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专题1.1基本不等式及其应用
近三年：基本不等式是高中数学的核心内容之一，难度中等偏上，侧重考查不等式的理解与应用能力。主要考查利用基本不等式求最值（如和的最小值、积的最大值）、证明不等式、解决实际应用问题（如面积、体积、费用等优化问题）。常与函数、方程、解析几何等知识结合，体现综合性．
预测2026年：预计2026年高考仍将重视基本不等式的应用，尤其是与其他知识（如函数、数列、解析几何）的综合考查。题目可能更注重实际情境与数学建模，突出数学的应用价值。备考应强化对基本不等式成立条件的理解，训练其灵活配凑、变形能力，注重与函数、方程、几何等知识的交叉融合，提升解决综合性问题的能力。
题型01 公式的理解
解｜题｜策｜略 1若，则 (当且仅当时，等号成立). 2运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号.
1（25-26高三上·上海·期中）已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（ ）
A． B．
C． D．
2（多选）（25-26高三上·辽宁·期中）下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
3（多选）（25-26高三上·福建泉州·期中）下列不等式一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
题型02 倒数型
解｜题｜策｜略 1 倒数型，指的是类似，，等，其中要注意的是是否能够取到等号； 2 若取不到等号，要用到对勾函数单调性处理.
1（25-26高三上·上海·月考）下列函数中，最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
2（25-26高三上·江苏南京·月考）下列说法中正确的是（ ）
A．的最小值为4 B．的最小值为2
C．的最小值为2 D．的最小值为1
3（多选）（25-26高三上·湖北武汉·月考）下列说法正确的是（ ）
A．，则的最小值是2
B．，则的最小值是
C．，则的最小值是1
D．的最小值为9
题型03 积与和型
解｜题｜策｜略 1知积求和用，知和求积用 2 在解题中要注意对式子的观察，明确，所指，并且观察它们是否存在和与积的形式。
1（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知，则的最大值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
2（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3（25-26高三上·上海·开学考试）已知且，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．2 D．4
题型04 配凑型
解｜题｜策｜略 1有时利用基本不等式时，确定和时，想得较为简单，会做不到“二定或三等”的要求，比如中令，用基本不等式，做不到是定值，此时需要对和的确定作些调整，进行配凑，达到做到“一正，二定，三等”的要求。
1（25-26高三上·浙江宁波·期中）若均为大于1的实数，且，则的最小值为（ ）
A．6 B．9 C． D．
2（25-26高三上·四川广安·月考）若，，，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
3（25-26高二上·云南·月考）若，则的最小值为（ ）
A．9 B． C．2 D．
题型05 积与和互化解不等式型
解｜题｜策｜略 一等式中存在与的和与积，利用基本不等式得到关于或的不等式，从而求出它们的范围。
1（25-26高三上·河北·期中）已知为正实数，且，则的最小值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．
2（25-26高三上·山东青岛·期中）已知，则的最小值是（ ）
A．1 B．5 C． D．
3（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知，且，则的最小值与最大值之和为（ ）
A． B． C． D．
题型06 常数代换型
解｜题｜策｜略 1特征：条件是一个包含等式的复杂关系，可以将其中一个常数用变量表达式代替； 2解题思路：从条件等式中解出一个变量代入所求式子，或解出一个常数关系进行代换。
1（2025·浙江台州·一模）已知，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
2（25-26高三上·湖北黄石·期中）已知实数，满足，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．9
3（24-25高三上·山西·月考）已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．6
题型07 消元型
解｜题｜策｜略 1 特征：条件是多个变量的等式关系，求某个表达式的最值； 2解题思路：利用条件等式，将一个变量用其他变量表示，代入所求式子，转化为单变量函数或可直接用基本不等式的形式； 3 在消元的时候要注意最后得到的“元”的取值范围。
1（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
2（25-26高三上·湖北武汉·期中）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
3（25-26高三上·重庆·期中）若正数、满足，则的最小值为（　　）
A． B．
C． D．
题型08 “1”代换综合型
解｜题｜策｜略 1 遇到类似与其一为已知条件，令一为求其范围时，可以采取巧法； 2 所求式子中有时可以巧妙的利用“1”的特征（比如题中条件类似或，或一些公式等），把式子进行变形，使得其与已知条件的等式或不等式靠拢，从而达到求解的目的。
1（25-26高三上·重庆·期中）已知，且，则的最小值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2（25-26高三上·重庆南岸·期中）若，则的最小值为（ ）
A． B．4 C．9 D．
3（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．9 D．4
题型09 二次函数型
解｜题｜策｜略 1类似，的形式，常常利用到分离常数法与基本不等式等求其取值范围； 2在处理的时候往往会用到一些函数性质，要做到每一步都严谨。
1（25-26高三上·广东珠海·月考）函数的最小值是（ ）
A．-3 B．-1 C．0 D．4
2 （25-26高三上·福建厦门·期中）已知，则的最小值为（ ）
A．4 B．7 C．11 D．24
3（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
题型10 换元型
解｜题｜策｜略 1 遇到含根式或高次幂的式子(类似，)，常常用到换元法; 2 换元法的本质是整体思想，在对式子变形时，要注意看是否存在结构相同的式子； 3 在换元时，要注意新元的取值范围。
1（25-26高三上·河南·月考）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2（24-25高二下·山东济宁·月考）已知，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3（多选）（25-26高三上·重庆渝中·月考）下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小值为2
B．函数的最小值为9
C．函数的最大值为
D．若，，且，则xy的取值范围为
题型11 双换元型
解｜题｜策｜略 双换元型，即引入两个新元代替原来的元，有时候采取双换元会使得式子变形得更简洁，在求解时会起到简便的效果。
1（24-25高三下·云南临沧·月考）若、且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2（25-26高三上·河南·月考）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型12 齐次化构造型
解｜题｜策｜略 处理类似的齐次式，可以分子分母同除以得到关于的式子，再求解.
1（25-26高三上·天津·期中）已知，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2（24-25高三下·陕西·月考）实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3（24-25高三·江苏·月考）若实数 满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型13 三角型
解｜题｜策｜略 遇到三角函数时，要注意和或自身的取值范围，有时候也会用到换元法。
1（23-24高三上·广东深圳·月考）下列结论中正确的是（ ）
A．若，则的最小值是
B．对任意的实数a，b均有，其中等号成立的条件是
C．函数的值域是
D．函数的最大值是2
2（23-24高三上·重庆·月考）已知，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
3（2025·四川达州·一模）设△ABC的内角为A，B，C，AD⊥BC于D．若△ABC外接圆半径等于AD，则sinB+sinC的最小值是（　　）
A． B．2 C． D．1
题型14 恒成立或存在性求参数型
解｜题｜策｜略 对于恒成立问题，用到分离参数法，可能会构造出一些常见符合能够使用“基本不等式”的形式，此时求参数范围时利用基本不等式求解。
1（25-26高三上·江苏南通·月考）若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（　　）
A． B． C．2 D．4
2（25-26高三上·山东·期中）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3（25-26高三上·山东济南·期中）若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4（2025高三·全国·专题练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（建议用时：60分钟）
1（25-26高三上·河南新乡·期中）若，且，则的最小值为（　　）
A．2 B．4 C． D．1
2（25-26高三上·安徽·期中）已知，当取最小值时，实数的值为（ ）
A．1 B． C． D．
3（25-26高三上·山东菏泽·期中）函数的最大值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
4（25-26高三上·贵州贵阳·月考）已知，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5（25-26高三上·江苏·月考）已知、、均为正实数，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6（25-26高三上·湖南衡阳·期中）函数，若，，且，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8（多选）（25-26高三上·江苏南通·月考）下列结论中，所有正确的结论有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．当时， D．若，则
9（25-26高三下·山西运城·月考）对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
10（25-26高三上·重庆·期中）已知一次函数为增函数，且满足，.
(1)若函数在上最大值与最小值的差为6，求.
(2)当和满足时.
（ⅰ）设，解关于的不等式：.
（ⅱ）求的最大值.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题1.1基本不等式及其应用
近三年：基本不等式是高中数学的核心内容之一，难度中等偏上，侧重考查不等式的理解与应用能力。主要考查利用基本不等式求最值（如和的最小值、积的最大值）、证明不等式、解决实际应用问题（如面积、体积、费用等优化问题）。常与函数、方程、解析几何等知识结合，体现综合性．
预测2026年：预计2026年高考仍将重视基本不等式的应用，尤其是与其他知识（如函数、数列、解析几何）的综合考查。题目可能更注重实际情境与数学建模，突出数学的应用价值。备考应强化对基本不等式成立条件的理解，训练其灵活配凑、变形能力，注重与函数、方程、几何等知识的交叉融合，提升解决综合性问题的能力。
题型01 公式的理解
解｜题｜策｜略 1若，则 (当且仅当时，等号成立). 2运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等. 一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号.
1（25-26高三上·上海·期中）已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】举例说明判断AC；利用基本不等式等号成立的条件判断B；作差判断D.
【详解】对于A，取，则，A错误；
对于B，，当且仅当，
即时取等号，而，因此等号不能取到，B错误；
对于C，取，则，C错误；
对于D，，则，D正确.
故选：D
2（多选）（25-26高三上·辽宁·期中）下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
【答案】ACD
【分析】利用作差法可判断A；由基本不等式可判断BCD.
【详解】对于A，，所以，故A正确；
对于B，当，时，不成立，故B错误；
对于C，因为，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故C正确；
对于D，，
当且仅当，时等号成立，D项正确．
故选：ACD．
3（多选）（25-26高三上·福建泉州·期中）下列不等式一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】对于A，分和两种情况利用基本不等式即可判断，对于B，利用基本不等式即可判断，对于C，由，利用二次函数即可判断，对于D，由利用基本不等式即可判断.
【详解】对于A，当时，，当且仅当时，等号成立，
当时，，当且仅当时，等号成立，所以，故A错误；
对于B，，当且仅当时，即时，等号成立，故B正确；
对于C，由，当时，等号成立，故C正确；
对于D，由，
当且仅当，即不成立，所以等号不成立，
所以，故D正确，
故选：BCD.
题型02 倒数型
解｜题｜策｜略 1 倒数型，指的是类似，，等，其中要注意的是是否能够取到等号； 2 若取不到等号，要用到对勾函数单调性处理.
1（25-26高三上·上海·月考）下列函数中，最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合基本不等式（均值不等式）的使用条件“一正、二定、三相等”逐一分析即可．
【详解】对于A，函数（），当时，，
当且仅当时取等号；当时，，
又，当且仅当时取等号，
所以此时，因此，函数无最小值，故A错误；
对于B，函数，当时，，；
当时，，，因此，函数无最小值，故B错误；
对于C，，当且仅当，即时取等号，
此时，所以函数最小值为2，故C正确；
对于D，令，则，函数变为（），
函数在时单调递增，故当时，y取得最小值，故D错误．
故选：C．
2（25-26高三上·江苏南京·月考）下列说法中正确的是（ ）
A．的最小值为4 B．的最小值为2
C．的最小值为2 D．的最小值为1
【答案】D
【分析】根据基本不等式满足的前提条件即可求解AB，根据基本不等式即可求解CD.
【详解】对于A,当时，，故A错误，
对于B,当时，，，则，故B错误，
对于C, ,由于，而对勾函数在单调递增，故，当且仅当时取到等号，故C错误，
对于D, ，当且仅当时取到等号，故D正确，
故选：D
3（多选）（25-26高三上·湖北武汉·月考）下列说法正确的是（ ）
A．，则的最小值是2
B．，则的最小值是
C．，则的最小值是1
D．的最小值为9
【答案】BD
【分析】对于A，B，C，利用换元法及对勾函数的性质，结合函数单调性与最值的关系即可求解；
对于D，利用同角三角函数的平方关系及商数关系，结合正余弦齐次式及基本不等式即可求解.
【详解】对于A,令，则 ，由对勾函数知，在单调递增，在上单调递减；所以当时，，当时，，故A错误；
对于B，令，则，，由对勾函数的性质知，在单调递增，当时，取得最小值为，所以当时，则的最小值是，故B正确；
对于C，令，则，由对勾函数的性质知，在单调递增，当时，取得最小值为，所以当时，则的最小值是，故C错误；
对于D，
，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9，故D正确.
故选：BD.
题型03 积与和型
解｜题｜策｜略 1知积求和用，知和求积用 2 在解题中要注意对式子的观察，明确，所指，并且观察它们是否存在和与积的形式。
1（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知，则的最大值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】A
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】因为，
则，所以，
当且仅当时，即当，且，等号成立，
故的最大值为3．
故选：A．
2（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题设可得，再应用基本不等式求目标式的最大值.
【详解】因为，所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，故的最大值为.
故选：B
3（25-26高三上·上海·开学考试）已知且，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据基本不等式求解即可.
【详解】因为且，
所以，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，
故选：B
题型04 配凑型
解｜题｜策｜略 1有时利用基本不等式时，确定和时，想得较为简单，会做不到“二定或三等”的要求，比如中令，用基本不等式，做不到是定值，此时需要对和的确定作些调整，进行配凑，达到做到“一正，二定，三等”的要求。
1（25-26高三上·浙江宁波·期中）若均为大于1的实数，且，则的最小值为（ ）
A．6 B．9 C． D．
【答案】D
【分析】利用配凑法结合基本不等式计算即可.
【详解】由题意可知：，
则，
当且仅当，即时取得等号.
故选：D
2（25-26高三上·四川广安·月考）若，，，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】由题意得，利用基本不等式即可求解.
【详解】由题意有：，
又，所以，
所以 ，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：A.
3（25-26高二上·云南·月考）若，则的最小值为（ ）
A．9 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由已知可得，，代入整理得，利用基本不等式“1”的妙用可求最小值.
【详解】因为，所以，
又，所以，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
题型05 积与和互化解不等式型
解｜题｜策｜略 一等式中存在与的和与积，利用基本不等式得到关于或的不等式，从而求出它们的范围。
1（25-26高三上·河北·期中）已知为正实数，且，则的最小值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式，结合一元二次不等式的解法可求的最小值.
【详解】因为为正实数，所以，所以，
所以0，所以，
解得或（舍去），所以，当且仅当时取等号.
所以的最小值为
故选：C．
2（25-26高三上·山东青岛·期中）已知，则的最小值是（ ）
A．1 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】由基本不等式得，结合条件求解.
【详解】由，，得，
又，即，
令，上式为，解得或（舍去），
，即，当且仅当时，等号成立，
所以得最小值为1.
故选：A.
3（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知，且，则的最小值与最大值之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】应用基本不等式得求的范围，注意端点值的取值条件，即可得.
【详解】由，有，有，得，
当时，，
当时，，
所以的最小值为，最大值为2，
所以的最小值与最大值之和为.
故选：D
题型06 常数代换型
解｜题｜策｜略 1特征：条件是一个包含等式的复杂关系，可以将其中一个常数用变量表达式代替； 2解题思路：从条件等式中解出一个变量代入所求式子，或解出一个常数关系进行代换。
1（2025·浙江台州·一模）已知，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】D
【分析】可利用配凑法与“1的妙用”，结合基本不等式进行求解.
【详解】由题可知，，又因为,
则
,
当且仅当时，即当时，等号成立.
因此的最小值为4，
故的最小值为3.
故选：D.
2（25-26高三上·湖北黄石·期中）已知实数，满足，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】B
【分析】变形有，再利用乘“1”法即可得到最值.
【详解】因为，且，则，，
则，
当且仅当，且时，即时取等号，
故选：B．
3（24-25高三上·山西·月考）已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】A
【分析】由条件可得，再利用基本不等式求其最小值即可.
【详解】由题意知，
当且仅当，且 ，即，时等号成立，
即的最小值为.
故选:A.
题型07 消元型
解｜题｜策｜略 1 特征：条件是多个变量的等式关系，求某个表达式的最值； 2解题思路：利用条件等式，将一个变量用其他变量表示，代入所求式子，转化为单变量函数或可直接用基本不等式的形式； 3 在消元的时候要注意最后得到的“元”的取值范围。
1（25-26高二上·浙江衢州·期中）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】C
【分析】根据已知等式可得，从而可结合基本不等式求解的最小值.
【详解】因为，当时，等式不成立，
所以，
则，
当且仅当，即或时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
2（25-26高三上·湖北武汉·期中）已知实数满足，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知得，然后对目标式变形为，利用基本不等式求解最值即可.
【详解】因为，显然，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为.
故选：C
3（25-26高三上·重庆·期中）若正数、满足，则的最小值为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知等式得出，求得，化简得出，结合基本不等式可求得其最小值.
【详解】由可得，
因为，，由可得，故，且，
故
.
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故选：D.
题型08 “1”代换综合型
解｜题｜策｜略 1 遇到类似与其一为已知条件，令一为求其范围时，可以采取巧法； 2 所求式子中有时可以巧妙的利用“1”的特征（比如题中条件类似或，或一些公式等），把式子进行变形，使得其与已知条件的等式或不等式靠拢，从而达到求解的目的。
1（25-26高三上·重庆·期中）已知，且，则的最小值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】应用基本不等式中“1”的妙用，求的最小值即可．
【详解】已知，且，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为9．
故选：C．
2（25-26高三上·重庆南岸·期中）若，则的最小值为（ ）
A． B．4 C．9 D．
【答案】C
【分析】直接利用基本不等式即可求解.
【详解】由题意，
当且仅当，即等号成立，所以的最小值为9.
故选：C
3（25-26高三上·安徽合肥·期中）已知，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．9 D．4
【答案】C
【分析】先变形得到，再由基本不等式“1的妙用”求最小值即可.
【详解】由，可得，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，故的最小值为9.
故选：C.
题型09 二次函数型
解｜题｜策｜略 1类似，的形式，常常利用到分离常数法与基本不等式等求其取值范围； 2在处理的时候往往会用到一些函数性质，要做到每一步都严谨。
1（25-26高三上·广东珠海·月考）函数的最小值是（ ）
A．-3 B．-1 C．0 D．4
【答案】B
【分析】由，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为，
所以，则：
，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为，
故选：B
2 （25-26高三上·福建厦门·期中）已知，则的最小值为（ ）
A．4 B．7 C．11 D．24
【答案】B
【分析】对所求的式子进行适当的变形再利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为7.
故选：B
3（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】将函数配凑整理为，利用基本不等式可求得结果.
【详解】，
，，
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为5.
故选：B.
题型10 换元型
解｜题｜策｜略 1 遇到含根式或高次幂的式子(类似，)，常常用到换元法; 2 换元法的本质是整体思想，在对式子变形时，要注意看是否存在结构相同的式子； 3 在换元时，要注意新元的取值范围。
1（25-26高三上·河南·月考）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，则得且，由，利用基本不等式推得，解不等式即得.
【详解】因，设，则，由可得，
则有，
当且仅当，即时，等号成立，
即得，解得，即的最小值为.
故选：D.
2（24-25高二下·山东济宁·月考）已知，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】根据题意，化简得到，利用基本不等式，求得，得到，得到，令，得到，结合一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】由，可得，
因为，两边同除，可得，即，
又因为，可得，所以，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以，
所以，
令，其中，则，即，解得或（舍去），
所以，即的最小值为，此时，.
故选：A.
3（多选）（25-26高三上·重庆渝中·月考）下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小值为2
B．函数的最小值为9
C．函数的最大值为
D．若，，且，则xy的取值范围为
【答案】BCD
【分析】A.举反例说明该选项错误；
B.利用基本不等式得到函数的最小值为9，所以该选项正确；
C.利用换元法、函数的单调性和基本不等式得到函数的最大值为.所以该选项正确;
D．主要利用基本不等式求出xy的取值范围为.所以该选项正确.
【详解】解：A. 当时，函数，所以该选项错误；
B. ，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为9，所以该选项正确；
C. 函数,令，设 ，由于函数在单调递增，所以，所以函数的最大值为.所以该选项正确.
D．.
因为（当且仅当时等号成立），所以，所以，所以.所以该选项正确.
故选：BCD
题型11 双换元型
解｜题｜策｜略 双换元型，即引入两个新元代替原来的元，有时候采取双换元会使得式子变形得更简洁，在求解时会起到简便的效果。
1（24-25高三下·云南临沧·月考）若、且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知等式变形得出，令，，可得出且，，代入，结合基本不等式可求得的最小值.
【详解】由得，
令，，则且，，
所以
，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为 ，
故选：A．
2（25-26高三上·河南·月考）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由条件得到，通过换元，得到，再结合基本不等式即可求解.
【详解】因为，
所以，
令，
因为都是正数，
所以即，
且，同时，
所以
当且仅当时等号成立，此时.
故选：A
3（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设令，故，，变形得到，由基本不等式“1”的代换求出的最小值，从而得到答案.
【详解】正数，，满足，故，
令，故，，
，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
故.
故选：D
题型12 齐次化构造型
解｜题｜策｜略 处理类似的齐次式，可以分子分母同除以得到关于的式子，再求解.
1（25-26高三上·天津·期中）已知，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知条件将所求式子变为，利用“1”的代换结合基本不等式求解.
【详解】因为，且，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：A.
2（24-25高三下·陕西·月考）实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知的范围，然后将目标式转化为，利用基本不等式可得.
【详解】因为，所以，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
3（24-25高三·江苏·月考）若实数 满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】法一：把用表示化简，再应用基本不等式计算得出最大值；法二：令，再化简应用基本不等式计算得出最大值；
【详解】法一：由实数 满足，
设，解得，
则，
当且仅当，及时等号成立，
所以的最大值为.
法二：令，
则
，
由得，
故 ，
当且仅当即即时，取“=”，
故选：D.
题型13 三角型
解｜题｜策｜略 遇到三角函数时，要注意和或自身的取值范围，有时候也会用到换元法。
1（23-24高三上·广东深圳·月考）下列结论中正确的是（ ）
A．若，则的最小值是
B．对任意的实数a，b均有，其中等号成立的条件是
C．函数的值域是
D．函数的最大值是2
【答案】B
【分析】利用基本不等式判断A的正误；重要不等式判断B的正误；函数的最值判断C的正误；利用基本不等式判断D的正误；
【详解】因为时有，
所以的最小值是，即A不正确；
对任意的实数a，b均有，可得，
其中等号成立的条件是，所以不等式正确.
函数的值域是，显然不正确，
因为时， 所以C不正确.
函数，
当且仅当时取等号，但此方程无解，所以最大值小于2.
故选：B.
2（23-24高三上·重庆·月考）已知，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】
由于，得出和的对应关系，再设定和为，得到基本不等式形式：“和模型”，求解即可.
【详解】由于，得，
所以设，，且，
则，
其中（等号成立时，即时成立）.
故选：C.
3（2025·四川达州·一模）设△ABC的内角为A，B，C，AD⊥BC于D．若△ABC外接圆半径等于AD，则sinB+sinC的最小值是（　　）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】在中，由，求出，利用基本不等式求出即可．
【详解】在Rt△ACD中，由，
设圆的半径为，则，
，
由,当且仅当，即时，取等号，
故选：A．
题型14 恒成立或存在性求参数型
解｜题｜策｜略 对于恒成立问题，用到分离参数法，可能会构造出一些常见符合能够使用“基本不等式”的形式，此时求参数范围时利用基本不等式求解。
1（25-26高三上·江苏南通·月考）若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】利用参变分离可得，分和两种情况求解即可.
【详解】由，可得，所以，
当时，；
当时，，
当且仅当，即时取等号，
综上所述：实数的最大值为.
故选：A.
2（25-26高三上·山东·期中）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得，则，再根据恒成立问题转化为最值即可．
【详解】即，
（当且仅当时取等号），
又不等式恒成立，
所以．
故选：C．
3（25-26高三上·山东济南·期中）若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】基本不等式求出的最小值，转化为，解不等式即可，
【详解】因为正实数满足，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为4．
因为不等式有解，则，即，
即，解得或．
故选：D
4（2025高三·全国·专题练习）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一：先将原不等式的右式进行化简，然后利用基本不等式的性质求出其最小值，然后解关于的不等式解集即可；
解法二：先将原不等式的右式进行化简，然后利用柯西不等式的性质求出其最小值，然后解关于的不等式解集即可.
【详解】关于的不等式在上恒成立，
即，
因为，所以．
解法一：（基本不等式）
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，解得．
解法二 ：（柯西不等式）
，
当且仅当，即时等号成立．
（柯西不等式：，当且仅当时等号成立）
所以，解得.
故选：D．
（建议用时：60分钟）
1（25-26高三上·河南新乡·期中）若，且，则的最小值为（　　）
A．2 B．4 C． D．1
【答案】D
【分析】利用基本不等式中常数代换技巧求解最小值即可.
【详解】因为，且，
所以，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为1.
故选：D.
2（25-26高三上·安徽·期中）已知，当取最小值时，实数的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】先将原式变形为，再根据基本不等式求解即可.
【详解】由得，
所以，
当且仅当，即时取最小值.
所以,取最小值时，实数.
故选：B.
3（25-26高三上·山东菏泽·期中）函数的最大值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】令，结合基本不等式即可求解.
【详解】令，得，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以函数的最大值为，
故选：D
4（25-26高三上·贵州贵阳·月考）已知，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知等式变形得出，结合基本不等式可求得的最大值.
【详解】因为，
则
，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值是.
故选：B.
5（25-26高三上·江苏·月考）已知、、均为正实数，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知条件可得，由此可得出，结合基本不等式可求得答案.
【详解】因为、、均为正实数，则，即，所以，
故
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故选：D.
6（25-26高三上·湖南衡阳·期中）函数，若，，且，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】先通过函数条件得出，再将所求式子变形为对勾函数形式，利用均值不等式求最小值.
【详解】依题意，，
，所以，
由于都是正数，所以，
所以
，
当且仅当，即或时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B
7（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由乘1法，求得的最小值，即可求解.
【详解】，
当且仅当，即时，取等号，
所以，
故选：B
8（多选）（25-26高三上·江苏南通·月考）下列结论中，所有正确的结论有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．当时， D．若，则
【答案】CD
【分析】利用特殊值法可判断AB选项的正误，利用基本不等式可判断CD选项的正误.
【详解】A．若，如，，则不成立，故A错误；
B．，则，，取，则，故B错误；
C．因为，则，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
但，所以，，故C正确；
D．由重要不等式可得，
所以，，
则，当且仅当时，等号成立，故D正确．
故选：CD.
9（25-26高三下·山西运城·月考）对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先利用基本不等式求出的最小值为，再根据题意得到，解不等式即可得到答案。
【详解】因为，
所以
，
当且仅当，即时，取等号。
又因为恒成立，
所以，即。
故答案为：
10（25-26高三上·重庆·期中）已知一次函数为增函数，且满足，.
(1)若函数在上最大值与最小值的差为6，求.
(2)当和满足时.
（ⅰ）设，解关于的不等式：.
（ⅱ）求的最大值.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）.
【分析】（1）利用分类讨论一次函数的单调性求最值，即可得方程求解；
（2）（ⅰ）利用待定系数法，代入函数解析式，再利用恒等式可求解参数，然后分类讨论法来解含参的二次不等式即可；
（ⅱ）利用先证明柯西不等式，再来运用柯西不等式来求最值即可.
【详解】（1）当时，由在上单调递增，且函数在上最大值与最小值的差为6，
可得：，
当时，由在上单调递减，且函数在上最大值与最小值的差为6，
可得：，
综上可得：；
（2）（ⅰ）由一次函数为增函数，可设，
因为，
所以，解得，
即，又因为，
所以，
，
又因为，所以，
此时，
则关于的不等式：，
当时，原不等式的解集为，
当，原不等式的解集为或，
当，原不等式的解集为或，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
（ⅱ）由，
令，则，
先证明柯西不等式，
作差得：
即可证明恒成立，取等号条件是，
则，
由于，所以，
取等号条件是，即，
此时有最大值，取最大值时的.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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