）由正弦定理，得，
，
，
，
，，，
，；
（方法2）由余弦定理得，
代入已知得：，
，，
，；
（2）方法1
由余弦定理，得.
，
，（当且仅当时等号成立），
由于，，
周长的范围为.
（方法2转化为三角函数最值）
由正弦定理，
得，，
，
，
，，，，
，，
周长的取值范围为.
【变式3-2】（2025·江西景德镇·模拟预测）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的外接圆半径为1，设面积为，且
(1)求角；
(2)求的最大值.
【答案】(1)(2)6.
【分析】（1）先由诱导公式和两角和差的余弦展开式化简已知等式右边，然后由三角形面积公式结合正弦定理计算可得；
（2）由余弦定理得到，再由基本不等式计算可得.
【详解】（1）因为，
所以
所以，又由正弦定理，，
所以，
所以，因为为锐角三角形，所以
（2）由正弦定理，，
由余弦定理，，
由基本不等式，当且仅当时，等号成立.
综上所述，的最大值为6.
【变式3-3】（2025·云南昆明·模拟预测）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，且.
(1)证明：；
(2)已知点在线段上，且，若，求面积的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）根据正弦定理得，结合三角形内角和锐角三角形，证得结果.
（2）根据正弦定理和三角形面积公式得，进而利用锐角三角形得到正切的范围，最后得到三角形面积的取值范围.
【详解】（1）证明：由，由正弦定理得，
即，
又，所以，
故，
因为为锐角三角形，所以，，故，
故，即.
（2）由（1）可知，中，，
由正弦定理得，所以，
故，
而是锐角三角形，故，，，
解得，故，故面积的取值范围为.
题型04 与平面向量、不等式结合的综合题
【例4-1】（2025·广东深圳·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)D为BC上一点，．
（i）若，求的值；
（ii）若，求面积的最大值．
【答案】(1)；(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简求解.
（2）（i）利用正弦定理，结合和角的正弦公式求解；（ii）利用向量数量积的运算律及基本不等式求出最大值，再利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
则，即，
整理得，而，所以.
（2）（i）由，得，，
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，
所以.
（ii）由得，得，则，
因此，即，
当且仅当时取等号，则，，
所以当时，的面积取得最大值.
【例4-2】（2025·吉林松原·模拟预测）已知向量，其中．
(1)若，求图象的对称轴；
(2)记的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，若在区间上单调递增，求的取值范围；
(3)已知为锐角三角形，内角的对边分别为，若，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）利用向量数量积公式和三角恒等变换化简得到，整体法求出函数对称轴；
（2）求出，根据单调递增区间得到不等式，求出的取值范围；
（3）由，得到，由余弦定理和正弦定理得到，因为为锐角三角形，所以，求出的取值范围，得到答案．
【详解】（1）
，
当时，．
令，得，
所以图象的对称轴为.
（2）由（1），得，
所以，
因为将的图象向左平移个单位长度得到的图象，
所以.
因为，所以，
又函数在区间上单调递增，
所以，
即，解得
所以，即
又，所以，即的取值范围是.
（3）由，得，
又，所以，
又为锐角三角形，所以，
所以，解得．
由余弦定理，得，
所以，
所以．
由正弦定理，得，
所以，
因为为锐角三角形，所以，
所以，
故的取值范围为，
所以的取值范围为．
所以的取值范围是．
一、中线问题
如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长.
② 向量法：,平方即可；
③ 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即
注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”则可以考虑方法②或方法③.
二、角平分线问题
△ABC中，AD平分∠BAC.
①角平分线定理：
证法1（等面积法），得
注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离.
证法2（正弦定理）
如图，，,而，整理得
②等面积法
三、垂线问题
①等面积法：
②
③
四、思维导图
【变式4-1】（2025·湖北孝感·模拟预测）在中，角所对的边分别是.已知，的面积为.
(1)求的最小值；
(2)若，为线段上一点当时，求的值；
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由诱导公式及二倍角公式得到，由面积公式得到，再由余弦定理结合基本不等式即可求解；
（2）设，所以.在中，在中，分别使用正弦定理得到，
，再结合即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
由于，则，得.
因为，得，
由余弦定理得，解得.
当且仅当时取等.
（2）由（1），
设，所以.
在中，由正弦定理得，，即，
在中，由正弦定理得，，即，
因，代入化简得，
即，解得，即.
【变式4-2】（2025·四川达州·模拟预测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)设A与B存在函数关系，并记，求函数；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角，可得，再求出范围，可得函数；（2）切化弦整理得，令，求导判断其单调性，根据单调性求范围.
【详解】（1）由正弦定理得，.所以，
即，
解得或（舍），所以.
因为为锐角三角形，，.
由得.
故函数，.
（2），
当且仅当即时即时取等号，此时，而，
所以等号取不到.
令，则，对函数，在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
当时，；当时，
所以函数的值域为，
故的取值范围为.
【变式4-3】（25-26高二上·山东日照·开学考试）在中，角所对的边分别为，且满足．
(1)求证：；
(2)若，求；
(3)求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；(2)4；(3)
【分析】（1）利用正弦定理，结合三角形内角和，可探索角的关系.
（2）先利用（1）的结论，求角的正弦和余弦，再求角的正弦，利用正弦定理，可探索的关系，结合，可求的值，再用余弦定理求边.
（3）先用表示，用正弦定理可得，再利用基本不等式，可求其最小值.
【详解】（1）因为，根据正弦定理得：.
又因为，
所以.
又为三角形内角，所以.
（2）因为，，
所以，，
.
所以.
由正弦定理得，
又，所以，.
由余弦定理得.
所以.
（3）因为
.
由正弦定理
因为，所以，
所以，当且仅当即时取等号.
所以的最小值为.
题型05 解三角形结合三角函数
【例5-1】（2025·宁夏中卫·三模）已知，，.
(1)求函数单调递增区间；
(2)设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若且.求面积的最大值.
【答案】(1)，(2)
【分析】通过向量数量积得到函数表达式，并利用三角恒等变换化简函数表达式，再运用正弦函数单调性，整体代换计算即可.
利用余弦定理建立边角关系，结合不等式求面积的最大值.
【详解】（1）首先，根据题意，可得到：
，
令，，得：，
即：，
所以的单调递增区间为，.
（2）由 ，得，
，解得：，，
可得，由于，所以；
利用余弦定理可得，，
，
由不等式 ，得：
，
，当且仅当“”时取“=”，
所以.
的面积，
当 取最大值 3 时，面积最大，.
【例5-2】（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数的最大值为1．
(1)求使成立的的集合；
(2)记的内角的对边分别为，已知，的面积为，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由辅助角公式得到，结合最大值求解，再由即可求解；
（2）由（1）求得，再结合三角形面积公式及余弦定理即可求解.
【详解】（1）
，
最大值为，
所以，
即，
则，即，
即，
即，
所以的解集为：
（2）因为，
即，即，
因为为三角形内角，所以，得，
又的面积为，即，
得，
又
则即，所以周长为.
一、两角和与差的正余弦与正切
①； ②；
③；
二、二倍角公式
①； ②；
③；
三、降幂公式
四、辅助角公式
（其中）．
五、三角形角的关系
（1）中，, =
（2），
（3），
六、思维导图
【变式5-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数（其中），相邻的极小值点和极大值点分别为和.
(1)求的解析式；
(2)在中，记角所对的边分别为.已知，且，求的面积.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由题意确定函数的最小正周期，即可求得，结合极值可求得，即可得函数解析式；
（2）结合（1）的结果，由可求出A，利用余弦定理即可求出的值，从而利用三角形面积公式求得答案.
【详解】（1）由题意知函数，相邻的极小值点和极大值点分别为和，
则函数最小正周期为，则；
将代入，得，
故，即，
而，故，所以；
（2）在中，由，得，
，故；
由余弦定理知，结合，
得，则，
故.
【变式5-2】（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数，其中.
(1)若函数在区间内恰有2个极值点，求的取值范围；
(2)当时，在中，角所对的边分别为，且，求边的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）先化简得到，由在上恰有2个极值点，结合三角函数的性质，列出不等式，即可求解；
（2）由，得到，求得，且，再由正弦定理，求得，结合和三角函数的性质，即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）解：由，
因为，可得
又因为在上恰有2个极值点，则满足，
解得，所以的取值范围为.
（2）解：当时，可得
由，可得，即，
因为，可得，所以，
解得，所以，
又由正弦定理，可得，
所以，
又因为，可得，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以实数的取值范围为.
【变式5-3】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)在锐角中，设角所对的边分别是，若且，求周长的取值范围．
【答案】(1)最小正周期为，，;(2)
【分析】（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）由（1）及，求得，根据正弦定理得到，，得到，结合，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，
所以函数的最小正周期为，
令，解得，
所以函数的单调递增区间是，.
（2）由（1）可得，因为，可得，
由正弦定理可知，所以，，
由及为锐角三角形，解得，
则
.
因为，可【得，所以，
所以，
故周长的取值范围为.
题型06 几何图形中解三角形
【例6-2】（2025·浙江温州·一模）△ABC的顶点A，B分别在矩形CDEF的边DE，EF上运动，且，，，记，△ABC的面积为.
(1)写出的解析式；
(2)求的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由题意可得，利用，，求得两边，进而可求得面积；
（2）利用三角恒等变换可求得的最小值.
【详解】（1）因为在矩形CDEF中，，，所以，
因为△ABC的顶点A，B分别在矩形CDEF的边DE，EF上运动，所以，
由，可得，由，得，
所以，；
（2）由（1）知，
所以
，
因为，所以，所以，
所以时，.
【例6-2】（25-26高三上·江西·期中）如图，四边形的对角线相交于点.

(1)求证：；
(2)已知.
①求四边形的面积；
②若与面积相等，求证：.
【答案】(1)证明见解析；(2)①；②证明见解析
【分析】（1）在中利用余弦定理将表示出来，化简即可证明；
（2）①分别求出的面积，再加和即可求出四边形的面积；
②通过与面积相等求出，再在和中利用余弦定理求出，，根据勾股定理证明即可
【详解】（1）由余弦定理得
在中，①
在中，②
在中，③
在中，④
由③+④-①-②得：
.
故
（2）①由（1）得，
又
可求得.
又四边形的面积为
.
②由若与面积相等，因为为公共底边，
故两个三角形上的高相等，即，所以.
设.
在中得：，即
在中得：.两式相加得：，两式相减得：，
所以，故.
故，所以.
又，所以，
由勾股定理得：.
【变式6-1】（2025·江苏常州·模拟预测）在中，分别为角的对边，且满足．
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，设为的中点，若，且，求的面积．
【答案】(1)或；(2)3
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合三角恒等变换的公式即可求解；
（2）在和中运用余弦定理建立方程组，解方程组，最后再根据面积公式即可求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得：，
因为，所以，所以，
即，所以或，
即或，
若，则，
若，则，因为，所以，即，
综上，或．
（2）若为锐角三角形，则，
在中由余弦定理得，即①
在中由余弦定理得②
由①②消去，得，即．
因为，所以，
所以．
【变式6-2】（25-26高三上·河北·月考）已知在中，，，所对的边分别为a，b，c，的平分线交于K.
(1)求证：；
(2)若，，，求的面积.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【分析】（1）分别在和由正弦定理得到，，再结合，即可求证；
（2）由（1）得到，分别在和中使用余弦定理得到，，再由面积公式即可求解.
【详解】（1）证明：在中，由正弦定理得.
在中，由正弦定理得.
又，，所以.
（2）由（1）知，即.
在中，，，，
所以.
因为，所以.
在中，，
解得，.
所以，所以的面积为.
【变式6-3】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）在平面四边形中，，，，.

(1)求的长.
(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）在中求出，然后利用正弦定理可求出的长；
（2）先求出，然后由为锐角三角形，求出角的范围，再利用正弦定理表示出，从而可表示出面积，化简后结合角的范围可求得结果.
【详解】（1）在中，，，则
，
由正弦定理得，，
所以，
因为
，
所以；
（2）因为，，所以，
所以，
因为为锐角三角形，所以，
即，解得，
在中，由正弦定理得，
则
，
所以
，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
即.
1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知函数，.
(1)求；
(2)求的最小值和单调区间.
【答案】(1)；(2)的最小值为，单调增区间为，；单调减区间为，.
【分析】（1）代入，可求的值.
（2）利用三角恒等变换，把化成的形式，再分析函数的性质.
【详解】（1）因为，所以.
又，所以.
（2）因为
.
所以函数最小值为，当，，即，时取最小值.
由，，；
由，，.
所以函数的单调增区间为，，
单调减区间为，.
2．（2025·安徽·一模）在中，角的对边分别为，满足，点是上的一动点，且.
(1)求角的大小；
(2)若为边上的高，且，求的面积；
(3)若为的角平分线，求的最小值.
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）由，由正弦定理得，结合，化简可求得，从而可求得；
（2）由和可求得，由余弦定理得，进而可得的面积；
（3）由可得，利用基本不等式可得，利用条件和正弦定理化简，然后基本不等式求解即可．
【详解】（1）由，由正弦定理得，
，
，，
，
.
（2）因为，即，
又，所以，
由余弦定理得，
化简可得，解得，
所以的面积.
（3）因为为的角平分线，且，
因为，
所以，
所以，又，可得，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以
，
当且仅当且，即时取等号，
又当时，，符合题意，
故的最小值为12.
3．（2024·广东深圳·模拟预测）在中，已知．
(1)求；
(2)若边上的高等于，求．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角化简求角B；
（2）由已知得，，再用余弦定理求值.
【详解】（1）由，根据正弦定理可得，
即，因为，所以，所以，即，
所以.
（2）设角对应的边分别为，则，即，
由余弦定理，，
所以，
所以.
4．（2025·湖南湘潭·一模）在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 向量，,点 M 在边BC上，AM 是角A 的平分线．
(1)求角A；
(2)求 AM 的长．
【答案】(1)；(2)2
【分析】（1）根据向量垂直的关系，结合正弦定理边角互化即可求解，
（2）由余弦定理以及三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
故，
由正弦定理可得,
由于，所以,
结合,则，
（2）由于AM 是角A 的平分线，，
由余弦定理可得，解得，
又,
解得
5．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）记斜的内角的对边分别为，已知，且．
(1)求角；
(2)为边的中点，若，求的面积；
(3)如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】（1）利用余弦定理，结合二倍角公式即可求出角的值；
（2）通过向量平方关系，结合余弦定理求出的值，最后用三角形面积公式即可得出答案；
（3）先在和中利用正弦定理将边长转化为三角函数形式，进而表示出，再利用三角函数的单调性确定的取值范围.
【详解】（1）利用余弦定理化简，得，
在斜中，得，，
故上式可化为，
，可得，利用二倍角公式可得，
，，即，.
（2）为边的中点，根据向量的平行四边形法则，得，两边同时平方得，，
，得，
由（1）可知，即，，
由余弦定理得，解得，
的面积为
（3），在中，由正弦定理可得，，即，
在中，由正弦定理可得，，即，
四边形的内角和为，且，，
在中，由余弦定理可得，
，
即，
，
，在中,，，
，故的取值范围为.
6．（2025·全国·二模）记的内角的对边分别为，.
(1)求A；
(2)延长至，使，求的值.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）通过对已知等式进行化简，然后利用余弦定理求出角A.
（2）利用正弦定理列出等式，进而求出的值.
【详解】（1）由得，
所以根据余弦定理得，，则.
（2）如图：
因为，所以，则是正三角形，所以，
在中，根据正弦定理，由题意，
得，所以.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题01 三角函数与解三角形解答题
题型01 求三角函数解析式、求值、化简
【例1-1】（2025·上海虹口·一模）已知，，设.
(1)当，时，试判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)当且函数的最小正周期为时，若在中，，求的取值范围.
【例1-2】（2025·四川成都·模拟预测）已知函数的最小正周期为.
(1)若，，求的值；
(2)将函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到的图象对应函数记为，求函数在上的值域.
一.函数图象的平移变换解题策略：
（1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.
（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.
二.由三角函数图像求解析式
结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法
（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.
（2）求ω，已知函数的周期T，则.
（3）求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)．
②确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ=；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ=；
“第五点”为ωx＋φ=2π.
三. 思维导图
【变式1-1】（2025·广西柳州·一模）已知函数，设锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)若，，求b，c的值；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求的取值范围．
【变式1-2】（2025·广东佛山·一模）已知函数的最小正周期为，且
(1)求的解析式；
(2)设函数，求的值域和单调区间.
【变式1-3】（2025·浙江台州·一模）已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)若函数为偶函数，其中，求的最小值.
题型02 解三角形（边长、角度、面积、周长）
【例2-1】（2025·陕西西安·二模）在中，内角的对边分别为，且满足.
(1)求角的大小：
(2)若的周长为，求的边上的高.
【例2-2】（2025·河南·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)若，，求的面积.
一、正、余弦定理和面积公式
1、正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
公式 ； ； .
常见变形 (1)，，； (2)，，； ； ； .
2、面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
二、公式的相关应用
（1）正弦定理的应用
①边化角，角化边
②大边对大角 大角对大边
③合分比：
（2）内角和定理：
①
②；
③在中，内角成等差数列.
三、思维导图
【变式2-1】（2025·云南楚雄·模拟预测）在中，已知内角所对的边分别为，且满足.
(1)求角；
(2)若的面积为，求的周长.
【变式2-2】（2025·陕西西安·三模）如图，在平面四边形中，.

(1)若，求；
(2)求.
【变式2-3】（2025·广东·模拟预测）在中，设内角的对边分别为，满足的面积为.
(1)求；
(2)若，求的外接圆的面积.
题型03 三角形中的范围与最值问题
【例3-1】（2025·陕西榆林·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积；
(3)求周长的取值范围．
【例3-2】（2025·河南·模拟预测）在中，内角的对边分别是，且.
(1)若，求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
一、三角形面积和周长的最值、范围问题
（1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化
周长
（2）面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
（3）求周长的模型：
（4）基本不等式
① ②(当且仅当时取“=”号)
（5）利用三角恒等变换转化为内角有关的三角函数。
①和差角公式：，
②辅助角公式：
（其中）．
二、解题思路步骤
①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用
②利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值
三、思维导图
【变式3-1】（2025·内蒙古赤峰·一模）设的内角，，所对的边分别为，，，.
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的取值范围.
【变式3-2】（2025·江西景德镇·模拟预测）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的外接圆半径为1，设面积为，且
(1)求角；
(2)求的最大值.
【变式3-3】（2025·云南昆明·模拟预测）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，且.
(1)证明：；
(2)已知点在线段上，且，若，求面积的取值范围.
题型04 与平面向量、不等式结合的综合题
【例4-1】（2025·广东深圳·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)D为BC上一点，．
（i）若，求的值；
（ii）若，求面积的最大值．
【例4-2】（2025·吉林松原·模拟预测）已知向量，其中．
(1)若，求图象的对称轴；
(2)记的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，若在区间上单调递增，求的取值范围；
(3)已知为锐角三角形，内角的对边分别为，若，求的取值范围．
一、中线问题
如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长.
② 向量法：,平方即可；
③ 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即
注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”则可以考虑方法②或方法③.
二、角平分线问题
△ABC中，AD平分∠BAC.
①角平分线定理：
证法1（等面积法），得
注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离.
证法2（正弦定理）
如图，，,而，整理得
②等面积法:
三、垂线问题
①等面积法：
②
③
四、思维导图
【变式4-1】（2025·湖北孝感·模拟预测）在中，角所对的边分别是.已知，的面积为.
(1)求的最小值；
(2)若，为线段上一点当时，求的值；
【变式4-2】（2025·四川达州·模拟预测）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.
(1)设A与B存在函数关系，并记，求函数；
(2)求的取值范围.
【变式4-3】（25-26高二上·山东日照·开学考试）在中，角所对的边分别为，且满足．
(1)求证：；
(2)若，求；
(3)求的最小值．
题型05 解三角形结合三角函数
【例5-1】（2025·宁夏中卫·三模）已知，，.
(1)求函数单调递增区间；
(2)设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若且.求面积的最大值.
【例5-2】（2025·广东佛山·模拟预测）已知函数的最大值为1．
(1)求使成立的的集合；
(2)记的内角的对边分别为，已知，的面积为，求的周长．
一、两角和与差的正余弦与正切
①； ②；
③；
二、二倍角公式
①； ②；
③；
三、降幂公式
四、辅助角公式
（其中）．
五、三角形角的关系
（1）中，, =
（2），
（3），
六、思维导图
【变式5-1】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数（其中），相邻的极小值点和极大值点分别为和.
(1)求的解析式；
(2)在中，记角所对的边分别为.已知，且，求的面积.
【变式5-2】（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数，其中.
(1)若函数在区间内恰有2个极值点，求的取值范围；
(2)当时，在中，角所对的边分别为，且，求边的取值范围.
【变式5-3】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)在锐角中，设角所对的边分别是，若且，求周长的取值范围．
题型06 几何图形中解三角形
【例6-2】（2025·浙江温州·一模）△ABC的顶点A，B分别在矩形CDEF的边DE，EF上运动，且，，，记，△ABC的面积为.
(1)写出的解析式；
(2)求的最小值.
【例6-2】（25-26高三上·江西·期中）如图，四边形的对角线相交于点.

(1)求证：；
(2)已知.
①求四边形的面积；
②若与面积相等，求证：.
【变式6-1】（2025·江苏常州·模拟预测）在中，分别为角的对边，且满足．
(1)求角；
(2)若为锐角三角形，设为的中点，若，且，求的面积．
【变式6-2】（25-26高三上·河北·月考）已知在中，，，所对的边分别为a，b，c，的平分线交于K.
(1)求证：；
(2)若，，，求的面积.
【变式6-3】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）在平面四边形中，，，，.

(1)求的长.
(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.
1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知函数，.
(1)求；
(2)求的最小值和单调区间.
2．（2025·安徽·一模）在中，角的对边分别为，满足，点是上的一动点，且.
(1)求角的大小；
(2)若为边上的高，且，求的面积；
(3)若为的角平分线，求的最小值.
3．（2024·广东深圳·模拟预测）在中，已知．
(1)求；
(2)若边上的高等于，求．
4．（2025·湖南湘潭·一模）在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 向量，,点 M 在边BC上，AM 是角A 的平分线．
(1)求角A；
(2)求 AM 的长．
5．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）记斜的内角的对边分别为，已知，且．
(1)求角；
(2)为边的中点，若，求的面积；
(3)如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围．
6．（2025·全国·二模）记的内角的对边分别为，.
(1)求A；
(2)延长至，使，求的值.
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